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Hamilton's Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen von easymathematics
       am Di. 28. Dezember 2021 08:10:14 - 382 mal gelesen - 3 Kommentare
Hamilton's Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen Wir definieren "trikomplexe" Zahlen \(t\) der Form \(t = a + ib + jc\) mit reellen \(a,b,c\) und hyperkomplexen Einheiten \(i\) und \(j\) mit gewissen Eigenschaften. Wir diskutieren grundlegende Operationen (Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division), Eigenschaften, etwa Kommutativität und Assoziativität. Ferner definieren wir exp( ...
Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen von Slash
       am Fr. 29. Oktober 2021 17:54:00 - 348 mal gelesen - 4 Kommentare
In diesem Artikel werden aperiodische Kachelsätze aus je zwei Kacheln vorgestellt, die auf der bekannten Penrose-Rauten-Parkettierung basieren und bisher nicht veröffentlicht oder im Internet erwähnt wurden. Es wird auch eine Näherungslösung für eine sogenannte aperiodische Monokachel vorgestellt, deren Parkett fünf Arten von Lücken besitzt. Sätze von Protokacheln, welche d ...
Polynomdivision - Direkte Berechnung beliebiger Koeffizienten von easymathematics
       am Mo. 16. August 2021 18:59:39 - 381 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel möchte ich ein Verfahren vorstellen, welches mathematisch gesehen gewisse Ästhetik hat. Gegeben seien zwei Polynome \( a(x)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_i x^i \) und \( b(x)=b_1 x + b_0\). Dann gibt es bekanntlich zwei eindeutige Polynome \( q(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} q_i x^i \) und \(r(x) = r\), s. d. \[a(x) = q(x)b(x) + r(x)\] gilt. Die Koeffizienten \(q_i\) kö ...
Typische Beweismotive von Triceratops
       am So. 20. Juni 2021 16:23:34 - 995 mal gelesen - 5 Kommentare
Dies ist die Fortsetzung des Artikels Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann . Dort ging es um einfache Beweise, die sich schon alleine durch eine gute "Buchführung" der Definitionen, Voraussetzungen und Behauptungen hinschreiben lassen. In diesem Teil soll es nun um Beweise gehen, wo mehr Kreativität benötigt wird. Dazu stelle ich einige Beweismotive vor und illustriere sie wiede ...
Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen von Triceratops
       am Do. 20. Mai 2021 12:49:04 - 708 mal gelesen - 1 Kommentare
Matrizen lernt man in Vorlesungen zur linearen Algebra üblicherweise als "rechteckige Zahlenschemata" kennen. In diesem Artikel werden Matrizen hingegen ausgehend von der Bestimmung der linearen Abbildungen zwischen direkten Summen von Vektorräumen hergeleitet. Die Matrixmultiplikation entsteht in diesem Kontext aus der Komposition von linearen Abbildungen. Damit bekommt man ein gutes Vers ...
Hüllenoperatoren von Triceratops
       am Mi. 21. April 2021 13:00:05 - 458 mal gelesen - 1 Kommentare
Mit Hüllenoperatoren lassen sich verschiedene Begriffe von Erzeugendensystemen (erzeugte Untergruppe, erzeugte $\sigma$-Algebra, konvexe Hülle, erzeugte Topologie, uvm.) und entsprechender abgeschlossener Mengen vereinheitlichen. Wir schauen uns auch die Rekursion an, welche die erzeugte Struktur schrittweise erzeugt. Bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit wie zum Beispiel $\sigma$-Alg ...
Auf der Suche nach einer guten Strategie für das Spiel Isola auf dem 6x8 Brett von Delastelle
       am So. 18. April 2021 21:29:31 - 207 mal gelesen - 2 Kommentare
Die nachfolgenden Ideen sind nicht gänzlich neu ich möchte sie aber einmal in einem Artikel zusammenfassen. Ich habe 3 Rot-Isola-Strategien jeweils 10000 mal gegen 3 Blau-Isola-Strategien spielen lassen. Ich sehe Fortschritte in den Strategien, bin aber vom Ziel: "Wer gewinnt Isola Rot oder Blau?" noch einiges entfernt.> ...
Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes von easymathematics
       am Mo. 05. April 2021 20:51:12 - 531 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel soll es - anlässlich des Pi-Tags - um einen historischen Meilenstein in der Mathemtatik gehen. Aber "Fehler" und "Archimedes" in einer Überschrift? Wenn jemand 250 v. C. nur mit Stift und Papier die ein oder andere Nachkommastelle von Pi berechnet, können wir dann von "Fehler" reden? Ja! Aber in einem anderen Sinne. Es soll darum gehen ein Gefühl dafür zu bekomme ...
Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien von Triceratops
       am Sa. 20. März 2021 11:04:58 - 254 mal gelesen - 0 Kommentare
Üblicherweise studiert man universelle Eigenschaften von Objekten innerhalb einer festen Kategorie. Weil aber unter geeigneten Größenannahmen auch Kategorien eine Kategorie bilden (genauer gesagt, eine $2$-Kategorie), kann man auch universelle Eigenschaften von Kategorien selbst untersuchen. Wir beschäftigen uns hier ausschließlich mit kovollständigen Kategorien. Konkret fragen wir uns a ...
Über die Adjunktion von Wurzeln von Triceratops
       am Sa. 20. Februar 2021 08:27:16 - 320 mal gelesen - 0 Kommentare
Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der F ...
Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz von easymathematics
       am Fr. 29. Januar 2021 08:31:10 - 1102 mal gelesen - 19 Kommentare
Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz Hallo, in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen. (1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen? (2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen? (3) Sind beide Sätze sogar äquivalent? Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent. Anmerkung: Wir reden ...
Über Berührungen und Ableitungen von Triceratops
       am Di. 19. Januar 2021 06:36:43 - 349 mal gelesen - 0 Kommentare
In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relati ...
Optimale Steuerung bzw. Neuronales Netz mit variablen Gewichten - ein Beispiel von Delastelle
       am Mi. 06. Januar 2021 19:41:41 - 229 mal gelesen - 0 Kommentare
Im Artikel berechne ich die Lösung eines Problems der Optimalen Steuerung. Die Steuerungen u kann man auch als Gewichte w eines Neuronalen Netzes mit variablen Gewichten sehen. Gelöst wird das Achtproblem - hier mit 4 gewöhnlichen Differentialgleichungen. Zur Lösung werden Fortran und Matlab/Octave eingesetzt.> ...
Berechnung des ggT´s mit dem Satz von Pick von easymathematics
       am Mo. 04. Januar 2021 20:20:17 - 1027 mal gelesen - 4 Kommentare
In diesem Artikel soll es darum gehen den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen \(a,~b~> ~0\) mit dem Satz von Pick zu berechnen. Nachfolgendes Theorem verzichtet dabei auf herkömmliche Methoden: a) euklidischer Algorithmus b) Primfaktorzerlegung c) Beziehung zum kgV 1.1 Theorem: Für zwei natürliche Zahlen \(a,~b~> ~0\) gilt: \[ \mathrm{ggT}(a,b) = {a-b-ab+2 \ ...
Ein einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie von Triceratops
       am So. 20. Dezember 2020 06:01:00 - 712 mal gelesen - 0 Kommentare
Ich habe mir einen einfachen Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie überlegt. Er kommt gänzlich ohne Dimensionsargumente aus. Die eine Hälfte des Beweises ergibt sich letztlich aus Grundlagen über Homomorphismen in einen algebraischen Abschluss, wohingegen die andere Hälfte auf einem kombinatorischen Resultat basiert, nämlich dass ein Körper nicht als Vereinigung von endlich viel ...
Grundlagen der linearen Algebra über F_1 von Triceratops
       am Fr. 20. November 2020 14:29:42 - 445 mal gelesen - 0 Kommentare
Grundlagen der linearen Algebra über $\mathbb{F}_1$ Es gibt verschiedene Definitionen eines "Körpers mit einem Element", notiert mit $\IF_1$. In diesem Artikel stellen wir die wohl einfachste davon vor und betreiben etwas lineare Algebra darüber: Ein $\IF_1$-Vektorraum ist ganz einfach eine punktierte Menge, und $\IF_1$ ist $(\{0,1\},0)$. Lineare Algebra über $\IF_1$ ist also eng mit Kombin ...
Einführung in q-Binomialkoeffizienten von Triceratops
       am Di. 20. Oktober 2020 06:42:45 - 684 mal gelesen - 3 Kommentare
Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Ko ...
Stern Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace von Triceratops
       am Do. 17. September 2020 19:18:39 - 838 mal gelesen - 6 Kommentare
Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace Der Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildung ...
Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis von Kezer
       am So. 06. September 2020 12:44:15 - 668 mal gelesen - 4 Kommentare
Zu den fundamentalen Aussagen in der gesamten Mathematik gehört die Dreieckungleichung aus der Geometrie. Man möge sich also fragen: Gibt es eine "Vierecksungleichung"? Antwort: Ja. Eigentlich ist es aber auch "nur" die Dreiecksungleichung. Das richtige Analogon der Dreiecksungleichung für Vierecke ist der Satz von Ptolemäus. Sei $ABCD$ ein Viereck. Es gilt $$ |AB| \cdot |CD| + |BC| \ ...
Stern Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle von Triceratops
       am Fr. 14. August 2020 15:34:03 - 2072 mal gelesen - 30 Kommentare
Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des N ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von easymathematics am Mo. 24. Januar 2022 15:45:09
Hallo zusammen, zunächst gratuliere ich allen Gewinnern und Nominierten! Ich möchte mich bei denen bedanken, die mich nominiert und gewählt haben. Ich hätte nicht gedacht, dass ich überhaupt in dieser Liste auftauchen werde, schon dreimal nicht in meinem 1. aktiven Jahr. Einfach deshalb nicht, weil hier so viele so gute Schreiber dabei sind. Deshalb: Danke für diesen stolzen 6 ...
Re: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von Bernhard am So. 23. Januar 2022 23:13:38
Ich richte auch meinen herzlichen Glückwunsch an die wohlverdienten Gewinner. Solch eine Auszeichnung hat jeder von Euch verdient. Und es gibt hier noch mehr, die den Planeten am Laufen halten, aber gar nicht so wahrgenommen werden, z.B weil man selten in demselben Forum stöbert, wo diese aktiv sind. Dieses Jahr haben mich allerdings die Doppelkategorien irritiert. Die Bereiche "Unterhaltung" ...
Re: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von Slash am So. 23. Januar 2022 20:41:02
Vielen Dank für eure Stimmen und auch Matroid für die schöne Laudatio. Ich habe mich sehr darüber gefreut. Allen Gekrönten und Nominierten gratuliere ich ganz herzlich! Auf ein weiteres schönes Jahr mit vielen spannenden Themen, Ideen und Beweisen und hoffentlich wenig Gezanke*. 😎 *obwohl ein bisschen ja immer dazugehört, ganz wie in einer großen Familie oder WG 😉. Es darf ...
Re: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von PhysikRabe am So. 23. Januar 2022 17:17:00
Herzlichen Glückwunsch an alle! Ihr habt es euch wirklich verdient. Besonders freue ich mich, dass Diophant dank meiner Nominierung einen Award gewonnen hat. :-) Bleibt so fleißig, und alles Gute!> ...
Re: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von semasch am So. 23. Januar 2022 17:13:56
Auch von mir einen herzlichen Glückwunsch an alle Ausgezeichneten! Vielen Dank weiterhin an alle, die mir ihre Stimme gegeben haben, und auch dir, matroid, für deine Worte, gerne werde ich versuchen, weiterhin aktiv zu bleiben! LG, semasch> ...
Re: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von Kuestenkind am So. 23. Januar 2022 17:08:12
Auch ich gratuliere dem illustren Kreis der Nominierten und Preisträger. Ich habe seit einiger Zeit auch mal wieder zwei Stimmen vergeben - da freut es mich umso mehr, dass meine beiden Nominierten so weit oben stehen: Lieber Nuramon, lieber Kezer - herzlichen Glückwunsch, und Dank für viele Beiträge, die ich gerne gelesen habe. Schön, dass ihr hier seid! Gruß, Küstenkind > ...
Re: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von Primentus am So. 23. Januar 2022 17:03:49
Hallo liebe Matheplanetarier, es war auch diesmal wieder sehr schön, der feierlichen Verleihung der Matheplanet-Mitglieder-Awards zu folgen. Ich möchte allen Preisträgern eines Gold- oder Silber-Awards sehr herzlich gratulieren. Alle Gewinner haben sich durch sehr gute Leistungen und rege Beteiligung hervorgetan und sind daher allesamt verdiente Preisträger! Außerdem möchte ich alle ...
Re: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von haribo am So. 23. Januar 2022 16:00:02
Jetzt habe ich alles gesagt. Wir kommen nun zum nächsten Programmpunkt. Ich gebe einen Überblick über die Ergebnisse und den Verlauf der Awards-Abstimmung für 2020. Nun denn, stürzen wir uns in die Zahlen ... matroid, dir ganz herzliche glückwünsche zum award der besten allgemeinheit, aber die obige jahreszahl ... (wurde inzwischen astrein in die richtige Zeitzone verschoben, ) ...
Re: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von Delastelle am So. 23. Januar 2022 15:58:55
Hallo Leute! Gratulation allen Nominierten und Gewinnern der Awards! Bei den Forum Neulingen hat nitram999 eine Stimme bekommen, ist aber schon seit 2019 dabei... Muss jetzt die gesamte Award-Wahl wiederholt werden :-) ? Viele Grüße Ronald> ...
Re: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
      von Squire am So. 23. Januar 2022 15:09:23
Herzlichen Glückwunsch allen Ausgezeichneten! Vielen Dank für das hübsche Krönchen! Besonderen Dank an matroid, dass er das alles hier möglich macht. Noch einen schönen Sonntag und Grüße Squire > ...
Re: Dragster Rennen oder Minimiere eine Funktion von 4 Variablen
      von Delastelle am So. 16. Januar 2022 17:15:05
Hallo, 2 Dinge würden mich interessieren: - ist das Berechnungsmodell physikalisch sinnvoll? - kann man hier ein Abstiegsverfahren (Gradienten etc.) gut verwenden? Viele Grüße Ronald> ...
Re: MP-Awards für 2021
      von Bernhard am Sa. 08. Januar 2022 18:11:15
Dankeschön, alles klar! Bernhard> ...
Re: MP-Awards für 2021
      von matroid am Sa. 08. Januar 2022 18:07:45
Hi Bernhard, an einer Stelle hatte ich einen alten Link nicht ersetzt. Sorry für die Verwirrung. Die Abstimmung läuft natürlich weiter wie angekündigt und war auch nie unterbrochen. Gruß Matroid > ...
Re: MP-Awards für 2021
      von Bernhard am Sa. 08. Januar 2022 17:50:08
Hallo Matroid! Warum sehe ich bereits jetzt beim Wahlformular die Nachricht "Die Abstimmung ist beendet"? Oben in den Erläuterungen steht ausdrücklich " Du kannst abstimmen ab dem 1.1.2022 und bis zum 21.1.2022. Die feierliche Verleihung der Matheplanet-Awards findet am 23.1.2022 hier auf dem Matheplaneten statt. " Sogar fettgedruckt! Ich habe auf dieses Datum gesetzt, da ich im Augen ...
Re: MP-Awards für 2021
      von matroid am Sa. 08. Januar 2022 16:37:46
Hallo Delastelle, besten Dank, da hatte ich die Zahlen nicht richtig aktualisiert. Jetzt ist das nachgeholt. Darum: Ruhig noch einmal wählen gehen! Gruß Matroid> ...
Re: MP-Awards für 2021
      von Delastelle am Sa. 08. Januar 2022 06:21:12
Hallo Matroid! Eine Frage: bei der ersten Award-Kategorie stimmt Artikelanzahl für die Artikelschreiber zum Teil nicht. Ich nehme an, dass aber alle Artikel-Autoren genannt werden. Viele Grüße Ronald > ...
Re: Hamilton´s Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen
      von easymathematics am Do. 30. Dezember 2021 16:26:04
Hallo Roland, ja, da hast Du natürlich recht. Meine Augen spielen mir da oft Streiche... ich werde in Zukunft genauer darauf achten. :) Hallo Diophant, das freut mich. Ich war am Überlegen noch bissi mehr Stoff reinzupacken, aber ich denke, dass hätte den eigentlichen Zweck nicht so ganz erfüllt. Über eine Matrixdarstellung hätte man noch sprechen können. Die geometrische Ans ...
Re: Hamilton´s Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen
      von Diophant am Do. 30. Dezember 2021 10:27:06
Hi easymathematics, ich finde die Idee gut, ein solches Randthema mit einigen lockeren, sporadischen Gedankengängen versehen, einfach hier mal in Artikelform vorzustellen. In der Fachliteratur findet sich ja der eine oder andere Hinweis auf die Überlegungen Hamiltons, die ja dann letztendlich in der Entdeckung der Quaternionen mündeten. Aber mehr eben meist nicht. Auf jeden Fall ist de ...
Re: Hamilton´s Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen
      von Delastelle am Do. 30. Dezember 2021 02:29:47
Hallo easymathematics! Du darfst ruhig eine Rechtschreibprüfung über den Artikel starten. So habe ich das immer gemacht. In der Kurzfassung steht noch "Zalen" - es sind doch eher Zahlen? Oder? Viele Grüße Ronald> ...
Re: DGL+: Alles nur Fake?
      von Hans-Juergen am Mo. 20. Dezember 2021 16:04:22
Hallo buh, Klar weiß ich, was "Vigintium" bedeutet, ahne es wenigstens. Herzlichen Glückwunsch dazu und Frohe Weihnachten! Herzliche Grüße Hans-Jürgen > ...
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