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Analysis » Funktionen » Partialbruchzerlegung Probleme
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Universität/Hochschule Partialbruchzerlegung Probleme
JBelfort2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-19


Hallo, habe folgende Aufgabenstellung und komme leider auf keinen grünen Zweig :( Die Lösung ist mir lt. Prof. ebenfalls bekannt, nur weiß ich nicht genau wie ich dort hinkomme. Die Partialbruchzerlegung findet im Rahmen einer z-Transformation statt.


Aufgabe:

\( \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} )* (x+\frac{2}{3})} \ =  \frac{A}{(x-\frac{3}{5} )} \ +  \frac{B}{(x+\frac{2}{3})}) \)


Problem/Ansatz:

Das Problem besteht darin, dass wenn ich den Koeffizientenvergleich mache mit x^2 kommt 1 = 0 raus. bei x^1 steht 0 = A + B und bei x^0 steht 0 =(2/3)A - (3/5)B


Weiß hier jemand weiter? Die Lösung sollte folgendes sein: A = 9/19 und B = 10/19



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Dein Ansatz ist falsch, weil er das Quadrat im Zähler nicht berücksichtigt.

Ein möglicher Ansatz wäre der, eine Polynomdivision (mit Rest) durchzuführen, so das eine Darstellung der Art

\[\frac{x^2}{\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)}=1+\frac{Ax+B}{\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)}\]
entsteht. Auf den Rest kannst du dann das gewohnte Verfahren anwenden.

Die oben angegebene Darstellung kann aus leicht ersichtlichen Gründen nicht stimmen, da man bei der Addition der beiden Brüche im Zähler so ja nur einen linearen Term erhalten würde.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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JBelfort2020
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.02.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-19


Hallo Diophant,

Danke für deine schnelle Antwort!

Stimmt, das macht keinen Sinn, da muss der Ansatz falsch sein. Habe jetzt einmal wie von dir vorgeschlagen eine Polynomdivision gemacht, das funktioniert sehr gut. Das einzige bzw. der einzigste Unterschied ist, das ich nicht Ax+B habe sondern A/(x - 3/5) und B/(x + 2/3). Müsste das nicht eher stimmen? Also 1 + A/(x - 3/5) + B/(x + 2/3)?

Oder gibt es hier einen fixen Ansatz dazu?

Schöne Grüße, Thorsten



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3115
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Thorsten,

2020-02-19 16:24 - JBelfort2020 in Beitrag No. 2 schreibt:
Stimmt, das macht keinen Sinn, da muss der Ansatz falsch sein. Habe jetzt einmal wie von dir vorgeschlagen eine Polynomdivision gemacht, das funktioniert sehr gut. Das einzige bzw. der einzigste Unterschied ist, das ich nicht Ax+B habe sondern A/(x - 3/5) und B/(x + 2/3). Müsste das nicht eher stimmen? Also 1 + A/(x - 3/5) + B/(x + 2/3)?

Doch genau, darauf läuft es hinaus. Ich hatte den Rest ja noch nicht zerlegt, daher der lineare Term im Zähler.

Zur Kontrolle: du solltest für diese Version die Koeffizienten \(A=\frac{27}{85}\) und \(B=-\frac{20}{57}\) erhalten.

Sagt wenigstens mein CAS.  😄


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-19


2020-02-19 15:16 - JBelfort2020 im Themenstart schreibt:

Aufgabe:

\( \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} )* (x+\frac{2}{3})} \ =  \frac{A}{(x-\frac{3}{5} )} \ +  \frac{B}{(x+\frac{2}{3})}) \)

Ich möchte mich nicht einmischen, aber hier fehlt offenbar der Faktor x bei A und B
\( \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} )* (x+\frac{2}{3})} \ =  \frac{Ax}{(x-\frac{3}{5} )} \ +  \frac{Bx}{(x+\frac{2}{3})}) \)

LG querin



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3115
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
@querin:
2020-02-19 17:31 - querin in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-02-19 15:16 - JBelfort2020 im Themenstart schreibt:

Aufgabe:

\( \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} )* (x+\frac{2}{3})} \ =  \frac{A}{(x-\frac{3}{5} )} \ +  \frac{B}{(x+\frac{2}{3})}) \)

Ich möchte mich nicht einmischen, aber hier fehlt offenbar der Faktor x bei A und B
\( \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} )* (x+\frac{2}{3})} \ =  \frac{Ax}{(x-\frac{3}{5} )} \ +  \frac{Bx}{(x+\frac{2}{3})}) \)

Ja, das ist die andere Möglichkeit. Und die passt auch mit der angegebenen Lösung zusammen. Danke für den Hinweis!


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-02-19 17:31 - querin in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-02-19 15:16 - JBelfort2020 im Themenstart schreibt:

Aufgabe:
\( \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} )* (x+\frac{2}{3})} \ =  \frac{A}{(x-\frac{3}{5} )} \ +  \frac{B}{(x+\frac{2}{3})}) \)

Ich möchte mich nicht einmischen, aber hier fehlt offenbar der Faktor x bei A und B
\( \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} )* (x+\frac{2}{3})} \ =  \frac{Ax}{(x-\frac{3}{5} )} \ +  \frac{Bx}{(x+\frac{2}{3})}) \)

· Ich würde das zum einen mal ordentlich notieren und zum anderen mir nicht irgendwelche Sonderregeln merken, sondern einfach realisieren, dass hier
2020-02-19 15:16 - JBelfort2020 im Themenstart schreibt:
\( \displaystyle \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} ) \cdot (x+\frac{2}{3})}
 = \dots \)
keine echt-gebrochenrationale Funktion vorliegt und man erst die Polynomdivision durchführen muss, um dann den bekannten Ansatz auf den Restterm anzuwenden.

Siehe hier Schritt (0)
2015-09-15 13:44 - Ex_Senior in Beitrag No. 17 schreibt:
<math>

%Nodes
\tikzset{mystyle/.style={
font=\sffamily, align=center,
fill=yellow!50, %rounded corners,
draw=red!60!black, thick,
}}

\tikzset{hightstyle/.style={
minimum height=1.25cm,
text width=2.5cm,
}}

\tikzset{widthstyle/.style={
minimum width=5.25cm
}}

\tikzset{numberstyle/.append style={
text=red!60!black, fill=none, draw=none,
xshift=1cm
}}

\tikzset{annotationsstyle/.style={
text width=2.5cm,
align=left,
text=black, fill=none, draw=none,
yshift=1cm
}}

%Texte
\def\TextUeberschrift{Partialbruchzerlegung (PBZ) \\ \scriptsize{Gegeben: $f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)}$ }}
\def\TextNull{Grad Zhler $<$ Grad Nenner \\
\scriptsize{Falls nicht: Polynomdivision durchfhren und}\\
\scriptsize{folgende Schritte auf Restterm anwenden}}
\def\TextEins{Nenner in Linearfaktoren zerlegen}
\def\TextZwei{Ansatz \\ \scriptsize{Reelle bzw. komplexe PBZ}}
\def\TextDrei{Konstanten in Partialbruchzhlern \\ bestimmen}
\def\TextDreiA{Zuhaltemethode \\ \scriptsize{(Grenzwertmethode)}}
\def\TextDreiB{Einsetzmethode}
\def\TextDreiC{Koeffizienten- \\ vergleich}

\begin{tikzpicture}[
->, draw=black, very thick, >=latex,
%shorten <=1em, shorten >=1em,
%Baum
level distance=1.75cm,
level 1/.style={sibling distance=4.0cm,shorten <=0.25em, shorten >=0.25em},
%level 2/.style={sibling distance=2.0cm},
level 3/.style={sibling distance=4.25cm,shorten <=0.5em, shorten >=0.5em},
%
every node/.style={mystyle}
]

% Baum:
\node[widthstyle]{\TextUeberschrift}
child{%
node[widthstyle](0){\TextNull}
child{%%
node[widthstyle](1){\TextEins}
child{%%%
node[widthstyle](2){\TextZwei}
child{%%%%
node[widthstyle](3){\TextDrei}
child{node[hightstyle,yshift=-6.25](3a){\TextDreiA}}
child{node[hightstyle, yshift=-6.25](3b){\TextDreiB}}
child{node[hightstyle, yshift=-6.25](3c){\TextDreiC}}
}%%%%
}%%%
}%%
}%
;

% Nummerierung
\node[numberstyle, left=of 0]{(0)};
\node[numberstyle, left=of 1]{(1)};
\node[numberstyle, left=of 2]{(2)};
\node[numberstyle, left=of 3]{(3)};
\node[numberstyle, left=of 3a]{(3a)};
\node[numberstyle, left=of 3b]{(3b)};
\node[numberstyle, left=of 3c]{(3c)};

% Annotationen:
\newcommand{\PRO}[1]{
%\begin{varwidth}{\linewidth}
\vbox{
\begin{itemize}%[leftmargin=*]
\item[$\pmb{\oplus}$] \scriptsize{#1}
\end{itemize}
}
}

\newcommand{\CONTRA}[1]{
\vbox{
\begin{itemize}
\item[$\pmb{\circleddash}$] \scriptsize{#1}
\end{itemize}
}
}


\node[annotationsstyle, below=of 3a, xshift=3mm]{
\PRO{\vbox{Geht am schnellsten. Kombinierbar mit (3b) bzw. (3c)}}
};
\node[annotationsstyle, below=of 3a, yshift=-9.25mm, xshift=3mm]{
\CONTRA{\vbox{Geht oft nicht direkt fr alle Konstanten}}
};


\node[annotationsstyle, below=of 3b, xshift=3mm]{
\PRO{\vbox{Oft einfache Rechnung}}
};
\node[annotationsstyle, below=of 3b, yshift=-9.25mm, xshift=3mm]{
\CONTRA{\vbox{Oft LGS zu lsen}}
};

\node[annotationsstyle, below=of 3c, xshift=3mm]{
\PRO{\vbox{Oft einfaches LGS}}
};
\node[annotationsstyle, below=of 3c, yshift=-9.25mm, xshift=3mm]{
\CONTRA{\vbox{Oft hoher Rechenaufwand}}
};


\end{tikzpicture}
</math>


Es ist offensichtlich, dass die Polynomdivision hier von der Form
$\dfrac{\text{Quadr. Term I}}{\text{Quadr. Term II}}
 = \text{Zahl}
    + \dfrac{\text{Linearer Term}}{\text{Quadr. Term II}}$     ist.

Wenn man das schon weiß kann man für diesen Schritt auch einfacher in der Form
2020-02-19 15:24 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
\[\frac{x^2}{\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)}=1+\frac{Ax+B}{\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)}\]
ansetzen; woraus sich leicht die Größen $A$ und $B$ bestimmen lassen, also ohne Nenner ausmultiplizieren oder sowas.

Wenngleich gewisse optische Ähnlichkeiten bestehen mögen ist das aber immer noch nicht die Partialbruchzerlegung; diese ist -wie gesagt- nunmehr mit dem Restterm durchzuführen.


· Zusätzlich ist es kein Fehler zu wissen,wie die bekannte Form der Partialbruchzerlegung überhaupt zustande kommt; was nur selten gezeigt wird (wenn dann in irgendwelchen hochabstrakten Zusammenhängen o.ä.), mit dem Ergebnis, dass kaum jemand weiß, was er da eigentlich macht; und dann geneigt ist irgendwelche seltsamen Ansätze auszuprobieren.
\(\endgroup\)


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JBelfort2020
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.02.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Super Danke für eure ausführlichen Antworten @Diophant! und geroyx, haben mir sehr weitergeholfen.

Schöne Grüße :)



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-20


Mit dem Paket polynom:

<math>

\polyadd{\Zaehler}{x^2}{0}%
\polyadd{\Nenner}{(x+2/3)*(x-3/5)}{0}%
\def\nenner{\polyfactorize\Nenner}
\polydiv\QuotientOhneRest\Zaehler\Nenner%

$\displaystyle \frac{\polyprint\Zaehler}{\nenner}
= \polyprint\QuotientOhneRest
+ \frac{\polyprint\polyremainder}{\nenner}
= 1 + \frac{\frac{27}{95}}{x -\frac{3}{5}}
+ \frac{-\frac{20}{57}}{x +\frac{2}{3}}$

%\polylongdiv[style=C]\Zaehler\Nenner
</math>

(Die PBZ macht er nicht.)



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