Mathematik: Über Berührungen und Ableitungen
Released by matroid on Di. 19. Januar 2021 06:36:43
Written by Triceratops - (105 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über Berührungen und Ableitungen

In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relation dort nur kurz in der Definition auf und wird nicht weiter benutzt, und andere Quellen verwenden ohnehin einen eher rechnerischen Zugang. In diesem Artikel möchte ich die Berührungsrelation in den Vordergrund stellen und die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, konzeptionell aus entsprechenden Eigenschaften der Berührungsrelation ableiten. Schließlich gibt es auch noch eine kategorientheoretische Einordnung der ganzen Theorie.
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buhs Montagsreport: ZUKUNFT: Haben wir eine?
Released by matroid on Mo. 11. Januar 2021 16:35:54
Written by buh - (188 x read)
Bildung  \(\begingroup\)
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ZUKUNFT: Haben wir eine?

Gibt es ein Leben nach dem März?


Zinbiel: Ein trüber Wintertag beginnt. Frierend stehen die Witten, Chatten und Solingen, sogar einige der ausgestorbenen Skripten auf der Weite vor Zinbiel, um die Ankunft des Le und den Blick in die Zukunft zu erwarten. Da! Am Hang gegenüber bebt die Erde und eine gleißende Flamme brennt eine Spur in den Hang, bevor sie sich, eine Schreibfeder formend, gen Himmel wendet.
Und mit Buchstaben aus Feuer erscheint am Himmel DIE PROPHEZEIUNG!
Die Schrift ist klar und lesbar und rot.
So kann buhs MontagsReport alles verlustfrei wiedergeben. \(\endgroup\)
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Mathematik: Optimale Steuerung bzw. Neuronales Netz mit variablen Gewichten - ein Beispiel
Released by matroid on Mi. 06. Januar 2021 19:41:41
Written by Delastelle - (135 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)
Im Artikel berechne ich die Lösung eines Problems der Optimalen Steuerung. Die Steuerungen u kann man auch als Gewichte w eines Neuronalen Netzes mit variablen Gewichten sehen. Gelöst wird das Achtproblem - hier mit 4 gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Zur Lösung werden Fortran und Matlab/Octave eingesetzt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Berechnung des ggT´s mit dem Satz von Pick
Released by matroid on Mo. 04. Januar 2021 20:20:17
Written by easymathematics - (348 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)
In diesem Artikel soll es darum gehen den größten gemeinsamen Teiler
zweier natürlicher Zahlen \(a,~b~>~0\) mit dem Satz von Pick zu berechnen.
Nachfolgendes Theorem verzichtet dabei auf herkömmliche Methoden:

a) euklidischer Algorithmus
b) Primfaktorzerlegung
c) Beziehung zum kgV

1.1 Theorem:
Für zwei natürliche Zahlen \(a,~b~>~0\) gilt:
\[
\mathrm{ggT}(a,b) = {a-b-ab+2 \sum_{k=1}^{a} \left\lfloor \frac{b}{a}k \right\rfloor}
\] \(\endgroup\)
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Matheplanet-Award: MP-Awards für 2020
Released by matroid on So. 03. Januar 2021 19:58:17
Written by matroid - (94 x read)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \)
Abstimmung zum Matheplanet-Award für 2020





 
  Matheplanet-Mitglieder-Award
für 2020


Awards werden in 11 Kategorien vergeben. Für die Awards sollen Mitglieder nominiert werden, die im Jahr 2020 in der jeweiligen Kategorie positiv hervorgetreten sind.

Grundsätzlich kann jedes Mitglied jedes Mitglied nominieren und wählen.

Bitte gib Deine Stimme ab, denn damit drückst Du Deine Zufriedenheit und Anerkennung aus. Wähle in jeder Kategorie Deinen Favoriten unter den Nominierten, oder trage Deine Nominierung ein.

Jedes Mitglied kann in jeder Kategorie beliebig viele Stimmen abgeben, solange die Stimmen verschiedenen Kandidaten gegeben werden. Um weitere Stimmen abzugeben, rufe das Wahlformular bitte mehrfach auf.

Du kannst abstimmen ab dem 4.1.2021 und bis zum 22.1.2021. Die feierliche Verleihung der Matheplanet-Awards findet am 24.1.2021 hier auf dem Matheplaneten statt.

>>> Zum Wahlformular (Abstimmen ab 4.1.2021)
 
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Mathematik: Ein einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie
Released by matroid on So. 20. Dezember 2020 06:01:00
Written by Triceratops - (453 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ein einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie

Ich habe mir einen einfachen Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie überlegt. Er kommt gänzlich ohne Dimensionsargumente aus. Die eine Hälfte des Beweises ergibt sich letztlich aus Grundlagen über Homomorphismen in einen algebraischen Abschluss, wohingegen die andere Hälfte auf einem kombinatorischen Resultat basiert, nämlich dass ein Körper nicht als Vereinigung von endlich vielen echten Teilkörpern geschrieben werden kann. Ich setze nur Grundbegriffe von Körpererweiterungen als bekannt voraus und stelle ebenfalls die benötigten Grundlagen von separablen und normalen Erweiterungen vor.
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Stern Mathematik: Potenzsummen
Released by matroid on Fr. 30. Mai 2008 20:46:03
Written by trunx - (4174 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
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Einige davon sind bereits auf dem Matheplaneten vorgestellt worden, z.B. im Artikel Endliche Summen oder hier im Forum. Den in diesem Artikel vorgestellten Rechenweg hat Manuel (subdubito) auf dem MPCT VIII skizziert, hier soll er etwas ausführlicher erläutert und zu Ende gebracht werden. \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: 4. Advent
Released by matroid on Mo. 21. Dezember 2020 19:09:37
Written by Leonardo_ver_Wuenschmi - (246 x read)
Adventskalender  \(\begingroup\)
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4. Advent

 


Ruhe. Stille liegt auf der Rückseite des Matheplaneten. Stille und Friede. Der Himmel sieht aus, als versuche er, dieses seltsame Jahr zu vertreiben.

Winterstimmung

Selbst die Bäume achten auf Abstand. \(\endgroup\)
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Physik: Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen
Released by matroid on So. 13. Dezember 2020 19:29:11
Written by Roland17 - (228 x read)
Physik  \(\begingroup\)
Einleitung:

Das bestehende Modell für die Erklärung der Wellengruppen in Wasser (s. Abb. 1) von Kelvin (ehemals Thomson, 1887), ist unvollkommen, denn es behauptet für alle Wellenschleppen einen Öffnungswinkel von 2∙19,47° (s. Anhang, Abb. 9.6) und dass die Gruppengeschwindigkeit halb so groß wie die Phasengeschwindigkeit sei. Satellitenaufnahmen bei Google Maps zeigen aber, dass diese Winkel meistens kleiner, sogar viel kleiner, jedenfalls aber unterschiedlich sind (Abb. 9.1 – 9.5)
Rabaud und Moisy (1) modifizierten ausgehend von Satellitenbildern die Theorie 2013 dahingehend, dass der Öffnungswinkel für kleine Geschwindigkeiten (z.B. von Segelschiffen) konstant 19,5° betrage, bei höheren Geschwindigkeiten aber abnehme.
Beide Modelle erklären Wellengruppen mit der Interferenz von sehr vielen Teilwellen unterschiedlicher Wellenlängen und mit der Dispersion in Wasser (2), was zu der halben Gruppengeschwindigkeit (3) und dem federartigen Ausfächern an den Rändern der Schleppe (s. Abb. 9.5) führe. Dem liegt aber eine starke Vereinfachung zugrunde, nämlich die Beschränkung auf den ersten Summanden einer Taylor-Reihe (3). Es handelt sich also um eine Näherung an die Wirklichkeit.
Außerdem fehlen Erklärungen für die Entstehung der vielen Teilwellen unterschiedlicher Wellenlänge, für die Entstehung der Wellengruppen aus der Bugwelle des Wellenerregers und am Heck des Erregers und für die Wellen hinter dem Erreger (s. Abb. 1). Vor allem fehlt eine Beschreibung und Erklärung der Bewegung der Wasserteilchen in der Wellengruppe. All dies wird im Folgenden versucht.


Abb. 1: Wellenschleppe einer Ente

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