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Neuer Abschnitt in Beweglichkeit eines Streichholzgraphen bestimmen

Anmerkungen zur Genauigkeit der Eingabegrößen xj-xi: Man muss dafür sorgen, dass Gleichungen wie (xj-xi)=(xj-xk)+(xk-xi) erhalten bleiben, sonst geht die lineare Abhängigkeit verloren. Ich hatte zur Vereinfachung die (xj-xi) auf weniger Stellen gerundet, doch da gilt diese Gleichheit nicht mehr. Deshalb erst die xi, xj, xk runden und dann xj-xi bilden.

Doch auch beim Runden der xi geht in manchen Fällen lineare Abhängigkeit und damit Beweglichkeit verloren. Als Beispiel folgender Graph, in dem die drei oberen Dreiecke beweglich sind, wenn die drei unteren Dreiecke festgehalten werden.

\begin{tikzpicture}[scale=1] \coordinate (P1) at (0,0); \coordinate (P2) at (1,0); \coordinate (P3) at (0.5,-0.8660254037844386); \coordinate (P4) at (1.5,-0.8660254037844386); \coordinate (P5) at (2,0); \coordinate (P6) at (0.5,0.8660254037844386); \coordinate (P7) at (1.5,0.8660254037844386); \coordinate (P8) at (1,1.7320508075688772); \coordinate (P9) at (2,1.7320508075688772); \coordinate (P10) at (2.5,0.8660254037844388); \draw (P2) -- (P1) (P4) -- (P3) (P5) -- (P2) (P7) -- (P6) (P9) -- (P8) (P10) -- (P7); \draw (P3) -- (P1) (P3) -- (P2) (P4) -- (P2) (P5) -- (P4); \draw (P6) -- (P1) (P7) -- (P2) (P5) -- (P10); \draw (P8) -- (P6) (P8) -- (P7) (P9) -- (P7) (P10) -- (P9); \end{tikzpicture}

Die vertikalen y-Koordinaten der Knotenpunkte sind Vielfache der Höhe h im gleichseitigen Dreieck, also irrational. Beim Runden von h, 2h, 3h bleibt das Verhältnis 1:2:3 nicht erhalten, so dass sich in jeder "Etage" unterschiedliche Kantenlängen ergeben, dargestellt durch unterschiedliche Farben

\begin{tikzpicture}[scale=1] \coordinate (P1) at (0,0); \coordinate (P2) at (1,0); \coordinate (P3) at (0.5,-0.8660254037844386); \coordinate (P4) at (1.5,-0.8660254037844386); \coordinate (P5) at (2,0); \coordinate (P6) at (0.5,0.8660254037844386); \coordinate (P7) at (1.5,0.8660254037844386); \coordinate (P8) at (1,1.7320508075688772); \coordinate (P9) at (2,1.7320508075688772); \coordinate (P10) at (2.5,0.8660254037844388); \draw [] (P2) -- (P1) (P4) -- (P3) (P5) -- (P2) (P7) -- (P6) (P9) -- (P8) (P10) -- (P7); \draw [red] (P3) -- (P1) (P3) -- (P2) (P4) -- (P2) (P5) -- (P4); \draw [green!50!black] (P6) -- (P1) (P7) -- (P2) (P5) -- (P10); \draw [blue] (P8) -- (P6) (P8) -- (P7) (P9) -- (P7) (P10) -- (P9); \end{tikzpicture}

Dieser Graph ist noch genauso beweglich. Liegt der Graph anfangs um 60° gedreht vor,

\begin{tikzpicture}[scale=1] \coordinate (P1) at (0,0); \coordinate (P2) at (1,0); \coordinate (P3) at (0.5,0.8660254037844386); \coordinate (P4) at (1.5,0.8660254037844386); \coordinate (P5) at (1,1.7320508075688772); \coordinate (P6) at (-0.5,0.8660254037844386); \coordinate (P7) at (0,1.7320508075688772); \coordinate (P8) at (-1,1.7320508075688772); \coordinate (P9) at (-0.5,2.598076211353316); \coordinate (P10) at (0.5,2.598076211353316); \draw (P2) -- (P1) (P4) -- (P3) (P8) -- (P7) (P10) -- (P9); \draw (P6) -- (P1) (P3) -- (P1) (P3) -- (P2) (P4) -- (P2); \draw (P8) -- (P6) (P7) -- (P6) (P7) -- (P3) (P5) -- (P3) (P5) -- (P4); \draw (P9) -- (P8) (P9) -- (P7) (P9) -- (P7) (P10) -- (P7) (P10) -- (P5); \end{tikzpicture}

dann lautet nach dem Runden der y-Koordinaten

\begin{tikzpicture}[scale=1] \coordinate (P1) at (0,0); \coordinate (P2) at (1,0); \coordinate (P3) at (0.5,0.8660254037844386); \coordinate (P4) at (1.5,0.8660254037844386); \coordinate (P5) at (1,1.7320508075688772); \coordinate (P6) at (-0.5,0.8660254037844386); \coordinate (P7) at (0,1.7320508075688772); \coordinate (P8) at (-1,1.7320508075688772); \coordinate (P9) at (-0.5,2.598076211353316); \coordinate (P10) at (0.5,2.598076211353316); \draw [] (P2) -- (P1) (P4) -- (P3) (P8) -- (P7) (P10) -- (P9); \draw [red] (P6) -- (P1) (P3) -- (P1) (P3) -- (P2) (P4) -- (P2); \draw [green!50!black] (P8) -- (P6) (P7) -- (P6) (P7) -- (P3) (P5) -- (P3) (P5) -- (P4); \draw [blue] (P9) -- (P8) (P9) -- (P7) (P9) -- (P7) (P10) -- (P7) (P10) -- (P5); \end{tikzpicture}

das Ergebnis völlig korrekt "unbeweglich". Da habe ich für die Bestimmung der Beweglichkeit vor dem Runden nur den Hinweis, dass die inverse Matrix sehr große Koeffizienten hat, in der Größenordnung vom Kehrwert der Abweichung, welche durch das Runden der y-Koordinate verursacht wurde.

 
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