Antworte auf:  Eigenwerte/Eigenzustände in der QM von meloniton
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meloniton
Aktiv
Dabei seit: 07.02.2018
Mitteilungen: 123
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-20 09:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!!


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 937
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-17 10:12    [Diesen Beitrag zitieren]
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Hallo meloniton,

Eigenzustände in der Quantenmechanik haben zwei wichtige Bedeutungen. Eine davon hat mit der Zeitentwicklung zu tun, die andere mit Messungen.
Die Zeitentwicklung ist im nichtrelativistischen Fall durch die Schrödingergleichung $\i\hbar\partial_t\ket\psi=H\ket\psi$ gegeben. Der Hamiltonoperator $H$ gibt also die Zeitableitung eines Zustandes an. Mit einem Separationsansatz kommt man dann darauf, dass man die Lösungen dieser Gleichung besonders leicht aus den Eigenzuständen von $H$ zusammenbasteln kann, solange $H$ nicht zeitabhängig ist. Die Eigenzustände sind hier nur ein mathematisches Hilfsmittel, um die Schrödingergleichung zu lösen. Man könnte das auch numerisch ganz ohne Eigenzustände machen, oder eventuell mit fortgeschritteneren analytischen Methoden ebenfalls ohne Eigenzustände (in der Theorie der PDGs bin ich nicht tief genug drin, um das beurteilen zu können).
Dann sind Eigenzustände zentral für die Wahrscheinlichkeiten von Messergebnissen. Das ist völlig unabhängig davon, wie die Schrödingergleichung aussieht, wie man sie gelöst hat, ob sie zeitabhängig oder -unabhängig ist, und so weiter. Ausschlaggebend ist dafür nur, wie der Zustand zu einem Zeitpunkt $t$ aussieht. Wie er in diesen Zustand gebracht wurde, ist egal, Hauptsache er sieht so aus wie er aussieht. Und dann gelten für Messwahrscheinlichkeiten deine angegebenen Formeln. Wobei die erste bereits ausreicht, denn die zweite ist davon nur ein Spezialfall, bei dem die Observable der Ort ist. Die Ortseigenzustände sind in Ortsdarstellung dann $\varphi_{x}(x')=\delta(x'-x)$, und das Skalarprodukt $(\varphi_x,\psi)=\int\delta(x'-x)\psi(x',t)\d x'=\psi(x,t)$. Es kommt also dasselbe raus. Und die Zeitabhängigkeit tritt eigentlich in beiden Gleichungen auf, wenn $\psi$ zeitabhängig ist.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

meloniton
Aktiv
Dabei seit: 07.02.2018
Mitteilungen: 123
Herkunft:
 Themenstart: 2020-02-17 09:00    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo! 😄
Ich bereite mich gerade auf eine mündliche Prüfung in QM vor und habe noch einige Verständnisprobleme. Und zwar geht es um die Eigenwerte/ Eigenzustände in der QM.

Ist es richtig, dass diese Eigenzustände usw. nur wichtig sind, wenn wir die zeitunabhängige SG lösen, da diese mathematisch gesehen ein Eigenwertproblem darstellt?
Die Bornsche Regel haben wir z.B. gegeben als:
fed-Code einblenden

Das bedeutet, wenn ich die zeitunabhängige SG löse, nutze ich die erste Form und wenn man die zeitabhängige SG löst dann die zweite?

Tut mir leid, für diese wahrscheinlich offensichtlich scheinende Frage, bin noch ziemlich unsicher was da die ganzen Zusammenhänge angeht. 😵


 
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