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Polynomdivision - Direkte Berechnung beliebiger Koeffizienten von easymathematics
       am Mo. 16. August 2021 18:59:39 - 315 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel möchte ich ein Verfahren vorstellen, welches mathematisch gesehen gewisse Ästhetik hat. Gegeben seien zwei Polynome \( a(x)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_i x^i \) und \( b(x)=b_1 x + b_0\). Dann gibt es bekanntlich zwei eindeutige Polynome \( q(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} q_i x^i \) und \(r(x) = r\), s. d. \[a(x) = q(x)b(x) + r(x)\] gilt. Die Koeffizienten \(q_i\) kö ...
Typische Beweismotive von Triceratops
       am So. 20. Juni 2021 16:23:34 - 837 mal gelesen - 5 Kommentare
Dies ist die Fortsetzung des Artikels Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann . Dort ging es um einfache Beweise, die sich schon alleine durch eine gute "Buchführung" der Definitionen, Voraussetzungen und Behauptungen hinschreiben lassen. In diesem Teil soll es nun um Beweise gehen, wo mehr Kreativität benötigt wird. Dazu stelle ich einige Beweismotive vor und illustriere sie wiede ...
Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen von Triceratops
       am Do. 20. Mai 2021 12:49:04 - 611 mal gelesen - 1 Kommentare
Matrizen lernt man in Vorlesungen zur linearen Algebra üblicherweise als "rechteckige Zahlenschemata" kennen. In diesem Artikel werden Matrizen hingegen ausgehend von der Bestimmung der linearen Abbildungen zwischen direkten Summen von Vektorräumen hergeleitet. Die Matrixmultiplikation entsteht in diesem Kontext aus der Komposition von linearen Abbildungen. Damit bekommt man ein gutes Vers ...
Hüllenoperatoren von Triceratops
       am Mi. 21. April 2021 13:00:05 - 410 mal gelesen - 1 Kommentare
Mit Hüllenoperatoren lassen sich verschiedene Begriffe von Erzeugendensystemen (erzeugte Untergruppe, erzeugte $\sigma$-Algebra, konvexe Hülle, erzeugte Topologie, uvm.) und entsprechender abgeschlossener Mengen vereinheitlichen. Wir schauen uns auch die Rekursion an, welche die erzeugte Struktur schrittweise erzeugt. Bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit wie zum Beispiel $\sigma$-Alg ...
Auf der Suche nach einer guten Strategie für das Spiel Isola auf dem 6x8 Brett von Delastelle
       am So. 18. April 2021 21:29:31 - 185 mal gelesen - 2 Kommentare
Die nachfolgenden Ideen sind nicht gänzlich neu ich möchte sie aber einmal in einem Artikel zusammenfassen. Ich habe 3 Rot-Isola-Strategien jeweils 10000 mal gegen 3 Blau-Isola-Strategien spielen lassen. Ich sehe Fortschritte in den Strategien, bin aber vom Ziel: "Wer gewinnt Isola Rot oder Blau?" noch einiges entfernt.> ...
Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes von easymathematics
       am Mo. 05. April 2021 20:51:12 - 495 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel soll es - anlässlich des Pi-Tags - um einen historischen Meilenstein in der Mathemtatik gehen. Aber "Fehler" und "Archimedes" in einer Überschrift? Wenn jemand 250 v. C. nur mit Stift und Papier die ein oder andere Nachkommastelle von Pi berechnet, können wir dann von "Fehler" reden? Ja! Aber in einem anderen Sinne. Es soll darum gehen ein Gefühl dafür zu bekomme ...
Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien von Triceratops
       am Sa. 20. März 2021 11:04:58 - 232 mal gelesen - 0 Kommentare
Üblicherweise studiert man universelle Eigenschaften von Objekten innerhalb einer festen Kategorie. Weil aber unter geeigneten Größenannahmen auch Kategorien eine Kategorie bilden (genauer gesagt, eine $2$-Kategorie), kann man auch universelle Eigenschaften von Kategorien selbst untersuchen. Wir beschäftigen uns hier ausschließlich mit kovollständigen Kategorien. Konkret fragen wir uns a ...
Über die Adjunktion von Wurzeln von Triceratops
       am Sa. 20. Februar 2021 08:27:16 - 293 mal gelesen - 0 Kommentare
Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der F ...
Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz von easymathematics
       am Fr. 29. Januar 2021 08:31:10 - 1046 mal gelesen - 19 Kommentare
Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz Hallo, in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen. (1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen? (2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen? (3) Sind beide Sätze sogar äquivalent? Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent. Anmerkung: Wir reden ...
Über Berührungen und Ableitungen von Triceratops
       am Di. 19. Januar 2021 06:36:43 - 321 mal gelesen - 0 Kommentare
In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relati ...
Optimale Steuerung bzw. Neuronales Netz mit variablen Gewichten - ein Beispiel von Delastelle
       am Mi. 06. Januar 2021 19:41:41 - 215 mal gelesen - 0 Kommentare
Im Artikel berechne ich die Lösung eines Problems der Optimalen Steuerung. Die Steuerungen u kann man auch als Gewichte w eines Neuronalen Netzes mit variablen Gewichten sehen. Gelöst wird das Achtproblem - hier mit 4 gewöhnlichen Differentialgleichungen. Zur Lösung werden Fortran und Matlab/Octave eingesetzt.> ...
Berechnung des ggT´s mit dem Satz von Pick von easymathematics
       am Mo. 04. Januar 2021 20:20:17 - 1002 mal gelesen - 4 Kommentare
In diesem Artikel soll es darum gehen den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen \(a,~b~> ~0\) mit dem Satz von Pick zu berechnen. Nachfolgendes Theorem verzichtet dabei auf herkömmliche Methoden: a) euklidischer Algorithmus b) Primfaktorzerlegung c) Beziehung zum kgV 1.1 Theorem: Für zwei natürliche Zahlen \(a,~b~> ~0\) gilt: \[ \mathrm{ggT}(a,b) = {a-b-ab+2 \ ...
Ein einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie von Triceratops
       am So. 20. Dezember 2020 06:01:00 - 677 mal gelesen - 0 Kommentare
Ich habe mir einen einfachen Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie überlegt. Er kommt gänzlich ohne Dimensionsargumente aus. Die eine Hälfte des Beweises ergibt sich letztlich aus Grundlagen über Homomorphismen in einen algebraischen Abschluss, wohingegen die andere Hälfte auf einem kombinatorischen Resultat basiert, nämlich dass ein Körper nicht als Vereinigung von endlich viel ...
Grundlagen der linearen Algebra über F_1 von Triceratops
       am Fr. 20. November 2020 14:29:42 - 424 mal gelesen - 0 Kommentare
Grundlagen der linearen Algebra über $\mathbb{F}_1$ Es gibt verschiedene Definitionen eines "Körpers mit einem Element", notiert mit $\IF_1$. In diesem Artikel stellen wir die wohl einfachste davon vor und betreiben etwas lineare Algebra darüber: Ein $\IF_1$-Vektorraum ist ganz einfach eine punktierte Menge, und $\IF_1$ ist $(\{0,1\},0)$. Lineare Algebra über $\IF_1$ ist also eng mit Kombin ...
Einführung in q-Binomialkoeffizienten von Triceratops
       am Di. 20. Oktober 2020 06:42:45 - 600 mal gelesen - 3 Kommentare
Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Ko ...
Stern Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace von Triceratops
       am Do. 17. September 2020 19:18:39 - 807 mal gelesen - 6 Kommentare
Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace Der Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildung ...
Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis von Kezer
       am So. 06. September 2020 12:44:15 - 613 mal gelesen - 4 Kommentare
Zu den fundamentalen Aussagen in der gesamten Mathematik gehört die Dreieckungleichung aus der Geometrie. Man möge sich also fragen: Gibt es eine "Vierecksungleichung"? Antwort: Ja. Eigentlich ist es aber auch "nur" die Dreiecksungleichung. Das richtige Analogon der Dreiecksungleichung für Vierecke ist der Satz von Ptolemäus. Sei $ABCD$ ein Viereck. Es gilt $$ |AB| \cdot |CD| + |BC| \ ...
Stern Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle von Triceratops
       am Fr. 14. August 2020 15:34:03 - 1947 mal gelesen - 29 Kommentare
Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des N ...
Collatzsieb von blindmessenger
       am Fr. 24. Juli 2020 20:45:42 - 1118 mal gelesen - 5 Kommentare
Einleitung Es seien $X$ und $Y$ die Mengen $$X=\{24n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{24n+17:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+13:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+29:n\in\mathbb N\}\cup\{96n+37:n\in\mathbb N\}\cup\{192n+181:n\in\mathbb N\}$$ $$Y=\{6n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{6n+5:n\in\mathbb N\}$$ Aus der Menge $X$ entsteht durch Collatziteration die Menge $Y$. Aus der Menge $Y$ wiederum lässt sich die M ...
Ausdehnen von algebraischen Gleichungen von Triceratops
       am So. 12. Juli 2020 21:52:37 - 638 mal gelesen - 2 Kommentare
Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Dirichlets Schreibtisch
      von easymathematics am Di. 21. September 2021 18:20:26
Cooler Artikel! Lemma 1 würde ich jetzt nicht sofort mit dem Schubfachprinzip in Verbdinung bringen muss ich ehrlich sagen. Aber das ist ja auch irgendwo die "Macht" des Schubfachprinzips. Es ist so trivial, aber es bringt wundervolle Resultate zum Vorschein. Mit dem Beweis von Lemma 1 habe ich jetzt eine Übungsaufgabe. :D> ...
Re: Primzahlzwillinge suchen
      von Delastelle am Di. 14. September 2021 02:56:35
Hallo, Du hättest den Maple-Quellcode ruhig noch angeben dürfen... Viele Grüße Ronald> ...
Re: Polynomdivision - Direkte Berechnung beliebiger Koeffizienten
      von easymathematics am Do. 19. August 2021 14:30:41
Ja, natürlich lässt sich das Verfahren verallgemeinern. Ich habe nur gerade keine Lust das Ganze abzutippen. Es wird nachgereicht, wenn mir nach Latex ist. :)> ...
Re: Polynomdivision - Direkte Berechnung beliebiger Koeffizienten
      von Wario am Do. 19. August 2021 10:47:14
Vermutlich reicht es an sich, wenn man das Verfahren für einen Divisor angibt, der ein lineares Polynom ist. Könnte man das auch für Divisorpolynome n-ter Ordnung angeben?> ...
Re: Typische Beweismotive
      von Triceratops am Sa. 24. Juli 2021 23:55:38
Vielen Dank für das Feedback! @AlphaSigma: Mit "kann angesehen werden als" war "entspricht" gemeint. Ich habe es geändert.> ...
Re: Typische Beweismotive
      von AlphaSigma am Sa. 24. Juli 2021 17:13:16
Hallo Triceratops, ein sehr schöner Artikel. Im Beispiel 2 ist der Satz "... eine Orthonornalbasis kann auch gesehen werden als ein orthogonaler (also Skalarprodukt-erhaltener) Isomorphismus zu $\IR^n$ mit dem Standardskalarprodukt." etwas ungenau formuliert. Eine Basis ist eine Menge von Vektoren und ein Isomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Die beiden Begriffe kann ma ...
Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
      von Triceratops am So. 04. Juli 2021 22:16:32
Ausführlicher als im Artikel oben ("Der triviale Vektorraum") beschreibt Carl de Boor in An empty exercise , warum leere Matrizen nützlich und ganz natürlich sind, auch im Zusammenhang mit MATLAB.> ...
Re: Typische Beweismotive
      von nzimme10 am Mi. 23. Juni 2021 13:23:10
Hallo Martin, wie immer ein toller Artikel. Vermutlich hast du das in dem Artikel zumindest zwischen den Zeilen bei "Führe einen Parameter ein" schon so oder so ähnlich gesagt, aber: Was ich manchmal hilfreich finde ist wann immer man zusätzliche Dinge zu seinen Überlegungen hinzugefügt hat, die einem weitergeholfen haben (eben z.B. einen neuen Parameter), so kann es manchmal hilfreich ...
Re: Typische Beweismotive
      von Saki17 am Mo. 21. Juni 2021 00:13:30
Sehr schöner Artikel; werde ich später genauer lesen. Hättest du vielleicht vor, einen Artikel von ähnlichem Stil über die Berechnung der (Ko)Homologie zu schreiben?> ...
Re: Typische Beweismotive
      von Kezer am So. 20. Juni 2021 17:25:06
Schöner Artikel wie immer, den ich noch komplett lesen muss, wenn ich mehr Zeit habe. Ein wichtiges Beweismotiv ist wahrscheinlich "Finde/Zeichne das richtige Bild". Passend zum Abschnitt "Verallgemeinere den Kontext" finde ich noch den berühmten Beweis zu Desargues Satz bzgl. der Perspektivität von Punkten und Geraden in der projektiven Geometrie. Es ist (a priori) eine zwei-dimensionale ...
Re: Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen
      von nzimme10 am Di. 01. Juni 2021 09:43:36
Hallo Martin, vielen Dank für diesen interessanten Artikel. Zugegeben, so habe ich zwar noch nie darüber nachgedacht, aber das beantwortet tatsächlich einige Fragen, von denen ich bisher gar nicht so recht wusste, dass ich sie mir gestellt habe. 🙃 Liebe Grüße, Nico> ...
Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
      von Kezer am Mi. 26. Mai 2021 20:19:38
Ein Beispiel aus der algebraischen Geometrie (Vakil, November 18, 2017, S. 323): Satz. Sei $\pi : X \to Y$ ein Morphismus irreduzibler $k$-Varietäten mit $\dim{X} = m$ und $\dim{Y} = n$. Dann existiert eine nicht-leere offene Menge $U \subseteq Y$, sodass für alle $q \in U$ die Faser $\pi^{-1}(q)$ reine Dimension $m-n$ hat oder leer ist. Bemerkung. Die leere Menge hat reine Dimension $ ...
Re: Hüllenoperatoren
      von carlox am Di. 18. Mai 2021 21:21:26
Hallo allerseits, vielleicht könnte man als Beispiel noch indukiv definierten Mengen bringen. Durch Regeln werden immer "größere" Mengen erzeugt und alle diese vereinigt. Dies geht auch über eine Hüllenoperation. siehe Skript Prof. Kindler: https://drive.google.com/file/d/1bu6-qU9fcD8ArEa6CUBO_GHYw1CWTI5S/view mfg cx > ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Bernhard am Mi. 12. Mai 2021 23:25:00
Hallo AnnaKath! Welche Abruch- bzw. Siegesbedingung hast Du genommen? Die, die ich im Artikel oben beschrieben habe (4 Steine auf gleichfarbigen Feldern der Schlußlinie) oder die ich meinem letzten Kommentar als Alternative vorgestellt habe (alle Steine in der Hälfte des Gegners und min 4)? Als mögliche Zusatzregel ist mir auch noch etwas eingefallen: Beim Mühlespiel darf man, wenn ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von AnnaKath am So. 09. Mai 2021 21:05:01
Hallo Bernhard, wir haben das Spiel nun implementiert und ein paar Tausend Testpartien gespielt. Einfachste "KI"s erzeugen manchmal unterhaltsame (aber nicht notwendig gute...) Partien. Hier ein Beispiel: \showon \sourceon output Bernhard's game (V1.00 by Em & AK) started. Move d1d2 made. Move e7e6 made. Move g2f2 made. Move a7a6 made. Move c2d3 made. Move b8c8 made. Move a2b2 made ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Bernhard am Di. 04. Mai 2021 20:16:09
Hallo AnnaKath! Ich würde vorschlagen: Weniger als 8 Steine und derjenige, der die geringere Zahl besitzt, hat keine Möglichkeit mehr, einen gegnerischen durch Springen zu "erobern" (Weil sie schon aneinander vorbeigezogen sind oder also ein keiner direkt nebendran steht). Dann könnte man das Spiel bereits abschließen. Ich frage mich jetzt allerdings auch, ob man das dann überhaupt als S ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von AnnaKath am Di. 04. Mai 2021 11:39:52
Huhu Bernhard, Danke für die Klarstellung (und - juhu - wir passen dann mal unsere Implementierung an...). Unsere bereits gespielten (bzw. vom Computer gespielten) Partien lassen zwar erahnen, dass das Spiel vermutlich sehr rasch "ungewinnbar" gegen einen (auch sehr einfachen) Computer-Algorithmus wird, aber es hat jedenfalls ein paar interessante Konstellationen. Ein paar weitere Fragen s ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Bernhard am Mo. 03. Mai 2021 23:06:24
Hallo AnnaKath! Du fragst: \quoteonSollen durch diese Regel nur Sprungzüge innerhalb der ersten (bzw. 8.) Reihe verboten sein oder sind alle Sprungzüge verboten, die ihren Ausgang von einem Stein auf der ersten (bzw. 8.) Reihe haben? \quoteoff Ich hatte gedacht, daß alle Sprünge innerhalb der ersten Reihe verboten sind, da man damit dem Gegner in seine letzte Reihe einen Stein auf ein ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von AnnaKath am So. 02. Mai 2021 17:43:44
Hallo Bernhard, wir haben beschlossen, Dein Spiel einmal zu implementieren und ein wenig damit herum zu experimentieren. Es erscheint und eine ganz interessante Idee und wir können vielleicht einige neue Dinge für andere Zwecke ausprobieren... Um eine Klarstellung der Regeln möchte ich Dich dazu bitten: Du schreibst: "In der ersten Reihe ist das Springen noch verboten. Sonst könnte z.B ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Bernhard am Sa. 01. Mai 2021 12:37:24
Hallo Ronald! Das mit einem Satz fürs Damespiel zu versuchen, hatte ich oben ebenfalls empfohlen. Jeweils 4 Spielsteine jeder Farbe bleiben dann noch übrig, um sie auszutauschen, wenn beim Überspringen einer die Farbe wecheln muß. Mit Spieleprogrammierung habe ich überhaupt nichts am Hut, und sonst habe ich mir halt immer wieder mal nützliche Tools für den Alltag mit dem AutoHotkey er ...
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