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Neuer Abschnitt in Beweglichkeit eines Streichholzgraphen bestimmen

Es kann passieren, dass nach dem Addieren der 1 die Matrix immer noch nicht invertierbar ist. Das ist ein Zeichen dafür, dass man den Bereich der linear abhängigen Zeilen und Spalten nicht getroffen hat oder dass es noch weitere Basiselemente gibt. Dann muss man an weiteren Matrixpositionen eine 1 addieren, entweder zufällig gewählt oder man weiß aus dem Zusammenhang heraus die richtige Position oder man modifiziert die bekannten Lösungsverfahren. Solange, bis eine invertierbare Matrix herauskommt. Dann aber noch nicht gleich die Lösung ablesen, vorher erst die Voraussetzungen überprüfen.

Die erste Voraussetzung war, dass zu jedem aij+1 das zugehörige bji gleich 1 ist. Wenn nicht, kann man die zugehörige Additionen aij+1 rückgängig machen und die Matrix bleibt trotzdem invertierbar.

Neu ist die zweite Voraussetzung: Zu je zwei zu agh+1 und akl+1 gehörende bhg=1 und blk=1 müssen bhk=0 und blg=0 sein. Bei bhk≠0 können die beiden agh+1 und akl+1 durch ein einziges akh+1 ersetzt werden und bei blg≠0 durch ein einziges agl+1. Wenn beide bhk≠0 und blg≠0, dann können agh+1 und akl+1 ohne Ersatz rückgängig gemacht werden.

Schließlich noch die dritte Voraussetzung: Nach jeder dieser Korrekturen müssen die ersten beiden Voraussetzungen komplett neu für alle aij+1 nachgeprüft werden.

Das sieht alles kompliziert aus, die Prüfung auf gleich oder ungleich Null ist aber schnell erledigt. Am Ende ergeben die verbleibenden bji=1 ein solches Muster

(,\vdots,,\vdots,,\vdots,;\cdots,0,\cdots,0,\cdots,\big\1\normal\ ,\cdots;,\vdots,,\vdots,,\vdots,;\cdots,\big\1\normal\ ,\cdots,0,\cdots,0,\cdots;,\vdots,,\vdots,,\vdots,;\cdots,0,\cdots,\big\1\normal\ ,\cdots,0,\cdots;,\vdots,,\vdots,,\vdots,),

also eine Teilmatrix bestehend aus je einem bji=1 in jeder Zeile und Spalte und sonst nur Nullen. Dann kann wieder wie anfangs die Lösung abgelesen werden. Jede komplette Spalte zu einem bji=1 ist ein Basiselement der Lösungsmenge und die Nichtnullelemente in jeder zu bji=1 gehörenden Zeile/Spalte sind die Faktoren für die entsprechenden linear abhängigen Zeilen/Spalten der Ausgangsmatrix.

 
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