Forum:  Relationen und Abbildungen
Thema: Unendlich viele Äquivalenzrelationen
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LernenWollen
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Themenstart: 2019-08-22 21:06

Hallo!

Ich möchte Äquivalenzrelationen betrachten.
Es heißt, auf der leeren Menge gibt es nur eine Äquivalenzrealtion - die leere Menge selbst.
Doch ist nicht jede Relation auf der leeren Menge eine Äquivalenzrelation?
Man betrachte die leere Menge $A$. $R$ ist eine beliebige Relation.
Reflexivität:
$\forall a \in A: (a,a) \in R.$
Da $A$ keine Elemente enthält, ist jedes $R$ reflexiv auf $A$.

Symmetrie:
$\forall a,b \in A: (a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \in R.$
$(a,b) \in R$ ist nie wahr, daher ist die Implikation immer wahr und jedes $R$ ist auf $A$ symmetrisch.

Transitivität:
$\forall a,b,c \in A: (a,b) \in R \land (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R.$
Auch hier: $(a,b) \in R \land (b,c) \in R$ ist nie wahr, wodurch jedes $R$ auf $A$ transitiv ist.

Demnach gibt es doch unendlich viele Äquivalenzrelationen auf der leeren Menge. Mit der Argumentation womöglich auf jeder Menge.

Wo ist der Fehler?

Danke und Grüße
LernenWollen


ligning
Senior
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-22 21:08

Es gibt überhaupt nur eine Relation auf der leeren Menge.


LernenWollen
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-22 22:15

Danke für die Antwort.
Ich habe das auch bereits gelesen und akzeptiert. Aber noch nicht verstanden.
Denn, wie ich vorgeführt habe, gibt es eine Argumentation, nach der diese Aussagen widerlegt würde.
Da ich aber davon ausgehe, dass meine Argumentation demnach falsch ist, möchte ich herausfinden, warum sie falsch ist.
An mindestens einer Stelle habe ich mindestens eine mathematische Regel vergessen, falsch interpretiert oder erfunden. Doch wo erkenne ich selbst nicht.

Deswegen frage ich hier. Denn es ist die eine Sache, wenn man die Regeln kennt und einfach so auswendig weiß oder wenn man sie auch beweisen kann, mindestens grob. In diesem Fall sollte es eigentlich leicht sein, hierfür einen Beweis zu finden oder meine Argumentation zu widerlegen.

Weil ich weiß, dass hier Profis lauern, freue ich mich sehr auf einen Kommentar, welcher auf meine Argumentation eingeht.

Ich danke dir dennoch für den gutgemeinten Hinweis. Leider hilft er mir nicht.

Liebe Grüße
LernenWollen


ligning
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-22 22:51

Deine Argumentation ist nicht vollständig. Du sagst zuerst, dass jede Relation auf der leeren Menge eine Äquivalenzrelation ist. Das ist korrekt. Dann schließt du, ohne das weiter zu begründen, dass es folglich unendlich viele Äquivalenzrelationen auf der leeren Menge geben würde. Meiner Vermutung nach hast du dafür stillschweigend angenommen, dass es unendlich viele Relationen auf der leeren Menge gibt. Darauf habe ich dich hingewiesen. Wenn das nicht der Fall ist, müsstest du uns mal mitteilen, wie du die Lücke sonst schließen willst.


Red_
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Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-22 22:52

Hi,
ohne alles durchgelesen zu haben:
Eine Relation R auf einer Menge M ist eine Teilmenge von MxM.
Hier in deinem Fall M={}. D.h. es gibt sogar nur eine Relation auf der leeren Menge, nämlich die leere Menge selbst, da dies die einzige Teilmenge von {}x{} ist.

Red_


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

EDIT: In deinem ersten Beitrag gehst du die drei Axiome durch. Diese sagen dir nur, was in deiner Äquivalenzrelation drin sein muss. Aber nicht, was nicht drin sein darf; und genau das wird durch \(R\subseteq M\times M\) dargestellt.


LernenWollen
Aktiv
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24 12:42

2019-08-22 22:51 - ligning in Beitrag No. 3 schreibt:
Dann schließt du, ohne das weiter zu begründen, dass es folglich unendlich viele Äquivalenzrelationen auf der leeren Menge geben würde.

Nein, das war kein Schluss aus der ersten Aussage. Ich habe eine Aussage aus Lehrmaterialien genommen, von der auszugehen war, dass sie korrekt ist.
Dann habe ich eine Frage gestellt, die auf eine Überlegung zurück ging, die ich folgend erläuterte.

Meiner Argumentation fehlte etwas ganz anderes. Die folgende notwendige Einschränkung habe ich nicht vorgenommen:
2019-08-22 22:52 - Red_ in Beitrag No. 4 schreibt:
Eine Relation R auf einer Menge M ist eine Teilmenge von MxM.

Demnach ist $R$ nicht eine beliebige Menge, wie ich eingangs annahm:
2019-08-22 21:06 - LernenWollen im Themenstart schreibt:
$R$ ist eine beliebige Relation.

Sondern es gilt $R \subseteq A \times A$.
Und dann gibt es sowieso nur eine Möglichkeit für $R$ - die leere Menge.

Ich danke sehr!

Freundliche Grüße
LernenWollen




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Druckdatum: 2020-03-31 02:37