Stern Physik: Lineare Algebra, Bra-Ket-Notation und die Quantenmechanik
Released by matroid on So. 26. Juni 2011 19:38:40 [Statistics]
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Physik

\(\begingroup\) Angestift durch viele Fragen hier im Forum, private Diskussionen mit anderen Mitgliedern und meiner eigenen Erfahrung mit Vorlesungen, möchte ich hier kurz auf den Bra-Ket-Formalismus im Endlichdimensionalen eingehen. Die unendlichdimensionale Variante, die in Vorlesungen und der einführenden Literatur als gewissermaßen trivial dargestellt wird, erfordert zur korrekten Behandlung (siehe z.B. [ST1],[ST2]) jedoch ein ganzes Arsenal funktionalanalytischer Kenntnisse, auf die wir hier nicht zurückgreifen wollen und auf die der durchschnittliche Physikstudent schlichtweg nicht zurückgreifen kann. Vielmehr muss er sich darauf verlassen, dass grundlegende Ergebnisse der linearen Algebra sich sinngemäß übertragen. Wir versuchen daher, diese Resultate in der der Quantenmechanik eigenen Notation zu wiederholen und ihre Bedeutung für diese Disziplin einzuordnen. Dieser Artikel richtet sich vornehmlich an Studenten, die gerade die Vorlesung Quantenmechanik besuchen und an solche, die ihr Wissen nachträglich sortieren wollen. Wir erinnern daher an die gebräuchlichen Postulate der Quantenmechanik [CT]: \ \frameon 1. Zu einem festen Zeitpunkt t_0 ist der Zustand eines physikalischen Systems durch einen normierten Vektor ket(\Psi(t_0)) aus einem Hilbertraum \calH eindeutig bestimmt. 2. Zu jeder Messgröße gehört ein selbstadjungierter Operator auf \calH. 3. Die einzigen Messwerte einer Messgröße sind durch das Spektrum des zugehörigen selbstadjungierten Operators bestimmt. 4. Führt man eine Messung der Messgröße A an einem System im Zustand ket(\Psi) durch, so ist die Wahrscheinlichkeit P(\l_i), den Wert \l_i\in spec(A) zu messen, gegeben durch P(\l_i)=sum( abs(braket(v_ij,\Psi))^2,j=1,g_i). Dabei ist g_i die Dimension und menge(ket(v_ij)) eine Orthonormalbasis des Eigenraums zum Eigenwert \l_i. 5. Wenn eine Messung der Größe A an einem System im Zustand ket(\Psi) den Wert \l_i geliefert hat, befindet sich das System unmittelbar nach der Messung im Zustand (P_i ket(\Psi))/sqrt(bra(\Psi) P_i ket(\Psi)), wobei P_i die orthogonale Projektion auf den Eigenraum von A zum Eigenwert \l_i bezeichnet. 6. Die Zeitentwicklung eines physikalischen Systems wird durch den Hamiltonoperator H bestimmt gemäß i\hbar d/dt ket(\Psi) = H ket(\Psi). \frameoff Für die Beweise der in diesem Artikel zitierten Ergebnisse der linearen Algebra verweisen wir auf [SW].

Was sind Bras und Kets?

\ Quantenmechanik findet bekanntlich auf komplexen Hilberträumen statt, daher wollen wir diesen Begriff zunächst wiederholen: \frameon Definition: Ein Hilbertraum \calH ist ein vollständiger Vektorraum mit einem Skalarprodukt braket(-,-). \frameoff Dabei bedeutet vollständig, dass jede Cauchy-Folge bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Metrik d(v,w):=sqrt(braket(v-w,v-w)) konvergiert. Da wir uns in diesem Artikel im Endlichdimensionalen bewegen wollen, ist unser Hilbertraum im Wesentlichen durch den \IC^n mit Standard-Skalarprodukt gegeben. Dabei wollen wir uns an die Konvention halten, dass braket(-,-) in der zweiten Komponente linear und der ersten antilinear ist, d.h. komplexe Zahlen können aus der ersten Komponente nur mit einem Querstrich herausgezogen werden; im Gegensatz zum reellen Fall spricht man hier von einer Sesqui- statt einer Bilinearform. Wir können bereits an dieser Stelle erklären, was Kets sind: \frameon Notation: Statt v\in \calH schreiben wir ket(v)\in\calH. \frameoff Es handelt sich ganz einfach um eine zunächst eigenartig anmutende Schreibweise für Elemente unseres Hilbertraums. Der Ursprung der Notation ergibt sich aus folgender Beobachtung: das Skalarprodukt braket(-,-) ist per Definition eine nicht-ausgeartete Sesquilinearform auf \calH\times\calH. Man kann es daher dazu verwenden, um aus einem Vektor v\in\calH einen \(eindeutig durch v festgelegten) Dualvektor zu erzeugen: v\in\calH \mapsto braket(v,-)\in\calH^\*. Mit anderen Worten induziert braket(-,-) also einen kanonischen Isomorphismus von \calH und \calH^\*, den wir mit c_\calH: \calH ->\calH^\*; v\mapsto braket(v,-) bezeichnen wollen. Damit können wir das Skalarprodukts braket(v,w) zweier Vektoren auch als c_\calH (v)(w) auffassen, d.h. v wird zunächst in die zugehörigen Linearform c_\calH (v) = braket(v,-) umgewandelt, die anschließend auf w angewandt wird. Dies gipfelt in der \frameon Notation: Statt c_\calH (v)=braket(v,-)\in\calH^\* schreiben wir bra(v). \frameoff Den Wechsel von \calH nach \calH^\* mittels c_\calH bezeichnet man oft als Bra\-Ket\-Korrespondenz. Zum Ende dieses einführenden Abschnitts wollen wir noch erwähnen, dass die quantenmechanischen Zustände eigentlich keine normierten Vektoren aus \calH sind; da physikalisch durch eine einzelne Messung nicht zwischen ket(v) und exp(i\phi) ket(v) für \phi\in\IR unterschieden werden kann, muss man zu Äquivalenzklassen [v] übergehen. Dabei gilt dann konsequenterweise ket(v)~ket(w) genau dann, wenn ket(v)=exp(i\phi) ket(w) ist.

Matrixdarstellungen linearer Abbildungen

\ Messgrößen werden durch Operatoren auf \calH dargestellt. Wir wiederholen daher als Vorbereitung, wie sich Matrixdarstellungen linearer Abbildungen im Bra-Ket-Formalismus darstellen. Im Folgenden sei menge(ket(i)) eine Orthonormalbasis von \calH, d.h. braket(i,j)=\delta_ij. Dabei ist zu beachten, dass die Bras menge(bra(j)) auf diese Weise gerade die duale Basis zu menge(ket(i)) bilden. Gemäß der Definition einer Basis lässt sich jeder Vektor ket(v) eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen, d.h. es gibt komplexe Zahlen v_i, sodass ket(v)=sum(v_i ket(i),i). Andererseits gilt aber auch braket(j,v)=sum(v_i braket(j,i),i)=v_j. Die so gefundene Darstellung ket(v)=sum(braket(i,v) ket(i),i) führt damit zur leicht zu memorierenden Identität \I1 = sum(ket(i) bra(i),i). Diese wird in der Literatur häufig "vollständige Eins" oder "Auflösung der Eins" genannt. Hier zeigt sich die Stärke der Notation: es ist unmittelbar klar, dass es sich hierbei um einen Operator handelt. Das Bra empfängt ein Ket von rechts um daraus eine Zahl zu machen, die mit dem links stehenden Ket multipliziert wird. Das Entwickeln eines Vektors ket(v) nach der Basis erfolgt dann durch "Einfügen einer Eins": ket(v)=\I1 ket(v)=sum(ket(i) braket(i,v),i). Insbesondere ist der Operator ket(i) bra(i) eine Orthogonalprojektion auf den eindimensionalen Unterraum, der durch den i. Basisvektor aufgespannt wird. Betrachten wir nun einen linearen Operator A\in End(\calH) und wählen wieder obige Orthonormalbasis für \calH. Dann gilt A ket(v) = \I1 A \I1 ket(v) = sum(ket(i) bra(i) A ket(j) braket(j,v),(i,j)). Die Zahlen bra(i) A ket(j) sind gerade die Matrixelemente der darstellenden Matrix von A bzgl. der gewählte Basis und sum(bra(i) A ket(j) braket(j,v),j) entspricht exakt der Multiplikation der darstellenden Matrix mit dem Spaltenvektor, der v bzgl. der Basis menge(ket(i)) darstellt.

Selbstadjungierte Operatoren

\ Obwohl wir bislang einen komplexen Hilbertraum betrachtet haben, sind die in Experimenten gemessenen Größen stets reell. Um dieser Tatsache gerecht zu werden, müssen Messgrößen in der Quantenmechanik durch selbstadjungierte Operatoren modelliert werden, da für diese der alles erschlagende Spektralsatz gilt. Wir wollen zur Vorbereitung einige Begriffe wiederholen: \frameon Definition: Sei A:\calH->\calH ein linearer Operator. Der transponierte Operator A^t :\calH^\*->\calH^\* wird definiert durch (A^t f)(v)=f(A(v)) \(f\in\calH^\*, v\in\calH ). Bezeichnet man den durch das Skalarprodukt induzierten kanonischen Isomorphismus von \calH und \calH^\* wieder mit c_\calH, so ist der zu A adjungierte Operator A^\dagger: \calH->\calH definiert durch A^\dagger = c_\calH^(-1) \circ A^t \circ c_\calH. \frameoff Diese Definition können wir durch folgendes Diagramm veranschaulichen: define(labelXA, \calH) define(labelAO, \calH) define(labelYB, \calH^\*) define(labelBO, \calH^\*) define(pd,A) define(pd2,A^t) define(fast,c_\calH^(-1)) define(fAast,c_\calH) \geo konst(dx,0.4) konst(dy,0.2) makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) x(-0.4,2.1) y(-0.4,1.7) ebene(350,160) noaxis() nolabel() punktform(.) node(0.0,1.5,XA) node(1.5,1.5,AO) node(0.0,0.0,YB) node(1.5,0.0,BO) print(\labelXA,-0.35,1.6) print(\labelAO, 1.2,1.6) print(\labelYB,-0.35,0.1) print(\labelBO, 1.2,0.1) print(\pd, 0.7, 1.75) print(\fast,-0.3, 0.9) print(\fAast,1.6, 0.9) print(\pd2, 0.7,-0.1) punktform(of) pfeil(XA.E,AO.W) pfeil(YB.N,XA.S) pfeil(AO.S,BO.N) pfeil(BO.W,YB.E) \geooff geoprint() Insbesondere erfüllt der adjungierte Operator also für alle v,w die Gleichung braket(v,Aw)=braket(A^\dagger v,w). Hier zeigt sich schon die erste unvermeidliche Schwäche der Bra-Ket-Notation: in der Literatur, etwa bei [SA], liest man schwer verständliche Dinge wie A ket(v) <-> bra(v) A^\dagger. Man weiß bei den meisten Autoren daher nie so genau, auf was der Operator nun wann wirken soll und ob er dies "von links oder rechts" zu tun hat. Wir vereinbaren daher einerseits, dass wir unter bra(v) A ket(w) stets braket(v,Aw) verstehen wollen, und andererseits bra(Av) = c_\calH (Av). Damit haben wir nun alle möglichen Schwierigkeiten umschifft und kommen zur grundlegenden \frameon Definition: Gilt A=A^\dagger für einen Operator A:\calH->\calH, so nennt man A selbstadjungiert. \frameoff Für das Rechnen in einer Basis ist folgende Eigenschaft sehr nützlich: ist menge(ket(i)) eine Orthonormalbasis von \calH, so wird A durch eine hermitesche Matrix dargestellt, d.h. es gilt braket(i,Aj)=braket(Aj,i)^-=braket(j,A^\dagger i)^-=braket(j,Ai)^-; die Matrix ist also invariant unter gleichzeitigem Transponieren und komplexem Konjugieren; diese Eigenschaft nennt man häufig hermitesch. Wir weisen allerdings darauf hin, dass die Definition von Selbstadjungiertheit im unendlichdimensionalen Fall komplizierter ist. Insbesondere gibt es dort einen scharfen Unterschied zwischen hermiteschen und selbstadjungierten Operatoren, auf den wir im Anhang kurz eingehen. Wir kommen nun zu zwei zentralen Aussagen. \frameon Satz (Spektralsatz für endlichdimensionale selbstadjungierte Operatoren): Sei A:\calH->\calH selbstadjungiert. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von \calH, bzgl. der A diagonal ist, d.h. man kann eine direkte orthogonale Zerlegung \calH = V_1 \oplus ... \oplus V_k angeben, sodass A\|_(V_i) ket(v) = \lambda_i ket(v) für alle v\in V_i gilt. Überdies sind alle Eigenwerte \lambda_i reell. \frameoff Nach unseren Überlegungen im Abschnitt über lineare Abbildungen kann man also insbesondere eine vollständige Eins mit Hilfe der im Spektralsatz erwähnten Orthonormalbasis angeben. Ist menge(ket(v_ij)) nun eine Orthonormalbasis von V_i, so ist P_i = sum(ket(v_ij) bra(v_ij),j=1,g_i) der im 5. Postulat erwähnte orthogonale Projektor auf den Eigenraum V_i mit g_i=dim(V_i). Der Operator hat mit dieser Notation die besonders einfache Form \(Spektraldarstellung) A=sum(\l_i P_i,i). Ebenfalls enorm wichtig für die Quantenmechanik ist der \frameon Satz (Simultane Diagonalisierbarkeit): Sind A_1,...,A_r selbstadjungierte Operatoren auf \calH, so sind folgende Aussagen äquivalent: (1) Es gibt eine Orthonormalbasis von \calH aus gemeinsamen Eigenvektoren von A_1,...,A_r (2) Die A_i kommutieren paarweise, d.h. A_i A_j = A_j A_i für alle i,j. \frameoff Der Wert der simultanen Diagonalisierbarkeit liegt darin, dass man mit einem selbstadjungierten Operator A_1 starten und den Hilbertraum in die direkte orthogonale Summe \calH=V_1 \oplus ... \oplus V_k zerlegen kann. Kommutiert nun ein weiterer selbstadjungierter Operator A_2 mit A_1, so lassen sich die V_i nun jeweils weiter zerlegen in Eigenräume von A_2. Spielt man dieses Spiel mit weiteren selbstadjungierten Operators A_3,...,A_r bis zum Ende, so gelangt man schließlich zu einer direkten orthogonalen Zerlegung \calH=V'_1 \oplus ... \oplus V'_(dim(\calH)) in eindimensionale Eigenräume, auf denen alle Operatoren jeweils als Vielfache der Identität wirken. Man kann also einen normierten Vektor ket(v_1) in V'_1 nehmen \(dieser definiert einen Zustand) und ihn eindeutig durch die r Eigenwerte (\l_11,...,\l_1r) der Operatoren kennzeichen, d.h. man definiert ket(\l_11;...;\l_1r):=ket(v_1). Da die Eigenwerte für zwei unterschiedliche Vektorräume in dieser Zerlegung verschieden sind, ist diese Kennzeichnung eindeutig. Die Eigenwerte von (im obigen Sinne) genug simultan diagonalisierbaren Operatoren bezeichnet man als gute Quantenzahlen.

Unitäre Operatoren und die Zeitentwicklung

\ Zu jedem physikalischen System mit Hilbertraum \calH gibt es einen selbstadjungierten Hamiltonoperator H, dessen Eigenwerte die möglichen Energieeigenwerte des Systems darstellen. Nach dem 6. Postulat ist H der Generator der Zeitentwicklung. Ist H zeitunabhängig, so vereinfacht sich diese Gleichung zu \ii\hbar d/dt ket(\Psi(t)) = H ket(\Psi(t)). Unter t\mapsto ket(\Psi(t)) sollte man hier eine nach der Zeit parametrisierte Kurve auf der Einheitssphäre in \calH verstehen. Die Theorie der linearen Differentialgleichungen zeigt, dass eine Lösungskurve gegeben ist durch ket(\Psi(t))=exp(-\ii/\hbar H (t-t_0)) ket(\Psi(t_0)), wobei Operatorfunktionen durch Einsetzen in die entsprechende Potenzreihe definiert sind. Der Operator exp(-\ii/\hbar H (t-t_0)) ist für jedes t unitär, was aufgrund der Wahrscheinlichkeitsinterpretation aus Postulat 3 auch zu erwarten war: damit dieses Postulat unter Zeitentwicklung nicht zusammenbricht, muss die Normierung erhalten bleiben; die Wahrscheinlichkeit, irgendein Messergebnis zu erhalten, muss 1 betragen. Die unitäre Gruppe U(dim(\calH)) ist per Definition gerade die (Lie-)Gruppe der Operatoren U, die das Skalarprodukt invariant lassen: braket(v,w)=braket(Uv,Uw). Eine leicht erweiterte Sichtweise auf die Zeitentwicklung ergibt sich aus der Tatsache, dass die schief-selbstadjungierten Operatoren A^\dagger=-A \(-iH ist ein solcher) gerade die Lie-Algebra der unitären Operatoren bilden. Jeder Hamiltonoperator definiert daher eine einparametrige Untergruppe der unitären Gruppe, die wiederum auf der Einheitssphäre im Hilbertraum operiert und dort die Zeitentwicklung verursacht. Die konkrete Berechnung des Zeitentwicklungsoperators gestaltet sich für zeitunabhängiges H denkbar einfach: da H selbstadjungiert ist, gibt es eine Spektralzerlegung H = sum(E_i P_i,i), wobei P_i auf den Eigenraum V_i in der Zerlegung \calH=V_1\oplus...\oplus V_k projeziert. Die Einschränkungen von H auf die unterschiedlichen Energieeigenräume kommutieren alle miteinander, d.h. es gilt U=exp(-\ii/\hbar H t) = prod(exp(-\ii/\hbar t E_i P_i),i). Auf allen V_j mit i\neq j ist exp(-\ii/\hbar E_i P_i) offenbar die Identität, auf V_i wirkt dieser Operator durch Multiplikation mit der Zahl exp(-\ii/\hbar E_i t) \(d.h. durch eine Phasendrehung). Ein nichttriviales Verhalten im Sinne der Wirkung auf Zuständen ergibt sich daher erst, wenn der Ausgangszustand ket(\Psi(0)) zur Zeit 0 kein Energieeigenzustand ist. Zum Berechnen der Zeitentwicklung verwenden wir diesmal die vollständige Eins \I1=sum(P_j,j), die wir durch den Hamiltonoperator geschenkt bekommen: U ket(\Psi(0)) = U \I1 ket(\Psi(0)) = prod(exp(-\ii/\hbar t E_i P_i),i) sum(P_j,j) ket(\Psi(0)) = sum(exp(-\ii/\hbar E_i t) ket(\Psi_i (0)),i), wobei ket(\Psi_i (0)) = P_i ket(\Psi (0)) die orthogonale Projektion des Ausgangszustands auf V_i ist. Hängt der Hamiltonoperator selbst auch von t ab, so kann die Differentialgleichung \ii\hbar d/dt ket(\Psi(t)) = H(t) ket(\Psi(t)) nicht mehr auf diese triviale Art und Weise gelöst werden, da in der Regel [H(t_1),H(t_2)]\neq 0 ist. Dieser Fall führt uns zu weit weg von unserem eigentlichen Vorhaben, weswegen wir auf die einschlägige Literatur verweisen.

Beispiel: Spinpräzession

\ Wir wollen den Artikel mit einem kleinen Beispiel abrunden, das alle vorgestellten Konzepte noch einmal in einem sehr einfachen Kontext darstellt. Dazu betrachten wir die fundamentale Darstellung von SU(2), d.h. wir denken etwa an ein Elektron mit Spin 1/2. Der zugehörige Hilbertraum ist zweidimensional und wird von den Zuständen ket(+) und ket(-) aufgespannt, die Eigenzustände des Operators S_z zu den Eigenwerten \pm \hbar/2 sind. Eine Matrixdarstellung von S_z bezüglich dieser Basis ist daher \hbar/2 (1,0;0,-1). Die Projektoren P_(\pm) auf die von ket(\pm) aufgespannten Eigenräume sind P_(+) = ket(+) bra(+) = (1,0;0,0) P_(-) = ket(-) bra(-) = (0,0;0,1). Ein zulässiger Hamiltonoperator ist in Matrixform z.B. H=c (1,0;0,-1), wobei c die Einheit Energie hat. Physikalisch beschreibt H ein geladenes Teilchen im Magnetfeld B = B_0 dx\wedge dy, wobei man sich darauf geeinigt hat, den Spin in z-Richtung zu messen. Eine Matrixdarstellung des Zeitenwicklungsoperators lässt sich dann sehr leicht angeben: U = exp(-\ii/\hbar t H) = ( exp(-\ii/\hbar c t),0;0,exp(\ii/\hbar c t)). Befindet das System zur Zeit t=0 im Zustand ket(\Psi(0))=\a_1 ket(+)+\a_2 ket(-)=(\a_1;\a_2) mit abs(\a_1)^2+abs(\a_2)^2=1, so ergibt die Zeitenwicklung ket(\Psi(t))=U ket(\Psi(0))=( exp(-\ii/\hbar c t),0;0,exp(\ii/\hbar c t))(\a_1;\a_2)=( exp(-\ii/\hbar c t)\a_1;exp(\ii/\hbar c t)\a_2).

Anhang: Einige Bemerkungen zum allgemeinen Fall

\ Wir sprechen noch kurz einige Probleme an, die im allgemeinen Fall auftreten. In der linearen Algebra sind alle Operatoren auf ganz \calH definiert und natürlich beschränkt. Davon kann in einem beliebigen Hilbertraum keine Rede mehr sein, weswegen der Definitionsbereich D(A) eines Operators A wichtig wird. Der adjungierte Operator wird nun folgendermaßen definiert: D(A^\dagger)=menge(\phi\in\calH|\exists \phi^~\in\calH \forall\psi\in D(A): braket(\phi,A\psi)=braket(\phi^~,\psi)). Für \phi\in D(A^\dagger) definiert man dann A^\dagger \phi = \phi^~, d.h. braket(\phi,A\psi)=braket(A^\dagger \phi,\psi). Gilt nun A=A^\dagger auf ganz D(A), so heißt A hermitesch. Dabei ist zu beachten, dass durchaus D(A)\subset D(A^\dagger) gelten kann. Gilt zusätzlich D(A)=D(A^\dagger) - und dies ist nicht die Regel! - dann heißt A selbstadjungiert. Die korrekte Verallgemeinerung des Spektralsatzes liefert nun eine bijektive Beziehung zwischen selbstadjungierten Operatoren A und projektionswertigen Maßen E^A auf \calH, genauer gesagt ersetzt A = int(\lambda,E^A(\lambda),\IR) nun die linear-algebraische Version A = sum(\lambda_i P_i,i). Eine weitere Fußangel ist die Tatsache, dass für unbeschränkte Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum die zugehörigen Eigenzustände gar nicht mehr im Hilbertraum liegen. Legt man etwa den Funktionsraum L^2(\IR,\mue) zugrunde, so hat die Eigenwertgleichung für den Ortsoperator (x-x_0) \Psi(x) = 0 keine Lösung \(diese müsste f.ü. verschwinden, wäre also mit der Nullfunktion in L^2 identisch). Da man aber aus physikalischen Gründen auf Ortseigenfunktionen besteht, muss der Hilbertraum durch Hinzunahme von Distributionen vergrößert werden, was auf den Begriff des Gelfand'schen Raumtripels führt. Näheres findet man z.B. in [ST1], [ST2], [GP], [GR] oder [RS].

Literatur

[CT]: Cohen-Tannoudji, Diu, Laloe: Quantum Mechanics (2 Bände) [GP]: Galindo, Pascual: Quantum Mechanics [GR]: Großmann: Funktionalanalysis [RS]: Reed, Simon: Methods of Modern Mathematical Physics (4 Bände) [SA]: Sakurai: Modern Quantum Mechanics [ST1]: Straumann: Mathematische Methoden der Quantenmechanik [ST2]: Straumann: Quantenmechanik [SW]: Storch, Wiebe: Lehrbuch der Mathematik (4 Bände)
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Lineare Algebra, Bra-Ket-Notation und die Quantenmechanik [von DanielW]  
Ein Artikel zu den mathematischen Grundlagen der Quantenphysik. Vektoren in endlichdimensionalen Hilberträumen dienen zur Modellierung der Zustände eines physikalischen Systems. Es wird ein Ausblick auf die Theorie in unendlichdimensionalen Hilberträumen gegeben.
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2020-2021 (24x)https://www.bing.com/
201202-02 (23x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=was ist vollständige eins
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"Stern Physik: Lineare Algebra, Bra-Ket-Notation und die Quantenmechanik" | 2 Comments
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Re: Lineare Algebra, Bra-Ket-Notation und die Quantenmechanik
von: Gugi am: So. 23. Oktober 2011 18:56:32
\(\begingroup\)Meiner Meinung nach ein schöner Artikel: Wir hatten in der Vorlesung das ganze nie sauber definiert; entsprechend unscharf ist es geblieben. Das meiste konnte ich auch nachvollziehen (ich habe bisher nur QM1 gehört), und mir ist 1 kleiner inhaltlicher Fehler aufgefallen: Im Kapitel "Unitäre Operatoren und die Zeitentwicklung" schreibst du quasi, dass die zeitabhängige Schrödingergleichung nur für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren gelten würde: \quoteon Ist H zeitunabhängig, so vereinfacht sich diese Gleichung zu \ \ii\hbar d/dt ket(\Psi(t)) = H ket(\Psi(t)). \quoteoff Außerdem, welche Gleichung ist "diese" Gleichung?\(\endgroup\)
 

Re: Lineare Algebra, Bra-Ket-Notation und die Quantenmechanik
von: matroid am: Di. 13. April 2021 20:55:36
\(\begingroup\)Von einem Leser, dem dieser Artikel sehr gut weitergeholfen hat, habe ich eine pdf-Version des Artikels erhalten. Diese habe ich hier wunschgemäß hochgeladen. Vielen Dank Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

 
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