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Der missing link ist der folgende \(triviale\) Satz:

Es sei v \in \IR^d, Z d-dimensional standard normalverteilt, und X 1-dimensional standard normalverteilt. Dann haben v^T Z und norm(v) * X die gleiche Verteilung, nämlich N(0, norm(v)^2).

Insbesondere gilt also E(abs(v^T Z)) = E(norm(v) * abs(X)).

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Wenn der Parameterraum endlich ist, dann ist ein Bayes-Verfahren zulässig, falls \pi(set(\theta)) > 0 für alle \theta. Um ein unzulässiges Bayes-Verfahren zu finden, musst der prior also sicher schon mal einen Teil des Parameterraumes aussparen. Wähle z.B. P_\theta = \Delta_\theta, d.h. P_(\theta)(set(\theta)) = 1, und \pi(set(1)) = 1. Das Verfahren d \equiv 1 ist dann Bayes, wird aber dominiert durch d(x) = x.

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Nein. Nach Voraussetzung ist Y_0 \calA_0-messbar, d.h. es ist per Definition \sigma(Y_0) \subset \calA_0. Gleichheit kann bestehen, muss aber nicht. Strikte Inklusion hat man, wenn Y_0 konstant ist.

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Aus dem Hinweis folgt, dass Y_0  = f(1_B) und nicht 1_B = f(Y_0). Berechne nun Y_0(\omega) für \omega \in B und für \omega \notin B. Dann bist du fertig.

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Notwendig ist die Unabhängigkeit nicht. E(X_1 X_2 X_3 X_4) verschwindet auch unter schwächeren Voraussetzungen, z.B. wenn X_t die Form X_t = \sigma_t*Z_t hat, wobei die Z_t iid sind mit E(Z_t) = 0 und Z_t unabhängig von \sigma_s ist für s <= t. Diese Form hat man z.B. bei GARCH oder stochastic volatility models. Strikte Stationarität und Unkorreliertheit alleine reichen indes wohl nicht.

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Das asymptotische Verhalten der Funktion e(N) := E(X \| X >= N) - N hängt vom tail behaviour der Verteilung von X ab:

Für superexponentielle Verteilungen gilt e(N) -> 0, und damit die von dir nachgefragte asymptotische Äquivalenz. Für subexponentielle Verteilungen gilt hingegen e(N) -> \inf.

Im letzteren Falle ist nicht zwingend e(N) = o(N). Zum Beispiel gilt für P(X >= N) ~  c N^(-\alpha), dass e(N) ~  N/\alpha.