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Matheplanet

Thema eröffnet von: Bernhard
Geburtstage 2020
Beitrag No.69 im Thread

2020-11-18
epsilonkugel

2020-11-17 18:16 - Bernhard in Beitrag No. 67 schreibt:
Mit dem berüchtigten Freitag, den 13. muß es doch etwas auf sich haben:
Ausgerechnet da ist mir die Epsilonkugel davongerollt, habe ich den Berufspenner verpennt und thureduehrsen ebenfalls. Ich hoffe ich kann sie alle drei wieder einfangen, um Ihnen zu gratulieren und damit sie noch lange auf dem Matheplaneten wohnen (und leben 😉) können!

Viele Grüße an sie von Bernhard

Hallo Bernhard,

das ist aber lieb, danke dir! Ich schau zwar immer mal wieder in das Forum rein, war aber länger nicht mehr richtig aktiv.
Trotzdem wird der MP immer zu meinen Lieblingsforen gehören ;).

Liebe Grüße
epsilonkugel

Matheplanet

Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Treffen im Okt., Nov. oder Juli?
Beitrag No.6 im Thread

2018-01-20
epsilonkugel

Hallo,

ich wäre dieses Jahr auch wieder gerne dabei, könnte aber Ende März/Anfang April nicht. Stimme Bernhard zu, dass ein Treffen im Herbst eventuell besser wäre. Der Vorschlag von Schwolf gefällt mir gut.

Gruß,
Sabrina

Topologie

Thema eröffnet von: matheklar
magere Mengen
Beitrag No.1 im Thread

2017-11-10
epsilonkugel

Hallo.

die Vorgehensweise sagt dir bereits die Definition: Hast du schon eine Idee für Kandidaten solcher nirgens dichten Mengen?

Gruß

Aktuelles und Interessantes

Thema eröffnet von: stpolster
"Scherzfrage" in Matheprüfung
Beitrag No.3 im Thread

2017-11-07
epsilonkugel

Echt lustig:D

aber ja, sowas darf nicht in eine Abschlussprüfung.

Aktuelles und Interessantes

Thema eröffnet von: ligning
Maryam Mirzakhani verstorben
Beitrag No.6 im Thread

2017-10-26
epsilonkugel

Sehr traurig.
Vor ein paar Tagen gab es eine Geenkfeier an der Stanford Universität, die man sich hier www.youtube.com/watch?v=IUfB2HadIBw&feature=youtu.be ansehen kann.

Liebe Grüße

Funktionalanalysis

Thema eröffnet von: 3nondatur
Wie würdet ihr das Themengebiet Funktionalanalysis beschreiben ?
Beitrag No.2 im Thread

2017-09-27
epsilonkugel

Hi.

Ja, das ist ok so. So in etwa hat die Professorin, bei der Ich Funkana gehört hatte, damals das die Vorlesung zu Funkana1 motiviert.

Gruß

Mehrdim. Differentialrechnung

Thema eröffnet von: Gautschi
Differenzierbarkeit einer in Teilen definierten Funktion
Beitrag No.1 im Thread

2017-06-27
epsilonkugel

Hallo,

ich will nur Anmerken, dass es die Frage vor ein paar Tagen schonmal gab

Differenzierbarkeit auf R^2
allerdings unbeantwortet. Bzgl. Diskussionen der Aufgabe betreffend wäre meine Bitte, diese hier weiter zu führen.

Gruß
Analysis-Mod.

Stetigkeit

Thema eröffnet von: HannahBlubb
Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen
Beitrag No.3 im Thread

2017-05-10
epsilonkugel

Hallo,
bei (iii) stimmt es leider nicht, du hast zwar im Exponent, dass $<math>\ln(r^2)\to -\infty</math>$ für r gegen 0, allerdings hast du noch ein r^2 vor dem ln im Exponenten.
Es gilt $<math>\lim\limits_{r\to 0} f(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))=1</math>$ und man könnte es wie folgt einsehen (etwas tricky):
zunächst: $<math>f(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))= e^{r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)\ln(r^2)}=e^{2r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)\ln(r)}</math>$ (im letzten Schritt geht die Regel $<math>\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)</math>$ ein).
Und nun erhalten wir mit $<math>2\cos(\varphi)\sin(\varphi)=\sin(2\varphi)</math>$ : $<math>\ln f(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))=2r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)\ln(r)=r^2\sin(2\varphi)\ln(r)</math>$ und mit L'Hospital
$<math>\lim\limits_{r\to 0} r^2\sin(2\varphi)\ln(r)=\lim\limits_{r\to 0} \frac{\ln(r)}{1/r^2}\sin(2\varphi)=\lim\limits_{r\to 0} \frac{1/r}{-2/r^3}\sin(2\varphi)=0</math>$ unabhängig von $<math>\varphi</math>$ .
Und da $<math>\lim\limits_{r\to 0}\ln f(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))=0</math>$ , folgt mit Stetigkeit von

und

: $<math>\lim\limits_{r\to 0} f(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))=1</math>$ .
Lg

Stetigkeit

Thema eröffnet von: HannahBlubb
Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen
Beitrag No.1 im Thread

2017-05-09
epsilonkugel

Willkommen im Forum, HannahBlubb

du kannst Polarkoordinaten benutzen, das reicht aus und (i) ist richtig. Hast du dich vielleicht bei (ii) mit den Polarkoordinaten verrechnet? Die Methode ist nicht für alle Funktionen brauchbar, aber manchmal sehr nützlich wie für Funktionen in (i). Nr (ii) ist richtig und das zeigt, dass die Funktion nicht stetig in

fortgesetzt werden kann.
Zur Nr (iii) probiere $<math>(x^2+y^2)^{xy}=e^{xyln(x^2+y^2)}</math>$ . Siehst du jetzt die Definitionslücke?

Liebe Grüße

Topologie

Thema eröffnet von: infinite_85
Satz von Baire
Beitrag No.2 im Thread

2017-03-30
epsilonkugel

Hallo,

eines der einfachsten Beispiele ist $<math>\mathbb{Q}</math>$ mit der Standardtopologie von $<math>\mathbb{R}</math>$ kommend, ausgestattet.
Und zwar kann man den Satz in äquivalenter Weise auch so formulieren:

Sei

ein vollständiger metrischer Raum, $<math>(A_i)_{i\in\mathbb{N}}</math>$ eine Folge von abgeschlossenen Teilmengen in

mit $<math>X=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i</math>$ . Dann existiert ein $<math>i_0\in\mathbb{N}</math>$ mit Interior( $<math>A_{i_0}</math>$ ) $<math>\neq\emptyset</math>$ .
(d. h. mindest eines der

hat nichtleeres Inneres, ist also nicht mager und man liest den Satz als:

kann nicht als abzählbare Vereinigung von mageren Mengen geschrieben werden).

Die rationalen Zahlen kann man nun als abzählbare Verinigung von Einpunktmengen schreiben.

Lg

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Didaktik der Mathematik

Thema eröffnet von: Gerhardus
Rechengesetze im 7. Schuljahr
Beitrag No.12 im Thread

2017-03-29
epsilonkugel

Hallo Gerhardus,

ich stimme dir da zu. Für mich ist dieser Auszug im Startbeitrag keine gelungende "Erklärung" der Rechengesetze (wenn man das überhaupt "Erklärung" nennen kann). Und die Art und Weise wie Mathematik in der Schule unterrichtet wird, empfinde ich (sofern ich das mitkriege ) meistens auch als kontraproduktiv und demotivierend.

Liebe Grüße

Matheplanet

Thema eröffnet von: Wally
MPCT 2017 Planung
Beitrag No.49 im Thread

2017-03-27
epsilonkugel

Der Juni ist zwar bei mir schon überbelastet, aber 8.-11. hab ich noch ein bischen Platz. Insofern, bin auch dabei. Mit Iphofen wäre ich auch einverstanden.
Und @Goswin danke.

Stetigkeit

Thema eröffnet von: excentrique
Folgenkriterium
Beitrag No.2 im Thread

2017-03-20
epsilonkugel

Hallo.

Hier wird die Folgenstetigkeit benutzt. Sobald eine Folge gefunden wurde, bzw. man eine konkrete Folge wählen kann, sodass der Grenzwert in dem Punkt nicht 0 ist, ist in dem Punkt hier die Stetigkeit verletzt(und hier kommt als Grenzwert $<math>c^2\neq 0</math>$ raus, d.h. die Folge tut's), also in dem Punkt nicht stetig. Deswegen wählt man hier diese Folge. Man kann auch andere Folgen finden an denen man sieht, dass die Funktion da nicht stetig ist, aber es reicht, eine anzugeben. Die hier gewählte Folge ist ein passendes Beispiel

Lg

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Topologie

Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Folgenkriterium für Abgeschlossenheit in Verbindung mit Kompaktheit
Beitrag No.3 im Thread

2017-03-19
epsilonkugel

Achso, das ist aber nicht das Folgenkriterium für Abgeschlossenheit, wie du es formuliert hast (wenn ich jetzt nach der Überschrift des Threads gehe, zielst du darauf ab). Es muss lauten:

metrischer Raum, $<math>A\subseteq X</math>$ . A ist folgenabgeschlossen in

, wenn für alle $<math>(x_n)_n\subseteq A</math>$ mit $<math>d(x_n,x)\to 0</math>$ für ein $<math>x\in X</math>$ gilt, dass $<math>x\in A</math>$ ist. D.h.: Folgen die in

liegen und in

konvergieren, haben auch ihren Grenzwert in

.
So wie du es formuliert hast liest man das als: Müssen alle Folgen in

konvergieren? Und falls das tatsächliche deine Frage war, dazu:
Nein, also nicht alle Folgen müssen konvergieren . Betrachte z.B.

mit der Metrik

ist abgeschlossen und beschränkt. Aber es gibt Folgen in

die nicht konvergieren, z.B. $<math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>$ mit

. Also für $<math>n\to \infty</math>$ gibt es kein solches

in dem Fall.

Eine in

konvergente Folge wäre z. B. $<math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>$ gegeben durch

für alle $<math>n\in\mathbb{N}</math>$ .

Es gilt aber: Abgeschlossene metrische Räume sind auch folgenabgeschlossen.

Kleiner Zusatz: Auch gilt in metrischen Räumen im Allgemeinen nicht: Abgeschlossen und beschränkt=>Folgenkompakt.
Beispiel: Der abgeschlossene Einheitsball für

unendlichdimensional ist i.A. nicht kompakt.
Lg

Topologie

Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Folgenkriterium für Abgeschlossenheit in Verbindung mit Kompaktheit
Beitrag No.1 im Thread

2017-03-19
epsilonkugel

Hallo.

Zur Frage: Sei (X,d) ein kompakter metrischer Raum. => X ist abgeschlossen und beschränkt. ?

Antwort: Ja.

Dann wird's aber in deinem Post aber unklar, was die übrigen Fragen sind und was soll ?=>? bedeuten?
(Ich empfehle übrigens für das Forum LaTeX, anstatt den fedgeoFormeleditor).

Liebe Grüße

Matheplanet

Thema eröffnet von: Wally
MPCT 2017 Planung
Beitrag No.34 im Thread

2017-02-25
epsilonkugel

Bodenseeregion klingt gut, mir ist aber egal wo wir uns genau treffen.
Ich kann mithelfen bei der Planung, brauche aber jemand, der mitplant.
Mittlerweile bin ich gegen Frohenleichnam, da Bernhard da nicht kann und ich vielleicht an dem Wochenende nach Barcelona reise.
Deswegen vote ich mal für ein späteres Datum (ab Juli irgendwann).
Da ich den Überblick verloren habe: wer hat bisher Interesse an einem Treffen? Welches Datum schwebt euch vor?
Und in welchen Regionen?

Bodensee, Ende September?

Integration

Thema eröffnet von: peterpeterfabian
Komplexes Wegintegral
Beitrag No.3 im Thread

2017-02-25
epsilonkugel

Hallo.
Nachdem du $<math>u=2e^{2\pi i t} +1</math>$ setzt, wird dein Integral nicht zu 2 $<math>\int_3^3\frac{1}{u}du</math>$ , sondern du hast jetzt jetzt wieder ein Kurvenintegral dastehen und kein Integral über Bereiche der reellen Achse. In Formeln: Wenn du u so setzt, dann wird dein Integral $<math>\int_0^1\frac{2}{2e^{2\pi i t}+1}\cdot \left(\frac{d}{dt}2e^{2\pi i t}\right) dt</math>$ wieder zu einem Integral $<math>\int_\gamma f(z)dz</math>$ mit geschlossenem Weg $<math>\gamma</math>$ mit Anfangs- und Endpunkt 3, was aber nicht die Integralgrenzen sind, sondern du integrierst dann wieder über eine Kurve.
Lg

Lebesgue-Integral

Thema eröffnet von: Mr_
L^p-Raum (Lebesgue-Raum)
Beitrag No.3 im Thread

2017-01-03
epsilonkugel

Nichts zu danken.

Zu "was passiert mit der Funktion, wenn ich die Norm drüberstülpe?"

Eine Norm n auf einem einem Funktionenraum

ist nur abstrakt als Abbildung $<math>n:V\to \mathbb{R}</math>$ zu verstehen, die die Normaxiome erfüllt.
Demnach wird der Funktion via n erstmal nur eine relle Zahl zugeordnet und nichts weiter.
Beispiele:
1)

(stetige reellwertige Funktionen auf dem rellen Intervall

) mit $<math>n:V\to\mathbb{R}</math>$ , $<math>n(f)=\int_0^1|f(x)|dx</math>$ .
Hier misst die Norm n anschaulich die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion

.

[Anmerkung: Aus

mit der

-Norm ausgestattet gewinnt man Beispiel 1 zurück, wenn man sich auf stetige Funktionen beschränkt.]

2)

und $<math>n:V\to\mathbb{R}</math>$ , $<math>n(f)=max_{x\in [0,1]}|f(x)|</math>$ (die Supremumsnorm).
Hier errechnet dir die Norm also das Maximum (den "Hochpunkt quasi) von

auf

.

Du siehst: Es gibt keine (pauschale) Interpretation, die für alle Normen die gleiche ist. Es gibt außerdem auch ganz komplizierte normierte Räume, bei denen man nicht mehr so richtig interpretieren kann (zb so einige hässliche Sobolevräume).

Zu "In wie fern kann ich eine Funktion aus dem L3 mit einer FunkLtion aus dem L5 vergleichen?"
Für beschränkte $<math>\Omega\subseteq \mathbb{R}^n</math>$ und $<math>1\le p<q\le \infty</math>$ hat man eine Einbettung $<math>i:L^q(\Omega)\hookrightarrow L^p(\Omega)</math>$ (bzw allgemeiner für beschränkte Maßräume, siehe etwa hier math.stackexchange.com/questions/66029/lp-and-lq-space-inclusion ).

D. h. beispielsweise: Wenn $<math>f\in L^5(0,1)</math>$ , auch $<math>f\in L^3(0,1)</math>$ , aber umgekehrt: ist wenn $<math>f\in L^3(0,1)</math>$ , nicht notwendigerweise $<math>f\in L^5(0,1)</math>$ .

Zu "Warum muss für die Integrierbarkeit gelten, dass
|f|< unendlich? "

Das kann man so nicht sagen, es gibt bspw. auch unbeschränkte Lebesgue-integrierbare Funktionen (ich nehme jetzt mal an, dass du mit "|f|< unendlich" meinst, dass f beschränkt ist). Die Beschränktheits-Voraussetzung hat man im wesentlichen eher nur bei (eigentlicher) Riemann-Integration.

Gruß

Lebesgue-Integral

Thema eröffnet von: Mr_
L^p-Raum (Lebesgue-Raum)
Beitrag No.1 im Thread

2017-01-03
epsilonkugel

Frohes Neues:),

zuerst eine kleine Anmerkung zu deinen Ausführungen: "die p-te Norm" bzw die "p-fache Norm" sollte man so nicht sagen, da das ganze Integral $<math>\|f\|_p= (\int |f|^p dx)^{\frac{1}{p}}</math>$ zur Normdefinition gehört (allerdings rechnet man der Einfachheit halber oft mit $<math>\|f\|_p^p</math>$ und zieht hinterher die p-te Wurzel ).

Oft werden

-Räume im Zusammenhang mit der Lebesgue-Integration eingeführt ( insbesondere benötigt man für diese Räume die Def des Lebesgue-Integrals und für das Lebesgue-Integral interessiert man sich u.a. aus folgendem Grund:
Wenn man integrieren will, reicht oft das Riemann-Integral aus Ana1 nicht aus, da man i.A. an der Integration von einer größeren Klasse von Funktionen interessiert ist. )
Wofür man diese Räume einführt, ist ein weites Feld. Diese Räume leifern genauso wie auch zb $<math>(C([0,1]),\|\cdot\|_{\infty})</math>$ (stetige Funktionen auf [0,1] mit der Supremumsnorm) weitere wichtige Funktionenräume, die in der Stochastik, Funktionalanalysis, in Variationsrechnung usw überall eine wichtige Rolle spielen und ständig vorkommen. Deswegen lernt man diese Funktionenräume auch relativ am Anfang des Studiums direkt kennen, weil man sie überall benötigt (beipielsweise immer nur stetige Funktionen zu betrachten wäre viel zu einschränkend).

Ein weites Feld und deswegen...:Es wäre vielleicht ganz gut wenn du weiter konkretisieren könntest, auf was wir hier genauer eingehen sollen bzw wo das Verständnis hakt.

Liebe Grüße

Funktionalanalysis

Thema eröffnet von: kumquat
Sobolev-Räume, schwache Ableitung
Beitrag No.1 im Thread

2017-01-02
epsilonkugel

Hallo
wende zuerst die Def. der schwachen Ableitung an (die existiert u.a. nach Satz 1.3 in Kapitel 2) und dann das vor der Aufgabe (auf S.24), auch oft Fundamentallemma der Variationsrechnung genannt.
Dann bekommst du: $<math>D^{\alpha}u=0</math>$ fast überall.
Der nächste Schritt ist dann zu zeigen, dass dann ein Polynom

vom Grad<m existiert, so dass

fast überall.
Lg

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