PhysikRabe schrieb am 17.12.2013 und bewertete mit
In diesem Buch wird das wichtigste an dem mathematischen Grundgerüst der Quantenfeldtheorie behandelt. Es wurde für Mathematiker geschrieben, die sich mit der vielleicht teils schlampig anmutenden Art, Quantenfeldtheorie zu lehren, nicht zurecht finden und eine mathematisch saubere und nachvollziehbare Einführung in die Grundprinzipien der Quantenfeldtheorie suchen. Genauso ist das Buch aber auch für Physiker geeignet, die einen genaueren Blick auf diese Theorie werfen möchten. Auf knapp 300 Seiten wird ausgehend von der klassischen Mechanik (Hamilton- und Lagrange-Formalismus, Poisson-Klammern, Lie-Algebra der Observablen), der Quantenmechanik (kanonische Quantisierung, Pfadintegral-Quantisierung, Gelfand-Naimark-Theorem, C*-Algebren) und der Relativitätstheorie (Darstellungen der Lorentz-Gruppe, relativistische Kinematik) die Quantenfeldtheorie aufgebaut. Gerade die einleitenden Kapitel zur klassischen Mechanik und Quantenmechanik sind sehr kurz gehalten und ohne diesbezügliches Vorwissen dürfte es dem Leser schwer fallen, hier mitzukommen. Prinzipiell setzen die Autoren voraus, dass der Leser bereits Kontakt mit Grundlagen dieser Theorien hatten, und es ist daher für ein umfassendes Verständnis wichtig, auch ausführlichere Werke zur Quantenmechanik bzw. Quantenfeldtheorie zu konsultieren. Das Buch gliedert sich in folgende Kapitel: 1. Classical mechanics 2. Quantum mechanics 3. Relativity, the Lorentz group and Dirac''s equation 4. Fiber bundles, connections and representations 5. Classical field theory 6. Quantization of classical fields 7. Perturbative quantum field theory 8. Renormalization 9. The standard model Appendix A. Hilbert spaces and operators Appendix B. C*-algebras and spectral theory In Kapitel 4 werden Faserbündel, Kozykel, Hauptfaserbündel, der Hodge-Operator und die Clifford-Algebra eingeführt. Dies dient zur Vorbereitung auf die nächsten Kapitel, worin nach Behandlung der klassischen Feldtheorie die Quantisierung verschiedener Felder durchgeführt wird (fermionisches, bosonisches und das elektromagnetische Feld). Die Autoren erwähnen sogar die axiomatische QFT, Wick-Rotationen und euklidische QFT (inklusive Schwinger-Funktionen und Osterwalder-Schrader-Theorem), und das CPT-Theorem. In Kapitel 7 wird anhand des Pfadintegral-Formalismus und mithilfe Gauß''scher Maße die störungstheoretische Quantenfeldtheorie erläutert. Ein großer Teil dieses Kapitels widmet sich auch der perturbativen Yang-Mills-Theorie. Daran angegliedert ist noch ein kurzes Kapitel zur Renormierungstheorie (10 Seiten). Im letzten Kapitel wird die Lagrange-Funktion des Standardmodells betrachtet und es gibt eine kurze Einführung in die theoretische Teilchenphysik. Hier ist einmal mehr schön zu sehen, wo die zuvor aufgebaute Mathematik in die Physik eingeht. Besonders erwähnenswert finde ich auch die beiden Appendizes. Es werden die wichtigsten Definitionen und Theoreme der Funktionalanalysis und C*-Theorie behandelt, und trotz der Kürze dieser Anhänge sind die Erklärungen ausgezeichnet und gut verständlich. Die für die algebraische Quantenfeldtheorie und Quantenmechanik wichtigen Sätze aus der Theorie der C*-Algebren kommen hier auch vor, wie zum Beispiel die GNS-Konstruktion. FAZIT: "Mathematical Aspects of Quantum Field Theory" ist ein exzellentes Buch, um nach dem Studium eines ausführlichen Quantenfeldtheorie-Buches die mathematischen Feinheiten dahinter zu verstehen. Es bietet sich auch dafür an, einem interessierten Mathematiker den Übergang zu "reiner" Physik-Literatur zu erleichtern, da man eine Vorstellung von der zugrundeliegenden mathematischen Theorie bekommt. Im Zusammenspiel mit anderen Büchern lässt sich dieses Werk also besonders gut verwenden.