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Neuer Abschnitt in Beweglichkeit eines Streichholzgraphen bestimmen

Gut, das ist erst mal keine große Kunst, vor dem Lösen die Aufgabe ändern. Doch unter bestimmten Voraussetzungen kann man tatsächlich einen Zusammenhang zur Lösung der Ausgangsaufgabe herstellen. Die Voraussetzungen sind wichtig, deshalb beginne ich gleich mit der ersten, die anderen werden noch nicht gebraucht. In der invertierten Matrix, an der transponierten Position der addierten 1, also wo Zeilen- Spaltenindex vertauscht sind, muss die geborgte 1 wieder erscheinen

(.,.,.,.;.,.,a_23+\big\ 1\normal,.;.,.,.,.;.,.,.,.)^(-1) = (.,.,.,.;.,.,.,.;.,\big\ 1\normal,.,.;.,.,.,.)

Das ist das unverwechselbare Zeichen dafür, dass die Ausgangsmatrix wirklich singulär war. Sonst würden die weiteren Überlegungen nicht stimmen. Der Beweis ist nicht schwer, für eine invertierbare Matrix

(a_11 ,a_12 , a_13 ,a_14 ;a_21 ,a_22 , a_23 ,a_24 ;a_31 ,a_32 , a_33 ,a_34 ;a_41 ,a_42 , a_43 ,a_44)^(-1) = (b_11 ,b_12 , b_13 ,b_14 ;b_21 ,b_22 , b_23 ,b_24 ;b_31 ,b_32 , b_33 ,b_34 ;b_41 ,b_42 , b_43 ,b_44)

gibt der Kehrwert von bji an, wie weit aij von dem Zahlenwert entfernt ist, an dem die Matrix A singulär wird. Das ist der bekannten Effekt, dass bei fast singulären Matrizen die Inverse immer so große Koeffizienten hat. Denn

(a_11 ,a_12 , a_13 ,a_14 ;a_21 ,a_22 , a_23-\big\ 1\normal\ /b_32 ,a_24 ;a_31 ,a_32 , a_33 ,a_34 ;a_41 ,a_42 , a_43 ,a_44) (b_11 ,b_12 , b_13 ,b_14 ;b_21 ,b_22 , b_23 ,b_24 ;b_31 ,b_32 , b_33 ,b_34 ;b_41 ,b_42 , b_43 ,b_44) = (1,0,0,0;-b_31/b_32 , 0, b_33/b_32 , b_34/b_32 ; 0,0,1,0;0,0,0,1)

und wegen det(X)det(Y)=det(XY) folgt aus det(Y)≠0 und det(XY)=0 die Behauptung det(X)=0. bji=1 ist nachträglich eine nochmalige Bestätigung, dass die Ausgangsmatrix vor dem Addieren der 1 wirklich singulär war, und es kann weitergehen.

 
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