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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Galoisgruppen bestimmen
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Universität/Hochschule J Galoisgruppen bestimmen
Gemini
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-19


Hallo!

ich lerne gerade für die Algebraklausur und brauche Hilfe bei Galoisgruppen. Bitte lasst euch nicht von dieser langen Nachricht abschrecken.

Ich habe folgende Aufgaben gefunden:

1. Bestimme die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers \(L\) von \(P(X)=X^4-5\) über \(K=\)
    a) \(\mathbb Q(\sqrt{5})\)
    b) \(\mathbb Q(\mathrm{i})\)

2. Bestimme die Galoisgruppe von \(\mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \supset \mathbb Q\).

(Könntet ihr bitte jede Aussage von mir, die so nicht stimmt, kommentieren?)

Mir ist klar, dass ich bei gegebenem Polynom zuerst dessen Nullstellen bestimme.
Dann bestimme ich i.d.R. den Grad der Körpererweiterung, weil für endliche Körpererweiterungen gilt \(|\mathrm{Gal}(L/K)|\ |\ [L : K]\) bzw., wenn \(L/K\) Galois ist, sogar \(|\mathrm{Gal}(L/K)|= [L : K]\). Ich erfahre also etwas über die Ordnung der Galoisgruppe.

1. Die Nullstellen von \(X^4-5\) sind \(\pm\sqrt[4]{5}\), \(\pm\mathrm{i}\sqrt[4]{5}\).

a) Ich habe bereits ermittelt, dass \(|\mathrm{Gal}(K(\sqrt[4]{5}, \mathrm{i})/K)|=4\) ist. \(\mathrm{Gal}(L/K)\) muss also \(\cong \mathbb Z/4\mathbb Z\) oder \(\cong \mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z \) sein.

Nichtmathematisch ausgedrückt, schaue ich mir doch jetzt wie bei der Gradformel erst die Teilerweiterung \(K(\sqrt[4]{5})/K\) und dann \(K(\sqrt[4]{5},\mathrm{i})/K(\sqrt[4]{5})\) an.

Das Minimalpolynom der Adjungierten \(\sqrt[4]{5}\) über \(K\) hat die Nullstellen \(\pm \sqrt[4]{5}\) und das Minimalpolynom der Adjungierten \(\mathrm{i}\) über \(K(\sqrt[4]{5})\) hat die Nullstellen \(\pm \mathrm{i}\).

Diese Adjungierten bilde ich doch jetzt auf die Nullstellen des jeweiligen Minimalpolynoms ab, oder?:
                    \(\mathrm{i}\mapsto \mathrm{i}\)
\(\sqrt[4]{5}\mapsto \sqrt[4]{5}\)  <
                    \(\mathrm{i}\mapsto \mathrm{-i}\)

                      \(\mathrm{i}\mapsto \mathrm{i}\)
\(\sqrt[4]{5}\mapsto -\sqrt[4]{5}\)  <
                      \(\mathrm{i}\mapsto \mathrm{-i}\)

Wir hatten das so nicht in der Vorlesung. Da hatten wir, dass die Galoisgruppe treu auf den Nullstellen operiert. Diese Vorgehensweise hat uns unsere Tutorin gezeigt (dabei ist immer wieder ist das Wort "Fortsetzung" gefallen). Ich werde das vielleicht auch so in der Klausur machen. Steht ja dann nur da "Bestimme die Galoisgruppe". Aber es steht bestimmt nicht da, wie ich auf diese kommen muss.

Ich sehe, dass die komplexe Konjugation und (wie immer) die Identität Automorphismen der Galoisgruppe sind. Jetzt muss ich nur noch herausfinden, ob diese \(\cong \mathbb Z/4\mathbb Z\) oder \(\cong \mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z \) ist.

Die komplexe Konjugation hat Elementordnung 2. Das hilft mir noch nicht weiter. Soll ich jetzt die Komposition von komplexe Konjugation und einem der beiden verbleibenden Automorphismen bilden und gucken, ob diese kommutieren? Das müsste funktionieren.

Ist das ein bei solchen Zerfällungskörpern immer funktionierendes Verfahren?

Bitte helft mir...  ☹️



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Gemini,

erstmal zur Bestimmung der relevanten Automorphismen. Was eure Tutorin da verwendet hat, ist das Fortsetzungslemma. Das besagt:

Sei $\sigma:K\to E$ ein Körperhomomorphismus, $K(\alpha)/K$ eine einfache algebraische Erweiterung mit primitivem Element $\alpha$, und sei $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_0$ das Minimalpolynom von $\alpha$ über $K$. Sei außerdem $f^\sigma:=X^n+\sigma(a_{n-1})X^{n-1}+\dots+\sigma(a_0)\in L[X]$. Dann gilt

a) Jeder Homomorphismus $\sigma':K(\alpha)\to L$, der $\sigma$ fortsetzt (also $\sigma'\vert_K=\sigma$) bildet $\alpha$ auf eine Nullstelle von $f^\sigma$ ab.
b) Zu jeder Nullstelle $\beta$ von $f^\sigma$ existiert genau eine Fortsetzung $\sigma':K(\alpha)\to L$ von $\sigma$, die $\sigma(\alpha)=\beta$ erfüllt.

Wenn jetzt $L$ eine endliche Erweiterung von $K$ ist, dann lässt sich diese Erweiterung in einfache Zwischenerweiterungen $K\subset K(\alpha_1)\subset K(\alpha_1,\alpha_2)\subset\dots\subset K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=L$ unterteilen.
Man möchte jetzt alle $K$-Automorphismen $L\to L$ bestimmen. Da jeder solche $K$-Automorphismus die Fortsetzung eines $K$-Homomorphismus (nicht Automorphismus!) $K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})\to L$ ist, reicht es schon, wenn man alle solchen $K$-Homomorphismen $\sigma$ findet, und dann jede mögliche Fortsetzung nach obigem Lemma bestimmt.
Man hat also die Aufgabe darauf reduziert, alle $K$-Homomorphismen $K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})\to L$ zu bestimmen. Nun sind diese aber wiederum allesamt Fortsetzungen eines $K$-Homomorphismus $K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-2})\to L$. Man kann das Spiel also mit diesen $K$-Homomorphismen wiederholen. Das geht so weiter, bis man bei den $K$-Homomorphismen $K\to L$ angelangt ist. Aber davon gibt es trivialerweise nur einen, nämlich die Inklusion $x\mapsto x$.
Man kann also im Endeffekt die Inklusion $K\to L$ nehmen, und erstmal alle Fortsetzungen nach $K(\alpha_1)$ bestimmen. Alle gefundenen Fortsetzungen kann man dann einzeln nach $K(\alpha_1,\alpha_2)$ fortsetzen, und so weiter, bis man alle Fortsetzungen zu Automorphismen $L\to L$ gefunden hat. Damit hat man dann alle $K$-Automorphismen von $L$ gefunden.

 Ist das ein bei solchen Zerfällungskörpern immer funktionierendes Verfahren?

Solange es sich um den Zerfällungskörper einer endlichen Familie von Polynomen handelt, funktioniert das. Da ihr aber wahrscheinlich nur Galoistheorie für endliche Erweiterungen gemacht habt, wird das höchstwahrscheinlich der Fall sein.

Nun zur Isomorphie deiner Galoisgruppe. Wie ich das sehe, hast du die Galoisgruppe richtig bestimmt. Um jetzt zu entscheiden, ob sie isomorph zu $\Z/4\Z$ oder $\Z/2\Z\times\Z/2\Z$ ist, kannst du dir die Untergruppen anschauen. $\Z/4\Z$ hat zum Beispiel nur eine zu $\Z/2\Z$ isomorphe Untergruppe, nämlich die von $\bar2$ erzeugte Untergruppe. Hingegen hat $\Z/2\Z\times\Z/2\Z$ drei zu $\Z/2\Z$ isomorphe Untergruppen, nämlich die jeweils von $(\bar0,\bar1),~(\bar1,\bar0)$ oder $(\bar1,\bar1)$ erzeugte Untergruppe. Das bedeutet, wenn du drei solche Untergruppen von deiner Galoisgruppe findest, dann hast du eine Isomorphie zu $\Z/2\Z\times\Z/2\Z$, und wenn es nur eine gibt, dann zu $\Z/4\Z$.
Alternativ hat $\Z/4\Z$ einen Erzeuger, $\Z/2\Z\times\Z/2\Z$ jedoch nicht. Wenn also einer deiner $K$-Automorphismen die Gruppe bereits erzeugt, dann hast du $\Z/4\Z$, ansonsten $\Z/2\Z\times\Z/2\Z$.

Zu prüfen, ob die Automorphismen kommutieren, funktioniert leider nicht. Denn beide in Betracht gezogene Gruppen sind abelsch, du gewinnst also keine weiteren Informationen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Gemini
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, Vercassivelaunos!

2020-02-19 21:03 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Nun zur Isomorphie deiner Galoisgruppe. Wie ich das sehe, hast du die Galoisgruppe richtig bestimmt. Um jetzt zu entscheiden, ob sie isomorph zu $\Z/4\Z$ oder $\Z/2\Z\times\Z/2\Z$ ist, kannst du dir die Untergruppen anschauen. $\Z/4\Z$ hat zum Beispiel nur eine zu $\Z/2\Z$ isomorphe Untergruppe, nämlich die von $\bar2$ erzeugte Untergruppe. Hingegen hat $\Z/2\Z\times\Z/2\Z$ drei zu $\Z/2\Z$ isomorphe Untergruppen, nämlich die jeweils von $(\bar0,\bar1),~(\bar1,\bar0)$ oder $(\bar1,\bar1)$ erzeugte Untergruppe. Das bedeutet, wenn du drei solche Untergruppen von deiner Galoisgruppe findest, dann hast du eine Isomorphie zu $\Z/2\Z\times\Z/2\Z$, und wenn es nur eine gibt, dann zu $\Z/4\Z$.
Alternativ hat $\Z/4\Z$ einen Erzeuger, $\Z/2\Z\times\Z/2\Z$ jedoch nicht. Wenn also einer deiner $K$-Automorphismen die Gruppe bereits erzeugt, dann hast du $\Z/4\Z$, ansonsten $\Z/2\Z\times\Z/2\Z$.

Okay, also wenn die Galoisgruppe isomorph zur Klein'schen Vierergruppe wäre, müssten die 3 Automorphismen, welche nicht die Identität sind, selbstinvers sein, sonst nur 1 Automorphismus:

                    \(\mathrm{i}\mapsto \mathrm{i}\)
\(\sqrt[4]{5}\mapsto \sqrt[4]{5}\)  <
                    \(\mathrm{i}\mapsto \mathrm{-i}\)

                      \(\mathrm{i}\mapsto \mathrm{i}\)
\(\sqrt[4]{5}\mapsto -\sqrt[4]{5}\)  <
                      \(\mathrm{i}\mapsto \mathrm{-i}\)

\(\sigma_2^2(\sqrt[4]{5})=\sigma_2(\sqrt[4]{5})\sigma_2(\sqrt[4]{5})=\sigma_2(\sqrt{5})=\sqrt{5}\)
\(\sigma_2^2(\mathrm{i})=\sigma_2(\mathrm{i})\sigma_2(\mathrm{i})= -\mathrm{i}\cdot (-\mathrm{i})=-1\)

und

\(\sigma_3^2(\sqrt[4]{5})=\sigma_3(\sqrt[4]{5})\sigma_3(\sqrt[4]{5})=\sigma_3(\sqrt{5})=\sqrt{5}\)
\(\sigma_3^2(\mathrm{i})=\sigma_3(\mathrm{i})\sigma_3(\mathrm{i})= \mathrm{i}\cdot \mathrm{i}=-1\)

und

\(\sigma_4^2(\sqrt[4]{5})=\sigma_4(\sqrt[4]{5})\sigma_4(\sqrt[4]{5})=\sigma_4(\sqrt{5})=\sqrt{5}\)
\(\sigma_4^2(\mathrm{i})=\sigma_4(\mathrm{i})\sigma_4(\mathrm{i})= \mathrm{i})= \mathrm{i}\cdot \mathrm{i}=-1\)

Hä? Irgendwas mache ich falsch. Hier ist ja gar kein Element selbstinvers!
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-19

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Du hast die Automorphismen miteinander multipliziert, statt sie zu verketten. $\sigma^2$ bedeutet im Kontext der Automorphismengruppe $\sigma\circ\sigma$, nicht $\sigma\cdot\sigma$. Damit ist z.B.

\[\sigma_2^2(\i)=\sigma_2(\sigma_2(\i))=\sigma_2(-\i)=-\sigma_2(\i)=-(-\i)=\i.\]
\(\endgroup\)


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Gemini
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Uff ja... schlimmer Anfängerfehler... Zum Glück passiert er mir jetzt.

Danke. Also \(\sigma_2\) ist selbstinvers.

\(\sigma_3^2(\sqrt[4]{5})=\sigma_3(\sigma_3(\sqrt[4]{5}))=\sigma_3(-\sqrt[4]{5})=-\sigma_3(\sqrt[4]{5})=\sqrt[4]{5}\)
\(\sigma_3^2(\mathrm{i})=\sigma_3(\sigma_3(\mathrm{i}))=\sigma_3(\mathrm{i})=\mathrm{i}\)

also auch selbstinvers und somit ist die Gruppe isomorph zur Klein'schen Vierergruppe.


PS: Es ist unnötig, immer alle Adjungierten (in dem Fall \(\mathrm{i}\) und \(\sqrt[4]{5}\)) zu prüfen, oder?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-20

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Wenn du keine unnötigen Elemente adjungiert hast (z.B. $\sqrt[4]5$ und $-\sqrt[4]5$), dann musst du schon alle überprüfen. Du zeigst ja im Endeffekt, dass $\sigma_i^2$ alle Elemente von $L$ festhält, indem du zeigst, dass alle Erzeuger von $L$ festgehalten werden.
Ich sehe es übrigens auch so, dass es sich um die Vierergruppe handelt.
\(\endgroup\)


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Gemini
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Danke dir  😄

1b) Der Zerfällungskörper von \(P(X)=X^4-5\) ist nun \(K(\sqrt[4]{5})=\mathbb Q(\sqrt[4]{5},\mathrm{i})\). Also ist \(P\) selbst das Minimalpolynom der Adjungierten \(\sqrt[4]{5}\) über \(K\) mit seinen Nullstellen \(\pm \sqrt[4]{5},\ \mathrm{i}\sqrt[4]{5}\).

Somit ist wieder \(|\mathrm{Gal}(K(\sqrt[4]{5})/K)|=4\). Aber irgendwie vermute ich, dass wir diesem Mal \(\cong \mathbb Z/4\mathbb Z\) haben werden...

\(\sigma_1:\ \sqrt[4]{5} \mapsto \sqrt[4]{5}\)
\(\sigma_2:\ \sqrt[4]{5} \mapsto -\sqrt[4]{5}\)
\(\sigma_3:\ \sqrt[4]{5} \mapsto \mathrm{i}\sqrt[4]{5}\)
\(\sigma_4:\ \sqrt[4]{5} \mapsto -\mathrm{i}\sqrt[4]{5}\)

\( \sigma_2 ( \sigma_2 (\sqrt[4]{5}))=\sqrt[4]{5} \), also selbstinvers.
\( \sigma_3 ( \sigma_3 (\sqrt[4]{5}))= \sigma_3 (\mathrm{i}\sqrt[4]{5}) = \mathrm{i}\cdot \sigma_3 (\sqrt[4]{5}) =\mathrm{i}\sqrt[4]{5} \), also... auch selbstinvers?



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-20


2020-02-20 09:48 - Gemini in Beitrag No. 6 schreibt:
\( \sigma_3 ( \sigma_3 (\sqrt[4]{5}))= \sigma_3 (\mathrm{i}\sqrt[4]{5}) = \mathrm{i}\cdot \sigma_3 (\sqrt[4]{5}) =\mathrm{i}\sqrt[4]{5} \), also... auch selbstinvers?

Diese Zeile versteh ich beim besten Willen nicht. Wenn ich nämlich etwa in der letzten Gleichung
\[\mathrm{i}\cdot \sigma_3 (\sqrt[4]{5}) =\mathrm{i}\sqrt[4]{5}\] durch i kürze, so würde ich doch
\[\sigma_3 (\sqrt[4]{5}) =\sqrt[4]{5}\] also dann einen glatten Widerspruch zur Definition von $\sigma_3$ erhalten, oder etwa nicht?  😮



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Gemini
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Oh ja stimmt, danke weird 😁

\(σ_3\): \(\sqrt[4]{5}\mapsto \mathrm{i}\sqrt[4]{5}\).   Also \(σ_3(σ_3(\sqrt[4]{5})) = σ_3(\mathrm{i}\sqrt[4]{5}) = \mathrm{i}\cdot σ_3(\sqrt[4]{5}) = \mathrm{i}(\mathrm{i}\sqrt[4]{5}) = -\sqrt[4]{5} = σ_2(\sqrt[4]{5})\)

\(σ_4\): \(\sqrt[4]{5}\mapsto -\mathrm{i}\sqrt[4]{5}\).   Also \(σ_4(σ_4(\sqrt[4]{5})) = σ_4(-\mathrm{i}\sqrt[4]{5}) = -\mathrm{i}\cdot σ_4(\sqrt[4]{5}) = -\mathrm{i}(-\mathrm{i}\sqrt[4]{5}) = -\sqrt[4]{5} = σ_2(\sqrt[4]{5})\)


Okay. Sollte das jetzt so stimmen, dann ist \(\mathrm{Gal}(K(\sqrt[4]{5})/K) \cong \mathbb Z/4\mathbb Z \) mit
\( σ_1 \mapsto \bar 0 \)
\( σ_2 \mapsto \bar 2 \)
\( σ_3 \mapsto \bar 1 \)
\( σ_4 \mapsto \bar 3 \)

Oder?  😄



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-22


Ja, richtig.



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Gemini
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Juhu! Vielen herzlichen Dank nochmal!  😄



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