Forum:  Partielle DGL
Thema: Translationsinvarianz, Ableitung, Fronten
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Musikant88
Junior
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Themenstart: 2019-11-15 12:34

Hallo!
Ich habe ein Problem mit folgender Idee.


Ich habe eine Reaktions-Diffusionsgleichung
<math>\displaystyle
u_t=u_{xx}+f(u)
</math>
mit einer Nichtlinearität <math>f</math>.

Der travelling wave ansatz <math>u(x,t)=U(z), z=x-ct</math>, liefert die Gleichung
<math>\displaystyle
0=U""+cU"+f(U).
</math>

Dies ist translationsinvariant, denn jedes Translat von <math>U</math> ist wieder eine travelling wave. Insbesondere ist <math>\lambda=0</math> ein Eigenwert des linearisierten Operators (Linearisierung in <math>U</math>)
<math>\displaystyle
L:=\partial_{zz}+x\partial_z+f"(U).
</math>
und <math>U"</math> ist zugehörige Eigenfunktion.

Unter gewissen Bedingungen gilt sogar, dass der Kern von <math>L</math> durch die Eigenfunktion <math>U"</math> aufgespannt wird, <math>\textrm{ker}(L)=\textrm{span}(U")</math>.

Das ist sozusagen der Hintergrund meiner Frage.


Nun wird die travelling wave <math>V(x-ct-q(t))</math> betrachtet, d.h. man nimmt einen zeitabhängigen Translationsausdruck <math>q(t)</math> hinzu. Sei <math>\mathcal{L}</math> der lineare Operator, der durch Linearisierung in <math>V</math> entsteht und sei <math>\textrm{ker}(\mathcal{L})=\textrm{span}(V")</math>.

Man möchte eine Differentialgleichung für <math>q(t)</math> herleiten. Dazu wird der Ansatz

<math>\displaystyle
V(x-ct-q(t)) + W,\qquad W\in \textrm{ker}(\mathcal{L})^\perp
</math>
gemacht; dieser Ansatz wird dann in die Gleichung eingesetzt und anschließend auf <math>\textrm{ker}(\mathcal{L})</math> projiziert.


Und hier fehlt mir das Verständnis und die Anschauung.

(1) Der Ansatz <math>V + W</math>, woher kommt der?

- Ich denke mir das ungefäht so: Sei <math>V</math> eine Front. Dann ist V orbital stabil, d.h. man landet wieder bei einer translatierten Version von V (grob gesprochen). Diese Translation wird durch <math>V"</math> beschrieben, weil <math>V"</math> Eigenfunktion zum Eigenwert <math>\lambda=0</math> ist, der wegen der Translationsinvarianz existiert.

(Aber inwiefern beschreibt <math>V"</math>, also die Eigenfunktion zum Eigenwert <math>0</math> die Translation? Mir ist das anschaulich nicht klar.)

In dem Ansatz nimmt man deswegen nur noch <math>W</math> hinzu, das orthogonal zu der Translationsrichtung ist. <math>W</math> ist irgendein "Restterm", für den man annehmen kann, das er orthogonal zu dem "stabilen" Anteil der Lösung ist, der "nur verschoben wird". D.h. man weiß, was mit <math>V</math> passiert und nimmt daher an, dass der Rest dazu orthogonal ist, damit irgendwas "Spannendes" außer horizontale Translation passiert.
Aber nochmal: Wieso drückt <math>V"</math> die Translationsrichtung aus und wie?


(2) Was bewirkt die Projektion auf <math>\textrm{ker}(\mathcal{L})</math>, d.h. wieso macht man die?
Ich kann wieder nur vermuten, dass <math>V"</math> irgendwie die horizontale Translation ausdrückt; da der Kern von <math>V"</math> aufgespannt wird, liefert einem diese Projektion vielleicht Informationen zur horizontalen Verschiebung <math>q(t)</math>, für die man ja eine Differentialgleichung bekommen möchte.


EDIT:

In beiden Fragen ist mir nicht klar, was die genaue Rolle von <math>V"</math> bzgl. der hotizontalen Translationsinvarianz ist. Ich kann herleiten, dass <math>V"</math> eine Eigenfunktion zum Eigenwert <math>0</math> ist. Aber was das anschaulich mit Translationsinvarianz zu tun hat, verstehe ich nicht.

Ein Erklärungsversuch:

Ich denke, es ist von Bedeutung, dass mit <math>U(z)</math> auch <math>U(z+s)</math> mit <math>s\in\mathbb{R}</math> eine Front ist. Vielleicht kann man deswegen die Ableitung von <math>U</math> in <math>z</math> als eine Richtungableitung in Richtung der horizontalen Achse verstehen:

<math>\displaystyle
U"(z) = \left. \frac{d}{ds}U(z+s)\right|_{s=0}
</math>

Bedeutet das, dass die Ableitung einer travelling wave eine Richtungsableitung in Richtung der Translation ist, d.h. die Änderungen passieren in Richtung der Translation (also horizontal)?

Projiziert man also daher schließlich die Änderungen von V+W zurück auf den Kern von L, damit man den horizontalen Anteil der Veränderung von V+W, also V' oder ein Vielfaches davon, bekommt, der ja besonders interessant ist, wenn man an der horizontalen Änderungen von q(t) interessiert ist?

Das wäre meine Intuition.  😵






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Druckdatum: 2020-08-04 09:20