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Neuer Abschnitt in Beweglichkeit eines Streichholzgraphen bestimmen

Einige Details zur Ausführung der Berechnung: Wegen der ständig wechselnden aij+1 muss man die Matrix nicht jedes Mal neu invertieren, die Woodbury-Matrix-Identität bietet eine Fülle an Korrekturmöglichkeiten der invertierten Matrix. Auch das Auffinden der benötigten aij+1 muss man nicht dem Zufall überlassen, das kann systematisch während des Gauß-Algorithmus (Version zur Matrixinvertierung) erfolgen. Wenn man auf eine zu invertierende 0 trifft, einfach mit 0+1 weiterrechnen und ein aij+1 merken. Am Schluss dann wieder anhand der drei Voraussetzungen auf die notwendigen aij+1 korrigieren. Es ist auch von Vorteil, die Berechnung ganzzahlig zu halten, siehe hier, dann muss man aber statt der 1 den aktuellen Nenner addieren. Ich bevorzuge den Invertierungsschritt aus (Wikipedia) Pivotverfahren#Eine_direkte_Umsetzung und führe bereits nach jedem solchen Invertierungsschritt die Korrektur der aij+1 aus. Auch die ganzzahlige Rechnung ist gleich mit dabei, ich habe mir daraufhin eine entsprechende Variante für die Woodbury-Matrix-Identität gebastelt,

hat A x = b die Lösung \delta\ x = B b ,
dann hat (A+ST) x = b die Lösung p x = (pB-BSXTB)\/\delta B ,
X,p aus (\delta\.I+TBS)^(-1) = X\/p, I=Einheitsmatrix ,
mit A,B\el\ \IZ^(n\cross\ n); b\el \IZ^n ; \delta,p\el\IZ; S\el\ \IZ^(n\cross\ m) ; T\el\ \IZ^(m\cross\ n) ; I,X\el\ \IZ^(m\cross\ m).

Ich habe keinen Beweis, dass die Division durch \delta wirklich ganzzahlig aufgeht. Doch das ist nicht weiter schlimm, da ich das GAP-Programm verwende, welches automatisch mit rationalen Zahlen weiterrechnen würde, was aber noch nie aufgetreten ist.

 
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