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Kombinatorik & Graphentheorie » Graphentheorie » 4-regulärer Streichholzgraph mit 88 Kanten und 44 Knoten
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Kein bestimmter Bereich 4-regulärer Streichholzgraph mit 88 Kanten und 44 Knoten
Slash
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  Themenstart: 2013-05-04

Hallo Leute, ich glaube einen 4-regulären Streichholzgraphen gefunden zu haben, der mit weniger Kanten und Knoten als der bekannte Harborth-Graph (104 Kanten, 52 Knoten) auskommt. Er besitzt 88 Kanten und 44 Knoten. Ich dachte, wenn es einen kleineren solchen Graphen gibt, dann muss er unsymmetrisch sein. Also habe ich mir ein Graphen-Konstruktions-System aus Metallschrauben und Schnellhefter-Streifen überlegt, dass sich auf einer Tischplatte leicht verschieben lässt (Materialkosten unter 7 Euro). Ich habe dann aus Grundelementen, die aus vier gleichseitigen Dreiecken bestehen einen Kreis gebildet, den Kreis aufgebrochen und so lange und mit neuen Elementen kombiniert und verschoben, bis es passte. Das Ganze hat keine Stunde gedauert. Ich habe die Geometrie des Graphen allerdings noch nicht schriftlich bewiesen, sollte aber wohl stimmen. Das erste Bild zeigt mein Original, das zweite die graphische Darstellung mit gefärbten gleichseitigen Dreiecken. Winkler-Graph Original Winkler-Graph Zeichnung Gute Nacht und viele Grüße, Slash


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2013-05-04

Hallo Slash, meine Vermutung lautet, dass die beiden innersten Punkte zusammenfallen müssen, wenn der Aufbau mit wirklich gleichlangen Kanten ohne Toleranzen an den Knotenpunkten erfolgt. Viele Grüße, Stefan


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Slash
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-06

Hallo Stefan, du hast Recht, eine Überprüfung mit einem CAD-Programm hat genau dies ergeben. Da ist mein System doch nicht starr genug. Zumal ich oben rechts einen dummen Fehler gemacht habe. (Bild roter Kreis) Das kann natürlich nicht funktionieren mit einem 180 Grad Winkel. Bildbeschreibung Gruß, Slash


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Slash
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-10

Hallo, ich schreibe gerade an einem Artikel über reguläre Streichholzgraphen. Darin soll gezeigt werden, dass der Harborth-Graph der minimalste 4-reguläre ist. Ich postuliere darin vor allem die Symmetrie einer minimalen Lösung, doch bei der Konstruktion eines unsymmetrischen Gegenbeispiels bin ich auf das hier gestoßen. Bildbeschreibung Das Interessante ist, dass mein Graph alle Minimalitätskriterien aufweist, die auch der Harborth-Graph besitzt, allem voran einen inneren Kreis aus acht Kanten, nur ist er eben nicht symmetrisch. Was haltet Ihr davon? Gruß, Slash


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chryso
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  Beitrag No.4, eingetragen 2013-05-10

Hallo Slash! Nimm einmal das südwestliche Trapez (an das dein rosa Vieleck stößt.) Dieses wird von zwei weißen Vierecken begrenzt. Das müssten Rauten sein. Rein optisch schaut es aber nicht so aus. LG chryso


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Slash
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-12

Hallo Chryso, nach langen Stunden zeichnen und basteln zeigt mein CAD-Papier-Stecknadelmodell genau an dieser Stelle (roter Kreis) den Fehler. Man kann den Fehler aber auch im Umfeld verschieben. Letzten Endes passt es nie. Bildbeschreibung Der Graph besitzt übrigens drei große "starre" Untergraphen, was mir erst später aufgefallen ist. Bildbeschreibung Gruß, Slash [ Nachricht wurde editiert von Slash am 12.05.2013 20:38:50 ]


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Slash
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-03-21

Hi, ich habe heute mal wieder mit 4-regulären Streichholzgraphen gespielt und möchte an dieser Stelle meine Ergebnisse präsentieren. Ob alle diese Graphen wirklich geometrisch existieren sei hier zur Diskussion gestellt. Meine Modelle sind leider nicht starr genug. Drei Graphen mit 108 Kanten und 54 Knoten. http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_winkler_graph_108_54.jpg Graph mit 106 Kanten und 53 Knoten. http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_winkler_graph_106_53.jpg Graph mit 104 Kanten und 52 Knoten. Dieser Graph könnte ein langgesuchter Bruder des Harborth-Graphen sein. http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_winkler_graph_104_52.jpg Graph mit 102 Kanten und 51 Knoten. Dieser unsymmetrische Graph ist sogar minimaler als der Harborth-Graph, allerdings sehe ich seine Existenz selbst sehr kritisch. http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_winkler_graph_102_51_.jpg Gruß, Slash


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Slash
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-03-21

Vielleicht könnte einer der Graphen mit 108 Kanten existieren. Bei den anderen bin ich jetzt sehr skeptisch, zumal bei den kleineren Graphen nur ein Winkel die gesamte Geometrie zu bestimmen scheint, da die Seiten wegen der Symmetrie im rechten Winkel bzw. gegenüberliegende Seiten parallel zueinander stehen müssen. http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_winkel.jpg Gruß, Slash


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Slash
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-03-22

So, habe jetzt die Winkel berechnet und mit CAD gezeichnet. Ergebnis: unmögliche Geometrie Genau eine Kante ist zu kurz bei möglichen Winkeln. Wegen der zweifachen Achssymmetrie sind es natürlich insgesamt vier Kanten. http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_winkel_jpg.jpg Wenn alle Winkel und Längen stimmen, dann überschneiden sich die mittleren Dreiecke, da der seitliche Winkel nur noch ca. 1 Grad beträgt. http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_winkel-jpg2.jpg Der Graph mit 106 Kanten ist dann wohl auch nicht möglich. Gruß, Slash


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StefanVogel
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  Beitrag No.9, eingetragen 2014-03-22

\ Hallo Slash, Anstelle deiner Winkel\-Lösung 29°+1° aus deinem vorhergehenden Beitrag erhalte ich zwei andere Lösungen 27.81497244971661°+2.185027550282484° sowie 14.50611277493572°+15.4938872250643° Dieses unterschiedliche Ergebnis kann daran liegen, dass ich möglicherweise auf einem anderen Weg gerechnet habe, was bei einem unmöglichen System zu einer anderen Lösung führen kann: Ich habe die 5 Randdreiecke in der Schräge rechts unten als "starren" Untergraphen angenommen und die daran anliegenden Winkel und Vierecks\-Diagonalen berechnet, ausgehend von dem rot eingezeichneten spitzen Winkel (die 29° in deiner Lösung). Aus der Bedingung "rechte Kante muss genau vertikal sein" erhalte ich dann die beiden angegebenen Lösungen. Das gleiche Muster tritt auch nochmal im dritten Graph 108,54 in Beitrag No.6 auf. Viele Grüße, Stefan


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Slash
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2014-03-22

Hi Stefan, danke fürs Nachrechnen. Ich hätte statt "Winkel berechnet" besser "mit Winkelbeziehungen grob abgeschätzt" sagen müssen. So kommen die Unterschiede zu stande. Ich wußte nicht, wie ich das einzelne gleichseitige Dreieck mit einbeziehen sollte. Gruß, Slash


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StefanVogel
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  Beitrag No.11, eingetragen 2014-03-23

\ Bei dem einzelnen gleichseitigen Dreieck muss man nur nachprüfen, wie weit die zum Mittelpunkt des Graphen zeigende Ecke von der horizontalen Symmentrielinie des Graphen abweicht. Ich erhalte bei 27.81497244971661°+2.185027550282484° eine Abweichung 0.0222548, bei 14.50611277493572°+15.4938872250643° eine Abweichung 0.898327. Damit ist auch nach dieser Berechnung der Graph 104,52 unmöglich. Ich schreibe jetzt nicht den ausführlichen Rechenweg mit Skizze \(und möglichen Rechenfehlern) auf, denn für die anderen Graphen ist eine solche handschriftliche Rechnung ohnehin nicht mehr machbar. Da muss ein passendes Computerprogramm her. Bei Graph 102,51 kann man sich zwar über die gesamte rechte Hälfte mit fortgesetztem Ansetzen von Dreiecken hindurchhangeln, aber sobald man auf ein Viereck trifft, geht es nicht mehr weiter.


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StefanVogel
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  Beitrag No.12, eingetragen 2014-10-04

Hallo Slash, ich habe jetzt die Graphen aus Beitrag No.6 näherungsweise ausgerechnent. Es sind leider keine brauchbaren Ergebnisse dabei. Als ideales Fachwerk betrachtet muss der Graph die notwendige Bedingung 2k=s+3 (k=Anzahl Knoten, s=Anzahl Stäbe) erfüllen, um statisch bestimmt zu sein. Nur dann gibt es keine beweglichen Bestandteile und es treten auch keine Verformungen auf, wenn Teile wegen geringfügiger Längenabweichung nicht richtig zusammenpassen. Für den Harborth-Graph gilt aber stets 2k=s. Deshalb habe ich versucht, je drei Stäbe (rot gezeichnet) so herauszunehmen, dass ein statisch bestimmter Graph übrigbleibt. Wenn ich noch weitere Stäbe entferne (grün gezeichnet), zerfällt der Graph in zueinander bewegliche Teile. Diese Bewegungsmöglichkeit sind als blaue Winkel dargestellt. Die blauen Winkel habe ich dann mit einem Gleichungssystem so bestimmt, dass die Abstände für die grünen Stäbe passen und diese eingesetzt werden können. Für die roten Stäbe bleibt schließlich keine Variationsmöglichkeit mehr übrig und man muss die Abstände nehmen so wie sie sind. Das habe ich für alle Graphen aus Beitrag No.6 ausgeführt und es ist kein Graph dabei, wo die roten Abstände wenigstens annähernd passen. Falls sich doch noch eine Lösung findet, wo auch die roten Stäbe fast die geforderte Länge haben, muss natürlich ein anderes Verfahren für den Beweis verwendet werden. Leider ist das Programm zu unhandlich, um damit schnell neue Varianten zu finden. Für eine systematische Suche könnte man auch verwenden, dass vermutlich der Harbortgraph immer von Trapezen aus starr miteinander verbundenen Dreiecken eingerahmt ist, zum Beispiel im Themenstart 5+3+3+3+3+3+3 Dreiecke. Dann könnte man verschiedene solche Zerlegungen nach der Summe der Dreiecke sortieren und der Reihe nach untersuchen, ob sie im Inneren zu einem Harborth-Graph fortgesetzt weren können. Aber erstmal die jetzigen Ergebnisse: \geo #108 Kanten 54 Knoten links oben ebene(500,500) xy(0,8) print(108\_Kanten\_54\_Knoten\_links\_oben,1,8) form(.) p(6,0,P1) p(5,0,P2) p(5.5,0.8660254037844386,P3) p(4.5,0.8660254037844386,P4) p(4,0,P5) p(3.5,0.8660254037844386,P6) p(3,0,P7) p(3.191652181857391,0.9814629087180531,P8) p(2.245854279106694,0.6567071125382427,P9) p(2.437506460964086,1.638170021256296,P10) p(1.491708558213388,1.313414225076485,P11) p(1.683360740070779,2.294877133794539,P12) p(0.7375628373200822,1.970121337614728,P13) p(3.186612712819707,1.98145021051334,P14) p(4.128032302463753,1.644212673702212,P15) p(5.117359632955445,1.789922773359657,P16) p(4.496507319818289,2.573850324394983,P17) p(3.555087730174245,2.911087861206111,P18) p(2.565760399682552,2.765377761548666,P19) p(1.619962496931857,2.440621965368853,P20) p(0.7712971709943712,2.969552173006329,P21) p(1.653696830606146,3.440052800760454,P22) p(0.8050315046686602,3.968983008397929,P23) p(2.647797694906095,3.331593261769672,P24) p(1.799132368968611,3.860523469407147,P25) p(1.396010652867401,4.775669841310362,P26) p(2.390111517167351,4.66721030231958,P27) p(1.986989801066142,5.582356674222795,P28) p(5.617359632955444,0.9238973695752182,P29) p(6.608798409019482,0.7933249631615962,P30) p(6.226158041974926,1.717222332736814,P31) p(7.217596818038962,1.586649926323192,P32) p(5.477594868969639,2.380285810859579,P33) p(6.317733653578698,2.02282223774101,P34) p(7.145401537924037,2.584040442384543,P35) p(6.245538373463774,3.020212753802361,P36) p(7.073206257809113,3.581430958445894,P37) p(4.98317564967998,5.73358617057242,P38) p(2.985718417270755,5.632766506339336,P39) p(2.530010304381882,4.742637237161391,P40) p(3.528738920586496,4.793047069277933,P41) p(3.984447033475368,5.683176338455878,P42) p(4.527467536791108,4.843456901394476,P43) p(6.376529388432735,4.298816029154737,P44) p(6.103594127591371,3.336783626691359,P45) p(5.406917258214994,4.054168697400201,P46) p(5.679852519056358,5.016201099863578,P47) p(4.710240388838617,4.771553768109043,P48) p(2.933132020483094,3.827490865258178,P49) p(3.905657064672597,4.060289143654311,P50) p(4.866693789952986,3.78386842687942,P51) p(5.554565535096073,3.058036171992794,P52) p(3.621003765626179,3.10165861037155,P53) p(4.582040490906569,2.825237893596659,P54) nolabel() s(P2,P1) s(P3,P2) s(P3,P1) s(P4,P2) s(P4,P3) s(P5,P2) s(P5,P4) s(P6,P5) s(P6,P4) s(P7,P5) s(P7,P6) s(P8,P7) s(P9,P7) s(P9,P8) s(P10,P9) s(P10,P8) s(P11,P9) s(P11,P10) s(P12,P11) s(P12,P10) s(P13,P11) s(P13,P12) s(P14,P8) s(P15,P14) s(P15,P6) s(P16,P15) s(P16,P3) s(P17,P15) s(P17,P16) s(P18,P19) s(P18,P14) s(P19,P12) s(P19,P14) s(P20,P13) s(P20,P19) s(P21,P13) s(P21,P20) s(P22,P21) s(P22,P20) s(P23,P21) s(P23,P22) s(P24,P22) s(P24,P18) s(P25,P23) s(P25,P24) s(P26,P23) s(P26,P25) s(P27,P26) s(P27,P25) s(P28,P26) s(P28,P27) s(P29,P16) s(P29,P1) s(P30,P29) s(P30,P1) s(P31,P29) s(P31,P30) s(P32,P31) s(P32,P30) s(P33,P17) s(P33,P31) s(P34,P35) 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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-05

Wow! Erstmal danke für diese arbeitsintensiven Überlegungen. Ich habe mich die letzte Zeit nicht mehr damit beschäftigt, obwohl ich noch einen Artikel zum Thema in Arbeit habe. Ich habe u.a. einen Algorithmus in Planung, der von einem "äußeren Kreis oder Hülle" ausgehend die Innenfläche füllt. Es gibt nämlich nur eine Handvoll solcher Kreishüllenkonstruktionen die für einen kleineren als den Harborth-Graphen in Frage kommen. Gruß, Slash


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