Suchwörter   (werden UND-verknüpft)
Keines der folgenden   keine eigenen Beiträge
Name des Autors 
resp. Themenstellers 

nur dessen Startbeiträge
auch in Antworten dazu
Forum 
 Suchrichtung  Auf  Ab Suchmethode  Sendezeit Empfehlungbeta [?]
       Die Suche erfolgt nach den angegebenen Worten oder Wortteilen.   [Suchtipps]

Link auf dieses Suchergebnis hier

Forum
Thema Eingetragen
Autor

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dvdlly
Jeder "vertex-transitive" Graph ist regulär  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-25 10:56
Triceratops
J

Du hast die Definition nicht richtig wiedergegeben. Ein Graph $G$ heißt Knoten-transitiv (vertex heißt Knoten auf Deutsch), wenn es für je zwei Knoten $v,w \in V(G)$ einen Automorphismus $\phi : G \to G$ (nicht $V(G)$, das steht auch bei Wikipedia falsch und wurde bereits 2016 bemängelt in der Talk-Seite) gibt mit $\phi(v)=w$ (nicht $\phi(v)=\phi(w)$, das würde ja $v=w$ bedeuten). Überlege dir nun, dass dann $\phi$ bijektiv die Nachbarn von $v$ auf die Nachbarn von $w$ abbildet, ihre Anzahl also gleich ist. Also ist per Definition $G$ regulär.

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: FibreBundle
Assoziierte Vektorbündel eines Hauptfaserbündels  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-24 08:32
Triceratops
 

Ok ich weiß es ehrlich gesagt auch nicht, aber rate einfach einmal, dass die Wirkung $G = GL(n,\IR) \to \IC^*$ die Determinante ist. Etwas natürlicher wäre es dann, $GL(n,\IC)$ zu betrachten.

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: FibreBundle
Assoziierte Vektorbündel eines Hauptfaserbündels  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-23 18:25
Triceratops
 

Das scheint mir nicht ganz zu passen. Welches Video meinst du genau? Das hier?

Bei welcher Minute?

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Red_
Tensorprodukt besser verstehen und Vergissfunktor?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-22 19:28
Triceratops
 

@yann: Bitte lies meine Antwort weiter. ;)

Und ja, wenn $R \to S$ ein Epimorphismus (im kategoriellen Sinne) ist, dann ist $S \otimes_R M|_R \to M$ ein Isomorphismus.

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: Mano
AI könnte IMO-Gold gewinnen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-22 01:19
Triceratops
 

Eine Überschrift ist hier reißerischer und weiter vom eigentlichen Inhalt des Artikels entfernt als die andere.

"Computer scientists are trying to build an AI system that can win a gold medal at the world’s premier math competition." -> "At the Math Olympiad, Computers Prepare to Go for the Gold" -> "AI könnte IMO-Gold gewinnen" ---

Der Beweisassistent Lean ist noch weit davon entfernt, eigenständig Beweise zu finden, geschweige denn Beweise für Aufgaben auf IMO-Niveau.

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: ThomasMuller
Zeigen Sie, dass νZ:=ν∘Z⁻¹ ein wohldefiniertes Maß auf (Ω′,A′) ist.  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-21 12:05
Triceratops
J

Der Beweis schreibt sich "automatisch" hin; was damit gemeint ist, wird hier erklärt.

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MePep
Expliziter Isomorphismus zyklischer Gruppen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-20 19:28
Triceratops
J

Wenn $G$ eine Gruppe ist, so ist ein injektiver (bzw. bijektiver) Homomorphismus $\IZ/n\IZ \to G$ dasselbe wie die Angabe eines (erzeugenden) Elementes der Ordnung $n$. Wenn man so ein Element $g$ hat, bildet der Homomorphismus $[z]$ auf $g^z$ ab.

Für einen Isomorphismus $\IZ/6\IZ \to (\IZ/7\IZ)^{\times}$ muss man also nur ein Element der Ordnung $6$ in $(\IZ/7\IZ)^{\times}$ finden, aber das hast du ja bereits.

Determinanten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: X3nion
Determinante von Abbildung zwischen Endomorphismen  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-20 09:31
Triceratops
 

Hier ist $Hom(W_1,V) \oplus Hom(W_2,V)$ zunächst einmal nicht als interne direkte Summe zu verstehen (deren Definition du wiederholst), sondern als externe direkte Summe. Es wäre vielleicht besser, direkt mit dem direkten Produkt $Hom(W_1,V) \times Hom(W_2,V)$ zu arbeiten. Es gibt auch allgemeiner einen Isomorphismus $Hom(\bigoplus_{i \in I} W_i,V) \cong \prod_{i \in I} Hom(W_i,V)$.

Die Abbildung $Hom(W_1 \oplus W_2,V) \to Hom(W_1,V) \times Hom(W_2,V)$ ist entsprechend $f \mapsto (f|_{W_1},f|_{W_2})$.

Zur Umkehrung: Man hat zwei lineare Abbildungen $f_1 : W_1 \to V$, $f_2 : W_2 \to V$. Wir suchen eine lineare Abbildung $f : W_1 \oplus W_2 \to V$ mit $f|_{W_1} = f_1$ Und $f|_{W_2} = f_2$. Jedes Element von $W_1 \oplus W_2$ hat die Form $w_1 + w_2$ mit $w_1 \in W_1$, $w_2 \in W_2$. Was ist nun das einzige, was wir mit $w_1$ und $w_2$ und den gegebenen Daten (also $f_1,f_2$) tun können?

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nuke_Gunray
Quellenangabe in Einleitung  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-18 20:22
Triceratops
 

2020-09-18 15:24 - Nuke_Gunray im Themenstart schreibt:
Mein Vorgehen folgt dem in [Wer06], S. 106-120, welches wiederum auf dem berühmten Short Proof von Newman aus dem Jahre 1980 basiert. Tiefergehende Theorie zur Laplace-Transformation findet sich z.B. in [Doe74], die von mir benutzten Kenntnisse über die Fourier-Transformation stammen aus [Rud73].

Liest sich gut. Aber ich würde noch auf andere Meinungen warten.

Determinanten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: X3nion
Determinante von Abbildung zwischen Endomorphismen  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-18 19:42
Triceratops
 

Du hast bisher nicht wirklich etwas konkret getan. Die Aussage "Es gilt $x \mapsto f(x)$" ist auch keine Aussage.

Hast du dir schon die Definition von $W_1 \oplus W_2$ angesehen? Was bedeutet denn die Linearität noch einmal? Wie könnte muss man aus einer linearen Abbildung $W_1 \oplus W_2 \to V$ eine lineare Abbildung $W_1 \to V$ gewinnen?

Der Isomorphismus ist ein Fall für "Beweise, die sich automatisch hinschreiben" (Artikel).


Determinanten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: X3nion
Determinante von Abbildung zwischen Endomorphismen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-18 14:08
Triceratops
 

Mit linearen Abbildungen geht es viel direkter und einfacher.

Beachte auch, dass es fast unmöglich ist, die Kommutativitität der Diagramme zu zeigen, wenn du Basen wählst, um die Isomorphismen zu konstruieren.

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Red_
Tensorprodukt besser verstehen und Vergissfunktor?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-17 23:57
Triceratops
 

Ja².

Determinanten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: X3nion
Determinante von Abbildung zwischen Endomorphismen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-17 23:52
Triceratops
 

Zur ersten Frage: Ja, genau.

Zur zweiten Frage:

<math>\begin{tikzcd}[column sep = 5em]
Hom(W_1,V) \oplus Hom(W_2,V) \ar{d}[swap]{\cong} \ar{r}{g^{W_1}_* \oplus g^{W_2}_*} & Hom(W_1,V) \oplus Hom(W_2,V) \ar{d}{\cong} \\
Hom(W_1 \oplus W_2,V) \ar{r}{g^{W_1 \oplus W_2}_*}   & Hom(W_1 \oplus W_2,V)
\end{tikzcd}</math>

Man benutzt hier außerdem die Rechenregel $\det(f \oplus f') = \det(f) \cdot \det(f')$ (Satz 5 im Artikel).

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: nitsuj1001
Zeigen der Kommutativität von ganzen Zahlen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-17 00:18
Triceratops
J

@Ixx: Nein. Die Schreibweise wird gleich zu Beginn im Post eingeführt.

[(a,b)] = (a-b)

Daher ist Ansatz 3 auch dasselbe wie Ansatz 1, wie DerEinfaeltige schon schreibt.

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: IVmath
Mit welchen mathematischen Strukturen Netzwerk verketteter Operationen darstellen?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-17 00:09
Triceratops
J

Polykategorien.

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Red_
Tensorprodukt besser verstehen und Vergissfunktor?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-16 23:58
Triceratops
 

Zu deiner Frage mit induzierten Darstellungen: Das hat eigentlich nichts mit Gruppenalgebren zu tun. Nehmen wir besser beliebige Ringe. Und ich arbeite mit Linksmoduln statt mit Rechtsmoduln (du vermischst das auch etwas bei der Reihenfolge der Faktoren im Tensorprodukt, wodurch auch teilweise deine Unsicherheiten entstehen).

Sei $\phi : R \to S$ ein Ringhomomorphismus. Jeder $S$-Modul $M$ hat dann einen zugrunde liegenden $R$-Modul $M|_R$. Die additive Gruppe ist dieselbe, die Skalarmultiplikation ist $r \cdot m := \phi(r) \cdot m$. Wir erhalten einen Funktor $\mathsf{Mod}(S) \to \mathsf{Mod}(R)$, $M \mapsto M|_R$. Er hat einen linksadjungierten Funktor, $\mathsf{Mod}(R) \to \mathsf{Mod}(S)$, $M \mapsto S \otimes_R M$. Die Skalarmultiplikation ist hier charakterisiert durch $s(s' \otimes m) = ss' \otimes m$. Im Falle von Gruppenalgebren nennt man diesen Funktor "Induktion", im allgemeinen Fall nennt man das aber einfach den Skalarerweiterungs-, Ringwechsel- oder Basiswechsel-Funktor.

Die Koeinheit der Adjunktion ist für einen $S$-Modul $M$ gegeben durch eine $S$-lineare Abbildung

$S \otimes_R M|_R \to M,$

nämlich $s \otimes m \mapsto sm$. Deine erste Frage war nun (mehr oder weniger), ob diese ein Isomorphismus ist.

Nein, absolut nicht. Zwar ist sie surjektiv, aber der Kern wird als $S$-Modul von Elementen der Form

$s \otimes m - 1 \otimes sm$

mit $s \in S$, $m \in M$ erzeugt. (Es ist direkt klar, dass diese Elemente im Kern liegen, aber dass sie den Kern erzeugen, liegt an $S \otimes_S M|_R \cong M$ und der Beschreibung von $-\otimes_S -$ als Quotient von $- \otimes_R -$, kurz gesagt).

Man kann sich auch explizite Beispiele anschauen, wo es aus Dimensionsgründen gar keinen Isomorphismus $S \otimes_R M|_R \to M$ geben kann. Sei etwa $R$ ein Körper, $S$ eine $R$-Algebra mit $1<\dim_R(S)<\infty$ (so ein Beispielpaar lässt sich natürlich auch mit Gruppenalgebren realisieren), und sei $M=S$. Dann ist die Koeinheit

$S \otimes_R S \to S,\, s \otimes s' \mapsto ss'$

offensichtlich kein Isomorphismus, und es kann gar keinen Isomorphismus geben, nicht mal der zugrunde liegenden $R$-Moduln, denn $\dim_R(S \otimes_R S)=\dim_R(S)^2 > \dim_R(S)$.

Deine zweite Frage war (mehr oder weniger), ob die $R$-Modul-Struktur von $(S \otimes_R M|_R)|_R$ die gewöhnliche vom Tensorprodukt $S|_R \otimes_R M|_R$ ist. Zu beachten ist hier nun aber, dass das Tensorprodukt von einem $R$-Rechtsmodul mit einem $R$-Linksmodul (hier ist $R$ lediglich ein Ring, nicht unbedingt kommutativ) eine abelsche Gruppe ist! Es gibt also a priori gar keine natürliche $R$-Modul-Struktur auf $S|_R \otimes_R M|_R$, jedenfalls wenn wir hier $S|_R$ lediglich als $R$-Rechtsmodul sehen. Tatsächlich ist aber $S$ (abuse of notation) ein $(R,R)$-Bimodul. Und mit dieser zusätzlichen Links-$R$-Modulstruktur kann man auch auf $S|_R \otimes_R M|_R$ eine Links-$R$-Modulstruktur, kurz also eine $R$-Modulstruktur definieren. Deine Frage ist also schon sinnvoll.

Die Antwort auf diese Frage ist nun "ja". Man definiert die $S$-Modulstruktur auf $S \otimes_R M|_R$ nämlich gerade mittels der $(S,R)$-Bimodulstruktur von $S$, und diese $(S,R)$-Bimodulstruktur ist per Konstruktion eine Fortsetzung der $(R,R)$-Bimodulstruktur von $S$.
 
Die "Rechnung" mit Elementen sieht dann entsprechend so aus:

$\phi(r) (s \otimes m) = \phi(r)s \otimes m = rs \otimes m = r(s \otimes m).$

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Red_
Tensorprodukt besser verstehen und Vergissfunktor?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-16 23:37
Triceratops
 

2020-09-16 18:45 - Red_ im Themenstart schreibt:
Habt ihr gute Quellen, wo Tensorprodukte wirklich schön detailliert beschrieben werden und oft die Wohldefiniertheit von Definitionen gezeigt wird und Identitäten bzgl. des Tensorprodukt gezeigt werden (etwa kommutiert mit beliebigen(!) direkten Summen und nicht nur endlich viele)?
Mit Wohldefinierheit meine ich etwa die neue Skalarmultiplikation bei der Komplexifizierung, oder die neue Multiplikation auf dem Tensorprodukt von zwei \(K-\)Algebren - bei Wikipedia werden diese nur genannt, ohne auf die Wohldefiniertheit zu achten, da die Definition immer die Darstellung von Tensoren beinhaltet, welche ja nicht eindeutig ist. Für Körper kann ich das noch "leicht" umgehen mittels Basis etc. aber bei beliebigen R-Moduln hört es leider auf.

Die Wohldefiniertheit ergibt sich immer aus der universellen Eigenschaft. Das heißt, man konstruiert eine R-lineare Abbildung, indem man eine R-bilineare Abbildung angibt, und auf diese dann die universelle Eigenschaft anwendet.

Die von dir genannten Beispiele werden in jedem (nicht zu kurzen) Algebra-Buch erklärt. Wikipedia ist keine Quelle um Algebra zu lernen. Sie werden auch in dem Buch Einführung in die Kategorientheorie (Link) erklärt, wo insbesondere die Nützlichkeit des Yoneda-Lemmas im Vordergrund steht. Eine Art Vorstufe dafür war dieser Artikel.

Ich würde gerne Quellen haben, wo mit den Elementen von Tensorprodukten gearbeitet wird

Wieso?

Ich glaube ein Ansatz mit Monoidalen Kategorien wäre wohl am besten geeignet, damit man alle Sätze nur einmal beweisen muss, oder?

Definitiv. Wenn man zum Beispiel in einer geschlossenen monoidalen Kategorie ist, ist $X \otimes -$ linksadjungiert zu $\mathrm{Hom}(X,-)$ und erhält daher alle Kolimites. Diese Zusammenhänge werden auch in dem genannten Buch (aber auch überall woanders) erklärt.

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: geq0
"freier" Ring  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-16 14:23
Triceratops
J

Ja, das geht natürlich (analog auch bei anderen algebraischen Strukturen).

Zum Recherchieren: Immer Englisch verwenden. "free ring" math liefert einige gute Ergebnisse.

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gantz
Polynome vs. Polynomfunktionen  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-16 14:21
Triceratops
 

2020-09-16 12:21 - helmetzer schreibt:
Gilt das auch, wenn es Nullteiler gibt?

Nein, betrachte etwa $\IF_2^{\IN}$ und das Polynom $X^2-X$.

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: Primentus
Leben auf der Venus? Es spricht etwas dafür!  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-16 10:19
Triceratops
 

Entwarnung!
 

Sie haben sehr viele Suchergebnisse
Bitte verfeinern Sie die Suchkriterien

[Die ersten 20 Suchergebnisse wurden ausgegeben]
Link auf dieses Suchergebnis hier
(noch mehr als 20 weitere Suchergebnisse)

-> [Suche im Forum fortsetzen]
 
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]

used time 0.038029