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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz einer rekursiven Folge zeigen
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Universität/Hochschule Konvergenz einer rekursiven Folge zeigen
MalibuRazz
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  Themenstart: 2019-11-15

Hallo, Ich muss die Konvergenz folgender rekursiv definierten Folge zeigen, ohne das Monotoniekriterium zu verwenden: a_0 = 1, a_(k+1) = 1+ 1/a_k mit a_k \el\ [1,2] Dazu muss ich zeigen, um das Cauchy-Kriterium anwenden zu können, dass abs(a_(k+1) - (a_k)) <= 1/2 abs(a_k - a_(k-1)) gilt Meine Vorüberlegung: Ich hätte es mithilfe der Dreiecks-Gleichung gemacht und auf der rechten Seite (+a_(k-1) - a_(k-1)) (+a_k-a_k) ... dafür ergänzt. dass a_k immer kleiner gleich 2 gelten muss ist auch hilfreich denke ich. Danke für jede Hilfe!!


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\) Hallo, wo in alles in der Welt nimmst du hier die \(1/2\) her? :-o Es war eine rhetorische Frage, denn ich glaube, ich weiß es. Der Faktor \(1/2\) resultiert ja dort nur aus dem Beispiel. Rechne also mit der Rekursion einmal \(\left|a_{k+1}-a_k\right|\) aus, dann brauchst du eine simple Bruchrechnung, nach der du wiederum eine sehr einfache Abschätzungsmöglichkeit gegen \(\left|a_k-a_{k-1}\right|\) sehen solltest... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]\(\endgroup\)


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