Rätsel und Spiele: Das Dreieck im Quadrat
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Spiele+Rätsel

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das Dreieck im Quadrat

Gegeben sei das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. Dem Quadrat wird ein gleichseitiges Dreieck BEF so einbeschrieben, daß eine Ecke mit Punkt B zusammenfällt und die beiden anderen Ecken sich auf den Seiten AD und CD befinden.

PIC

Abbildung 1: Skizze zur Aufgabenstellung



In der Ecke A befindet sich der Berüherungskreis k1 mit Radius r. Er tangiert die beiden Quadratseiten AB, AD sowie die Dreickseite BF.
Weiterhin befinde sich in der Ecke D der Berüherungskreis k2 mit dem Radius R. Er berühert die Quadratseiten AD, CD und die Dreieckseite EF.

Berechne die Radien r, R der Berüherungskreise in Abhängigkeit
von a!


eine Aufgabe von Peter G. Nischke, Berlin
gestellt von Ingmar Rubin
[matheraetsel.de]
28. Januar 2003

\(\endgroup\)
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Das Dreieck im Quadrat [von matroid]  
Gegeben sei das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. Dem Quadrat wird ein gleichseitiges Dreieck BEF so einbeschrieben, daß eine Ecke mit Punkt B zusammenfällt und die beiden anderen Ecken sich auf den Seiten AD und CD befinden.
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"Rätsel und Spiele: Das Dreieck im Quadrat" | 10 Comments
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Re: Das Dreieck im Quadrat
von: bubeck am: Do. 30. Januar 2003 06:24:37
\(\begingroup\)Kreis1:
aus Symmetriegründen ist der Winkel ABF= 15°
Zeichne eine Linie von B nach M1 (Mittelpunkt Kreis 1). Winkel ABM1= 7,5° (die Hälfte von 15). In diesem rechtwinkligen Dreieck stellst Du jetzt auf:
tan7,5°= r/(a-r) jetzt noch ein wenig umformen:
r= a/(1/tan7,5°+1)
Kreis2:
AF = a*tan15° Winkel DFE = 45° Linie einzeichnen von F nach M2 (Mittelpunkt Kreis 2). Winkel DFM2 = 22,5° .In diesem Rechtwinkligen Dreieck stellst Du jetzt auf:
tan22,5°=R/(a-R-a*tan15°)
nach umstellen erhälst Du:
R=(a-a*tan15°)/(1/tan22,5°+1)

Take care!\(\endgroup\)
 

Re: Das Dreieck im Quadrat
von: Eckard am: Do. 30. Januar 2003 08:02:23
\(\begingroup\)Warum immer gleich mit der Trigonometrie-Kanone schießen? Das kriegen auch schon Achtklässler mit elementarer Geometrie raus:

Aus Kongruenzsatz SSW folgt, dass das Dreieck BAF kongruent zum Dreieck BCE ist, und daraus, dass DEF gleichschenklig-rechtwinklig ist.

Sei BE=BF=x. Dann ist AF=CE=sqrt(x^2-a^2) und demzufolge DE=DF=a-sqrt(x^2-a^2). Nach Voraussetzung ist dann EF=x=sqrt(2)*DE. Das eingesetzt und aufgelöst, ergibt

x = a sqrt(8-sqrt(48)).

Den Radius eines Inkreises berechnen wir nach
r = A / s, wobei A der Flächeninhalt und s der halbe Umfang des Dreiecks ist, also

r = 2 [BAF] / (AF + a + x) = a*sqrt(8-sqrt(48))/(1+sqrt(8-sqrt(48))+sqrt(7-sqrt(48))

Ebenso erhalten wir R.

Das war nichts weiter als Pythagoras, die Flächeninhaltsformel eines Dreiecks und der Satz über gleich lange Tangentenabschnitte (versteckt in A = r s).

Gruß Eckard\(\endgroup\)
 

Re: Das Dreieck im Quadrat
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 30. Januar 2003 21:51:25
\(\begingroup\)Frage: Sind die Kreise, im Bild, die sogen. Ankreise???

Grüßle\(\endgroup\)
 

Re: Das Dreieck im Quadrat
von: Eckard am: Fr. 31. Januar 2003 07:44:49
\(\begingroup\)Nein, das sind echte Inkreise. Ankreise liegen von "außen" am Dreieck an, d.h. sie berühren die Verlängerungen der Dreieckseiten, so wie im folgenden Bild dargestellt:


\(\endgroup\)
 

Re: Das Dreieck im Quadrat
von: psychiater am: Di. 04. Februar 2003 22:48:11
\(\begingroup\)Ich hatte gedacht, dass sich hier mehr melden, hier mal meine Lösungen:

R=(sqrt(3)-1)(2-sqrt(2))a/2
r=(sqrt(12-sqrt(3))-sqrt(6)+sqrt(2))a/2

der psychiater\(\endgroup\)
 

Re: Das Dreieck im Quadrat
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 18. Februar 2003 09:23:34
\(\begingroup\)Die Radien sind ja nun schon berechnet
aber Frage:
warum verhält sich der Abschnitt CE zu CD so dass
(CD-2*CE)/CE=Wurzel(3) ???
bzw.
(1-2*tan(15°)/tan(15°)=Wurzel(3) ???
Die Spiegelung des Dreiecks um die Senkrechte teilt die Strecke CD in diese Abschnitte.
Kann das leider nicht zeigen.

Schön ist auch dass die Winkel FED=45°,FEB=60°,BEC=75°
sich verhalten wie 3:4:5 Pytagoräisches Tripel


\(\endgroup\)
 

Re: Das Dreieck im Quadrat
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 18. Februar 2003 09:29:25
\(\begingroup\)Übrigens scheint es für ein gleichseitiges Dreieck nur eine Lage zu geben, so dass alle drei Ecken das Quadrat berühren.
Gilt das auch für alle anderen derartigen Schachtelungen, von 4-Eck in 5-Eck, 5-Eck in 6-Eck usw. und warum?
\(\endgroup\)
 

Re: Das Dreieck im Quadrat
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 18. Februar 2003 09:50:20
\(\begingroup\)Für 4-Eck in 5-Eck scheint es keine Lage zu geben, so dass alle 4 Ecken das 5-Eck berühren.

---------------------------------------------------------------------------------

Sollte es schon geben:

- das 5-Eck so drehen, das eine Seite parallel zur Grundlinie ausgerichtet ist
- diese Seite sei begrenzt durch die Punkte A und B
- die Senkrechten in A schneidet das 5-Eck in D, die Senkrechte in B ebenso in C
- für das resultierende Rechteck gilt: Strecke AB < Strecke BC
- eine Parallel zu AB schneidet das 5-Eck in A' und B'
- die Senkrechten durch A' und B' schneiden das 5-Eck in D' und C'
- nun gilt: A'B' > AB und B'C' < BC
- je weiter weg die Parallele zu AB ist um so grösser ist A'B' und um so kleiner B'C'
- und es gibt dann auch eine Abstand, bei dem dann A'B' gleich B'C' ist

(dlchnr)

---------------------------------------------------------------------------------

Jetzt hab ich noch 'nen Link gefunden:
Figuren+im+Fünfeck;
Und wenn ich mir die Zeichnung anschaue - "x?" - wer wohl ganz interessant, mal "x" zu berechnen! \(\endgroup\)
 

Re: Das Dreieck im Quadrat
von: Michelson am: Do. 03. April 2003 19:21:03
\(\begingroup\)Hier noch eine Lösung für R, die aber nicht sehr elegant ist:

Dazu werden Trigonometrie und der Satz des Phytagoras verwendet.

R ist gleich der Diagonalen von dem Quadrat a^2 minus der Diagonalen von dem Quadrat R^2 minus der Höhe des Dreiecks FBE.

Diagonale von a^2 => sqrt(2)*a
Diagonale von R^2 => sqrt(2)*R
x => a/cos(15°)
h(x) => sqrt(3/4)*x

R = sqrt(2)*a - sqrt(2)*R - sqrt(3/4)*a/cos(15°)
auf R aufgelöst:
R = (sqrt(2)*a - sqrt(3/4)*a/cos(15°)) / (sqrt(2) + 1)\(\endgroup\)
 

Re: Das Dreieck im Quadrat
von: andy123 am: Fr. 22. Oktober 2021 18:43:10
\(\begingroup\)Man kann r und R aus einem nichtlinearen GS für AF, EC, DF, DE sowie den Kreisgleichungen (inkl. Tangentengleichungen) für r und R berechnen, wobei a=1 gesetzt wird, da ja r und R proportional a sind. Letztendlich erhält man: r=0.1163*a, R=0.2144*a\(\endgroup\)
 

 
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