Mathematik: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
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Mathematik

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Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"

Anlaß für das Folgende ist der Matheplanet-Artikel [1], in dessen Diskussionsteil die Verwendung des Wortes "infinitesimal" abgelehnt und als unverständlich, ja sogar unhöflich als "quatsch" bezeichnet wird.

Dabei haben "infinitesimal" und damit verwandte Wörter in der Mathematik eine über 250 Jahre lange Tradition. Wenn nicht schon früher, begann sie mit Leonhard Eulers 1748 erschienenen Lehrbuch "Introductio in Analysin Infinitorum", auf deutsch: "Einführung in die Analysis des Unendlichen", wiedergegeben in [2] 1).


"Infinitesimal", für sich betrachtet, bedeutet nur "unendlich"; zu ergänzen ist es durch die Wörter "groß" bzw. "klein". Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was jeweils gemeint ist, werden sie meist weggelassen.

Es gibt also infinitesimal, d. h. unendlich, große Zahlen wie auch unendlich kleine. Infinitesimal große Zahlen übersteigen alle vorstellbaren Grenzen wie etwa bei den natürlichen Zahlen, während infinitesimal kleine Zahlen, selber positiv, sich unbegrenzt der Null annähern. Beispiele sind bei Nullfolgen Glieder mit gegen Unendlich strebendem Index.

Die letzteren, d. h. infinitesimal kleine Zahlen, sind in [1] gemeint. Weitere Möglichkeiten für sie sind: infinitesimal benachbarte Punkte, aus denen man sich den Graphen einer stetigen Funktion zusammengesetzt denken kann; sich voneinander infinitesimal wenig unterscheidende Parameterwerte einer Kurvenschar, deren Einhüllende gesucht wird [3]; virtuelle Verrückungen in der Mechanik.[4]

Und, um bei der Mathematik zu bleiben: infinitesimale Zahlen spielen vor allem in der Differential- und Integralrechnung eine Rolle, die über Generationen zusammenfassend "Infinitesimalrechnung" genannt wurden. (Bei der Differentialrechnung werden infinitesimal kleine Zahlen verwendet, bei der Integralrechnung sowohl infinitesimal kleine wie auch große: Flächen werden in Streifen zerlegt, deren Breite gegen Null und deren Anzahl gegen Unendlich geht.)

Über infinitesimal große Zahlen gibt es nicht viel zu sagen; deshalb betrachte ich im folgenden nur infinitesimal kleine. Sie werden abkürzend auch Infinitesimalzahlen genannt. Oft begegnet man dieser Definition: "Eine Infinitesimalzahl x ist eine positive Zahl, die kleiner ist als jede noch so kleine positive reelle Zahl a.", in Zeichen: 0<x<a, a∈+.

Diese Erklärung klingt einfach, doch führen die oben erwähnten kritischen Anmerkungen im Diskussionsteil von [1] zu der Frage: gibt es überhaupt infinitesimal kleine Zahlen?

Die Antwort lautet: Nein, jedenfalls nicht nach der obigen Definition. Dies zeigt das folgende Beispiel, zu dem es unzählig viele weitere gibt, die zu demselben Ergebnis kommen: Wir betrachten die Zahl x=10-9. Sie ist schon ziemlich klein, doch kann man sie nicht infinitesimal klein nennen, denn die Zahl a=10-10 ist noch kleiner, und mit ihr wird die in der Definition stehende Ungleichung x<a nicht erfüllt. Man müßte also als nächstes x kleiner als zu Anfang wählen, etwa x=10-10, wobei sich mit a=10-11 dieselbe Schwierigkeit ergeben würde, und so weiter ad infinitum. (Einen entsprechenden Gedankengang, bei dem a nicht gleich x/10 sondern gleich x/2 gewählt wird, findet man in [5].)

Bei den Anwendungen in der Physik und Technik sowie im Schulunterricht wird darüber hinweg gesehen, daß es keine wie oben definierten Infinitesimalzahlen gibt. Man denkt statt dessen an Zahlen, die betragsmäßig der Null sehr nahe kommen. (Manche sagen hierbei "unendlich nahe" oder "beliebig nahe"; besonders letzteres kann als problematisch angesehen werden.) Oft wird in diesem Zusammenhang auch nicht von "infinitesimal" kleinen, sondern "verschwindend" kleinen Zahlen gesprochen.[6]

In der Mathematik werden solche Zahlen bzw. Größen ebenfalls viel verwendet. Dort werden sie häufig mit dx, dy, dt u. ä. bezeichnet, mit denen multipliziert und dividiert sowie gekürzt und erweitert wird wie bei Brüchen. Dies geschieht unter anderem bei der Kettenregel der Differentialrechnung, bei der Einführung neuer Variabler in der Integralrechnung (Substitutionsmethode) und beim Lösen von Differentialgleichungen.2) Die hierbei angewendeten einfachen und nützlichen "Formeln" werden mit Hilfe von Sätzen über Grenzwerte bewiesen.

Hans-Jürgen

-------------------
1) Zwei Anmerkungen: a) dem Kenner und Liebhaber des Lateinischen fällt auf, daß "infinitorum" ein Genitiv Plural ist, so daß korrekt zu übersetzen wäre "der unendlichen" (klein geschrieben, zu ergänzen vielleicht "Zahlen" oder "Größen"). b) Von Eulers Originaltitel ist heutzutage (und schon etwas länger) nur noch "Analysis" übrig geblieben, was einfach Analyse, Untersuchung heißt.
2) Dies sieht man z. B. in dem zu Recht am Anfang des Diskussionsteils von [1] gelobten Artikel über den Schuß ins Weltall; dort wird mit "dt" multipliziert.

[1] Raum und Zeit in der speziellen Relativitätstheorie
[2] http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E101front.pdf
[3] Über Hüllkurven
[4] http://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Arbeit
[5] http://de.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalzahl, zu Anfang bei bei "Eigenschaften"
[6] http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung, 2. Absatz, 2. Zeile


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"Mathematik: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"" | 16 Comments
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Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: Curufin am: So. 07. Oktober 2012 13:11:06
\(\begingroup\)
Hallo,

der Artikel ist mir doch ziemlich ungenau.
Es gibt keine infinitesimalen Zahlen ist als Aussage nicht zu halten. Es muss heißen, dass es in den reellen Zahlen keine infinitesimalen Zahlen gibt.
Das an einem Beispiel zu belegen ist ebenfalls problematisch. Was im Wesentlichen dahinter steckt, ist, dass die reellen Zahlen ein archimedisch angeordneter Körper sind.
Aus der Eigenschaft folgt insbesondere, dass es zu jeder rellen Zahl <math>r</math> eine natürliche Zahl <math>n</math> gibt, so dass <math>r<n</math> gilt. Und völlig analog kann man jede positive reelle Zahl mit einem Bruch <math>1/n, n\in\mathbb{N}</math> "unterbieten".
Innerhalb der reellen Zahlen von infinitesimalen Größen zu sprechen ist formal falsch und ist deshalb abzulehnen, auch wenn dieser "Pseudoformalismus" oft angenehm erscheint. Dies haben Mathematiker schon Ende des 19. Jahrhunderts erkannt.

Das ist aber nur ein Teil der Wahrheit. Man kann nämlich durchaus infinitesimale Größen definieren. Hierfür erweitert man den Körper der reellen Zahlen um eine Größe <math>\omega</math>, welche die Eigenschaft besitzt, größer zu sein als jede reelle Zahl.
Siehe: en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number

Betreibt man Analysis über diesem Körper, so erhält man die sogenannte  
 Non-standard Analysis.
Dabei tun sich zwei Probleme auf. Zwar haben wir in diesem Körper unsere Vorstellung von "unendlich klein" bzw. "unendlich groß" formalisiert. Doch zu welchem Preis haben wir das erreicht? Dieser Körper ist immer noch angeordnet, er enthält in gewohnter Weise die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen. Er ist jedoch nicht mehr vollständig, in dem Sinne, dass jede beschränkte Teilmenge ein Supremum bzw. Infimum besitzt.
Der zweite große Kritikpunkt ist der folgende: Selbst wenn man die Einschränkung mit der Vollständigkeit hinnimmt, so gibt es meines Wissens nach keine wirklichen Vorteile, diesen Körper zu verwenden. Man erhält, so weit ich weiß, keine besseren Resultate als in der klassischen Analysis.
Siehe für eine ausführliche Kritik auch den Artikel auf der Wikipedia:
en.wikipedia.org/wiki/Criticism_of_non-standard_analysis


Was ist also der Ausweg?
Der Ausweg ist der schon oben erwähnte Weg der Mathematiker aus dem 19 Jahrhundert. Diese haben "infinitesimal" aus ihrem Wortschatz entfernt. Stattdessen wurde "unendlich nah" durch die bekannten <math>\epsilon\text{-}</math> bzw. <math>\epsilon\text{-}\delta</math>-Kriterien ersetzt.\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: Kofi am: So. 07. Oktober 2012 13:45:40
\(\begingroup\)
1.) Ich finde es merkwürdig, die Verwendung des Wortes infinitesimal damit zu rechtfertigen, dass Mathematiker/Physiker früherer Jahrhunderte es verwendet haben. In Wirklichkeit war das eben immer ein Problem, das im 19. Jahrhundert gelöst wurde: Wir ersetzen das fiktive Wort "infinitesimal" durch eine Variable, die wir uns als klein vorstellen und führen einen Grenzprozess durch. Es gibt keinen Grund, vor diese Erkenntnisse zurückzuschreiten.

2.) Du behauptest, du würdest etwas sehr intuitives beschreiben, wenn du das Wort infinitesimal benutzt. Intuitiv gibt es für mich aber keine positive Zahl, die kleiner als der Kehrwert jeder natürlichen Zahl ist. Wie soll ich mir das denn vorstellen? Was ich mir aber sehr gut vorstellen kann, ist ein Grenzprozess. In Wirklichkeit verhinderst du also die Vorstellbarkeit des ganzen.

3.) Das, was du in deinem Artikel über die Relativitätstheorie mit "infinitesimal" meinst, wird in der Mathematik durch den Tangentialraum formalisiert. Dieser ist wiederum ein sehr intuitives Konzept, was zwar der rigurosen Definition bedarf (die dann - zumindest bei allgemeinen Mannigfaltigkeiten - recht technisch und kompliziert ist), aber im Gegensatz zum Wort "infinitesimal" auch intuitiven Definitionen zugänglich ist.

Insgesamt ist das genau das Problem, das ich mit der Vermittlung der Physik habe: Studenten werden im dunkeln gelassen. Letztlich werden ihnen Märchen über nicht riguros definierte Dinge erzählt. Das Problem an der ganzen Sache ist, dass Studenten dadurch nicht in die Lage versetzt werden, Techniken selber anzuwenden. Dies ist dann nur möglich durch intensives Studium der mathematischen Hintergründe.

Die meisten promovierten in der theoretischen Physik haben ein großes mathematisches Hintergrundwissen, weil sie das brauchen, um in der Forschung etwas zu leisten. Aber sie geben das nicht an die Studenten weiter. Das ist meines Erachtens sehr problematisch.\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes
von: Martin_Infinite am: So. 07. Oktober 2012 15:33:02
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Ich kann mich Curufin und Kofi nur anschließen. Dieser Artikel wirkt so, als ob er vor 200 Jahren geschrieben worden wäre. Mal abgesehen von dem grundsätzlichen Fehler, den Curufin beschrieben hat, gibt es noch weitere:

"Beispiele [für infinitesimal kleine Zahlen] sind bei Nullfolgen Glieder mit gegen Unendlich strebendem Index."
 
Das ist nicht richtig. Zumal du ja später selbst andeutest, dass es keine infinitesimalen reellen Zahlen gibt. Es ist aber tatsächlich so, dass die gesamte Folge (1/1,1/2,1/3,...) eine hyperreelle Zahl repräsentiert, die ein infinitesimal kleines Element ist. Einzelne Folgenglieder können das hier nicht leisten.

"Dort werden sie [Infinitesimalzahlen] häufig mit dx, dy, dt u. ä. bezeichnet"
 
Hier werden Infinitesimalzahlen mit Differentialen verwechselt. Und letztere sind natürlich auch schon längst formalisiert worden (Schnitte des Kotangentialbündels oder äußeren Potenzen davon).\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes
von: Max_Cohen am: Mo. 08. Oktober 2012 10:41:32
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Wenn etwas (bekanntermaßen) mathematisches Gestammel ist, ist es keineswegs unhöflich, dies als "Quatsch" zu bezeichnen. Vielleicht hast du in diesem Punkt falsche Umgangsformen kennengelernt bzw. dir solche angeeignet.

Paradebeispiel ist doch gerade der von dir zitierte Artikel zur Virtuellen Arbeit: niemand kann verstehen, was dort vor sich geht.\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes
von: Hans-Juergen am: Mo. 08. Oktober 2012 12:33:00
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Kofi schreibt: "Du behauptest, du würdest etwas sehr intuitives beschreiben, wenn du das Wort infinitesimal benutzt." Das habe ich nicht. Im übrigen mißfällt mir vieles in den vorstehenden Kommentaren, was mir unterstellt wird.

Das, was an Alternativen angeboten wird, insbesondere die Existenz der Non-Standard-Analysis, ist mir zum großen Teil bekannt, ohne daß ich einen Anlaß dafür sah, es in meinem Artikel zu erwähnen. Es ist gedanklich nicht einfacher, sondern komplizierter und dadurch unhandlicher, unbefriedigender als das, was Physiker und Techniker bis heute in ihren praktischen Anwendungen benutzen: eben die aus Differential- und Integralrechnung bestehende, klassische Infinitesimalrechnung, die auch weiter in der Schule gelehrt wird.

Sätze wie "niemand kann verstehen, was dort vor sich geht" deuten für mich darauf hin, daß derjenige, der so schreibt, nicht verstehen will. Und die Bemerkung über meine Umgangsformen ist unsinnig. Ich halte daran fest, daß "Quatsch" in Bezug auf einen ernst zu nehmenden, gut geschriebenen Artikel (gemeint ist der ursprüngliche von Site) unhöflich ist.

Und noch etwas: "hyperreelle Zahl" für eine Zahlenfolge und "Schnitte des Kotangentialbündels oder äußeren Potenzen davon" erscheinen mir reichlich abgehoben. Derartiges mag promovierten theoretischen Physikern mit großem mathematischem Hintergrundwissen gefallen und ihnen nützlich sein, um "etwas zu leisten"; den Praktiker läßt es kalt. Er versteht auch das oft verwendete Prinzip der Virtuellen Arbeit. :-)

Rigoros hin und her: offenbar liegen Welten zwischen einigen von Euch und mir, doch was soll's. 😄 :-)

Hans-Jürgen
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Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: Max_Cohen am: Mo. 08. Oktober 2012 15:03:45
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Es ist meines Wissens eine irrige Annahme, dass in der Schule das Rechnen mit nicht definierten Objekten gelehrt wird. Es wird (schändlicherweise) auf eine Formalisierung des Grenzwertbegriffs verzichtet und anschließend doch die Ableitung definiert, aber niemals wird dabei durch etwas "Infinitesimales" geteilt.
Einfache Begriffe der Analysis auf Mannigfaltigkeiten (wie z.B. Differentialformen) gehören zur Grundlagenausbildung eines jeden Physikers, nicht nur, weil man in der modernen theoretischen Physik nicht darauf verzichten kann, sondern weil einserseits das Rechnen einfacher und übersichtlicher wird und andererseits auch in "alten" Theorien wie z.B. in der klassischen Mechanik und Elektrodynamik Zusammenhänge klar hervortreten, die sonst schleierhaft bleiben.

Und nein, man kann den Artikel über die virtuelle Arbeit nicht verstehen, da dort ständig mit undefinierten Objekten gerechnet wird, von denen man höchstens eine vage Vorstellung hat.
Dieselbe Gefahr geht von dem Abschnitt in Sites Artikel aus, der die ansonsten erfreuliche Klarheit der Darstellung unterminiert. Die Tatsachenfeststellung, dass dies "Quatsch" sei, kann man nicht als unhöflich bewerten. Deine Kritik an dieser Feststellung klingt in meinen Ohren eher wie ein reaktionäres "so etwas sagt man aber nicht", ähnlich wie man Kindern häufig eine angemessene Ausdrucksweise zu verbieten versucht.\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: wessi90 am: Mo. 08. Oktober 2012 15:41:44
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Ich muss dazu sagen, dass ich den Artikel von Site nicht gelesen habe, sondern nur diesen hier. Mir fehlt hier eine richtige Aussage. Zunächst werden Möglichkeiten für infinitesimale Zahlen aufgeschrieben, später dann gesagt, es gäbe gar keine.
Dass Naturwisschenschaftler und Physiker erfolgreich damit rechnen ist aber denke ich auch unstrittig. Dass sie dabei keine streng mathematische Methode benutzen aber wohl auch. Da Freunde von mir Elektrotechnik studieren und die "virtuelle Arbeit" benutzen, habe ich mir das mal angesehen und verstanden, wenngleich es natürlich für einen Mathematiker scheußlich sein muss, weil das meiste nicht vernünftig definiert wird.
Das ist aber genauso wie beim D'Alembert Prinzip, mit dem in der theoretischen Physik meist die Lagrange-Mechanik eingeführt wird. Was diese virtuellen Verrückungen "wirklich" sind, sagt einem da kaum jemand (Tangentialvektoren) einfach deshalb, weil Mannigfaltigkeiten noch nicht eingeführt wurden und der Tangentialraum nicht bekannt ist. Die Ergebnisse sind aber trotzdem am Ende korrekt.
Was ich sagen will: Nur weil etwas vage definiert ist oder streng mathematisch gar nicht existiert, kann es trotzdem in anderen Disziplinen nützliche Ergebnisse hervorbringen und der Erfolg gibt Recht.
Also bleiben wir doch dabei, dass es keine reellen infinitesimalen Zahlen gibt, sie aber trotzdem Erfolgreich benutzt werden. Guckt man nur mal z.B. in den Demtröder findet man dauernd infinitesimale Wege, Druckunterschiede,... Also ich kann dir Aufregung nicht ganz nachvollziehen.\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: Rebecca am: Mo. 08. Oktober 2012 15:51:55
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Anstatt die Praxis der Nebenfachmathematiker arrogant als Quatsch abzutun, sollten die mathematischen Formalisten lieber erklären, wo und warum - trotz fehlender mathematischer Strenge - diese Praxis funktioniert.

Gruß
Rebecca
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Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: Martin_Infinite am: Mo. 08. Oktober 2012 16:01:02
\(\begingroup\)
@Rebecca: Genau das hat Curufin bereits getan.\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: Kofi am: Di. 09. Oktober 2012 21:11:33
\(\begingroup\)
Trotzdem sage ich es noch einmal: Es ist eine irrige Annahme, dass die Praxis "funktioniert" . Sondern sie funktioniert in den Fällen, in denen man WEISS, dass sie funktioniert, weil irgendjemand das mal mathematisch rigoros aufgeschrieben hat. In vielen anderen Fällen aber funktioniert sie eben nicht!

Als zweites noch: Wenn du nicht behauptest, dass man den Begriff irgendwie INTUITIV verstehen soll, wie soll man ihn denn sonst verstehen?

Im übrigen fand ich deinen Relativitätstheorie-artikel gut, und ich wundere mich jetzt ein wenig, warum du dir soviel Mühe machst, gerade diesen einen Satz zu verteidigen!\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: trunx am: Di. 09. Oktober 2012 22:20:32
\(\begingroup\)
ich werfe mal das Haeckelsche Grundgesetz in die Runde - mitunter sind die alten Begriffe aus didaktischen Gründen nicht verkehrt, dazu zähle ich persönlich unter anderem den Begriff "infinitesimal"...

bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: Martin_Infinite am: Mi. 10. Oktober 2012 09:40:58
\(\begingroup\)
Einige werfen hier etwas durcheinander. Es spricht nichts dagegen, den Begriff "infinitesimal" zu verwenden. Doch dann bitte konsequent in ein und derselben Bedeutung. Und wenn es geht (die Mathematik befindet sich im 21. Jahrhundert) auch mit einer präzisen Definition (wovon es einige gibt), auch wenn das natürlich für die meisten Praktiker irrelevant ist. Weder das eine noch das andere ist in diesem Artikel geschehen. Siehe dazu auch die ersten Kommentare oben von Curufin und mir. Die Aussagen von Hans-Jürgen widersprechen sich einfach. Aber seine Reaktion lässt ja tief blicken.\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: Curufin am: Mi. 10. Oktober 2012 18:34:42
\(\begingroup\)
Mal etwas anderes. Ich finde es sehr interessant, dass Terrence Tao offenbar ein Befürworter der Non-standard Analysis ist.

Ich habe folgenden lesenswerten Blogeintrag von ihm gefunden.
terrytao.wordpress.com/2012/04/02/a-cheap-version-of-nonstandard-analysis/\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes
von: Hans-Juergen am: Di. 30. Oktober 2012 19:34:28
\(\begingroup\)
Wenn anscheinend zum eigentlichen Thema keiner mehr antworten möchte, von mir zum Abschluß noch dies:

Ich dachte einmal
beim Differential
an eine verschwindende1Zahl,
bekam eins aufs Dach
von Leuten vom Fach,
doch was sie mir schrieben, war schwach.

1"verschwindend" im Sinne von immer kleiner werdend, als unaufhörlicher, gedanklicher Vorgang/Prozeß. Kommt in der Mathematik öfter vor. Beispiel: regelmäßiges n-Eck, dessen Seitenlängen für n→∞ immer mehr abnehmen, so daß sich das Vieleck unbegrenzt dem Kreis annähert.  \(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: hari01071983 am: Mo. 20. April 2020 23:08:31
\(\begingroup\)
Vielleicht liegt das Problem schon viel tiefer begraben. Kann es nicht einfach sein dass die Wörter "infinitesimal" als auch "unendlich" eigentlich nicht in die Sprache der Mathematik passen. Eigentlich sind diese Wörter absolut sinnlos, weil man damit nichts wirklich exakt beschreiben kann. Leider sind diese Begriffe teilweise schon so sehr in unserem Sprachgebrauch verankert dass sich diese fast gar niemand mehr hinterfragen traut.
 
Curufin hat den Nagel auf den Kopf getroffen: .. "infinitesimal" aus dem Wortschatz entfernen. "unendlich nah" durch die bekannten <math>\epsilon\text{-}</math> bzw. <math>\epsilon\text{-}\delta</math>-Kriterien ersetzen.\(\endgroup\)
 

Re: Über den Gebrauch des Wortes "infinitesimal"
von: Hans-Juergen am: Di. 21. April 2020 22:32:48
\(\begingroup\)
Hallo hari,

so ganz ausgestorben ist die "Infinitesimalrechnung" doch nicht, vgl. hier.

Gruß
Hans-Jürgen

\(\endgroup\)
 

 
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