Zerfällungsalgebren

In Algebra-Vorlesungen lernt man den Zerfällungskörper eines Polynoms über einem Körper kennen. Tatsächlich ist dieser Körper nicht eindeutig bestimmt, nur bis auf nicht-eindeutige Isomorphie, und besitzt keine konstruktive Konstruktion. Zerfällungsringe bzw. Zerfällungsalgebren beheben dieses Problem. Sie lassen sich sehr elegant über eine universelle Eigenschaft kennzeichnen, sind also bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig bestimmt, und ihre Existenz lässt sich leicht und konstruktiv beweisen. Zerfällungskörper kann man wiederum als geeignete Quotienten davon gewinnen. Die Grundidee ist, dass man für normierte Polynome $f \in R[X]$, wobei hier nun $R$ ein beliebiger kommutativer Ring sein kann, eine in einem gewissen Sinne kleinste Ringerweiterung $R \subseteq S$ sucht, sodass $f$ in $S[X]$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Zerfällungsalgebren sind nicht so bekannt wie sie sein sollten, und ihre Behandlung in diesem Artikel unterscheidet sich insofern von der relativ spärlichen Literatur, dass wir eine allgemeine Quotientenkonstruktion für Algebren verwenden und konsequent universelle Eigenschaften verwenden, um mit wenig Rechnung zu denselben Resultaten zu kommen.

Abgesehen von der Existenz von Zerfällungskörpern besprechen wir noch zwei weitere Anwendungen, nämlich dass ganze Elemente unter Ringoperationen abgeschlossen sind sowie die Existenz eines ringtheoretischen algebraischen Abschlusses.