Physik: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
Released by matroid on So. 31. Juli 2005 21:48:22 [Statistics]
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Physik

\(\begingroup\) Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente (Artikelname in Anlehnung an einen "allseits bekannten Artikel" von Pendragon302 gewählt) Hallo zusammen, ich möchte Euch in diesem Artikel die gängigsten Massenträgheitsmomente vorstellen, die in der Mechanik unerlässlich sind. In der Überschrift habe ich eine Klammer um das Wort Masse gesetzt, weil diese Berechnungen und "Tricks" auf (Flächen-)Trägheitsmomente übertragbar sind. Links zu den betrachteten Trägheitsmomenten - Zylinder (schlanker Stab, dünne Scheibe, Hohlzylinder, dünnwandiger Hohlzylinder, Ring) - Kugel (Hohlkugel, dünnwandige Hohlkugel) - Kegel - Quader (dünnes Brett) - Dreieck-Profil - I-Profil

Trägheitsmomente beziehen sich immer auf (Koordinaten-)Achsen, daher müssen wir über die folgenden Koordinatensysteme einige Worte verlieren. Wir benutzen "rechtsdrehende" Koordinatensysteme (rechte-Hand-Regel, 3-Finger-Regel der rechten Hand), wobei man sich die Richtung der dritten Koordinatenachse nach der "Schraubenregel" verdeutlichen kann. Wenn z.B. die x-Achse gegen den Uhrzeigersinn auf die y-Achse gedreht wird, "schaut" die positive z-Achse aus der Zeichenebene heraus und wird graphisch durch einen Punkt gekennzeichnet. Die entgegengesetzte Richtung ("schaut" in die Ebene hinein) wird graphisch durch ein Kreuz gekennzeichnet. Im unten gezeigten Bild zeigt die positive x- sowie z-Achse aus der Zeichenebene heraus und die positive y-Achse in die Zeichenebene hinein. Bild Widmen wir uns jetzt aber dem eigentlichen Problem, dem Ermitteln von Massenträgheitsmomenten. Das Massenträgheitsmoment J eines Körpers ist definiert als \red\frameon \ll(1) J=int(r^2,m,M,) \frameoff wobei M die gesamte Masse des Körpers und r der lotrechte Abstand des Massenelements dm zur betrachteten Achse ist. r steht somit senkrecht auf der Achse und ist damit \stress\ nicht \normal\ zwangsläufig der Ortsvektor vom Koordinatenursprung zum Massenelement, und auch \stress\ nicht \normal\ zwangsläufig der evtl. Radius einer Kugel oder eines Zylinders. Um Verwechselungen zu vermeiden, ist es daher ratsam, die aus ref(1) folgende Definition zu benutzen. \red\frameon \ll(1.1) J_x= int((y^2+z^2),m,M,) \ll(1.2) J_y= int((x^2+z^2),m,M,) \ll(1.3) J_z= int((x^2+y^2),m,M,) \frameoff Bevor wir mit konkreten Beispielen starten, benötigen wir noch zwei Hilfsmittel und eine Anmerkung. \stress\ Der Satz von Steiner. Bild Wenn das Trägheitsmoment J_SP bezogen auf eine Achse, die durch den Schwerpunkt geht, bekannt ist, dann kann man das Trägheitsmoment J bzgl. einer dazu parallelen Achse wie folgt berechnen. \red\frameon \ll(2) J=J_SP+M d^2 \frameoff wobei M die Gesamtmasse und d der Abstand der Achsen ist. Da die Trägheitsmomente nichts anderes als eine Summe über unendlich viele Massenelemente dm sind, können wir diese Summe in Teilsummen aufspalten, die man beliebig addieren und subtrahieren kann (unter Beachtung des Steiner\-Anteils). D.h., man kann z.B. das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders durch Subtraktion zweier Zylinder mit Außenradius und Innenradius berechnen. Anmerkung: Bei allen betrachteten Körpern setzen wir Homogenität, also eine konstante Dichte voraus. nach oben
\stress\ Jetzt starten wir aber endlich mit konkreten Beispielen: \red\big\ Zylinder(schlanker Stab, dünne Scheibe, Hohlzylinder) Bild \blue\big\ Zylinder Gegeben ist ein Zylinder \(Abb. s.o.) mit Masse M, Radius R, Länge L und Dichte \rho. Das Trägheitsmoment bezogen auf die z\-Achse ist nach ref(1.3) J_z,SP= int((x^2+y^2),m,M,) Um es zu berechnen, wählen wir Zylinderkoordinaten. x=r cos(\phi) , y=r sin(\phi) , z=z mit 0<=r<=R , 0<=\phi<2\pi und -L/2<=z<=L/2 Es gilt: x^2+y^2=r^2 Für das Massenelement dm gilt: dm=\rho dV Für das Volumenelement dV gilt: dV= r dr d\phi dz Dann gilt: J_z,SP=\rho int(int(int(r^3,r,0,R),\phi,0,2\pi),z,-L/2,L/2)=\rho R^4/4 2\pi L=1/2 \rho L \pi R^4 Mit M=\rho L \pi R^2 folgt: \blue\ll(3.1) J_z,SP=1/2 M R^2 Um J_x,SP und J_y,SP zu berechnen, nutzen wir die Symmetrie J_x,SP=J_y,SP=>J_x,SP=1/2 (J_x,SP+J_y,SP) Mit ref(1.1) und ref(1.2) folgt: J_x,SP=1/2 (int((y^2+z^2),m,M,)+ int((x^2+z^2),m,M,))=1/2 int((x^2+y^2+2z^2),m,M,)=> J_x,SP=1/2 int((x^2+y^2),m,M,)+int(z^2,m,M,)=1/2 J_z,SP +int(z^2,m,M,)=1/4 M R^2+int(z^2,m,M,) int(z^2,m,M,)=\rho int(int(int(z^2 r,r,0,R),\phi,0,2\pi),z,-L/2,L/2)=\rho R^2/2 2\pi 2/3 (L/2)^3=> int(z^2,m,M,)=1/12 \rho \pi R^2 L^3=1/12 M L^2 Dies führt zu J_x,Sp=J_y,SP=1/4 M R^2+1/12 M L^2=> \blue\ll(3.2)J_x,Sp=J_y,SP=1/12 M (L^2+3R^2) \blue\big\ schlanker Stab Für den schlanken Stab gilt: R<nach oben
\ \red\big\ Kugel (Hohlkugel) \blue\big\ Kugel Für die Berechnung möchte ich Euch zwei Möglichkeiten zeigen. Erstens die Integration unter Verwendung des Volumenintegrals, und zweitens die Integration eines schon bekannten Trägheitsmoments. \light\ Die erste Möglichkeit: Wir wählen zweckmäßigerweise Kugelkoordinaten x=r cos(\phi) sin(\theta) , y=r sin(\phi) sin(\theta) , z=r cos(\Theta) mit 0<=r<=R , 0<=\phi<2\pi und 0<=\theta<=\pi Ausnutzen der Symmetrie J_x,SP=J_y,SP=J_z,SP=J_SP $ergibt: J_SP=1/3 (J_x,SP+J_y,SP+J_z,SP) Einsetzen von ref(1.1)\-||ref(1.3) $liefert J_SP=1/3 (int((y^2+z^2),m,M,)+int((x^2+z^2),m,M,)+int((x^2+y^2),m,M,))=> J_SP=2/3 int((x^2+y^2+z^2),m,M,)=2/3 int(r^2,m,M,) Mit dm=\rho dV $und dV=r^2 sin(\theta) dr d\phi d\theta $folgt: J_SP=2/3 \rho int(int(int(r^4 sin(\theta),r,0,R),\phi,0,2\pi),\theta,0,\pi)=> J_SP=2/3 \rho (R^5/5 2\pi 2)=8/15 \rho \pi R^5 Mit M=\rho V=\rho 4/3 \pi R^3 $folgt: \blue\ll(4.1) J_SP=2/5 M R^2 \light\Die zweite Möglichkeit: Bild \ Bei dieser Möglichkeit stellen wir uns vor, daß die Kugel aus unendlich vielen Scheiben mit dem Radius r(z) besteht. Das Trägheitsmoment ist dann: J_z,SP=int(,J_(z\,SP\,Scheibe),,) Mit ref(3.5) folgt: J_z,SP=1/2 int(r^2(z),m,M,) Pythagoras liefert: r^2(z)=R^2-z^2 Mit dm= \rho \pi r^2(z) dz $ergibt sich: J_z,SP=1/2 \rho \pi int((R^2-z^2)^2,z,-R,R)=> J_z,SP=1/2 \rho \pi int((R^4-2 R^2 z^2+z^4),z,-R,R)=> J_z,SP=1/2 \rho \pi (2 R^5-4/3 R^5+2/5 R^5)=> J_z,SP=8/15 \rho \pi R^5 Mit M=\rho 4/3 \pi R^3 $folgt: J_z,SP=2/5 M R^2 Symmetrie liefert J_SP=J_x,Sp=J_y,Sp=J_z,Sp=> \blue\ll(4.1)J_SP=2/5 M R^2 \blue\big\ Hohlkugel Die Hohlkugel läßt sich \(analog zum Hohlzylinder) durch Subtraktion einer Kugel mit Innenradius R_i und Masse M_i von einer Kugel mit Außenradius R_a und Masse M_a berechnen. Aus ref(4.1) folgt: J_SP=2/5 (M_a R_a^2-M_i R_i^2) mit M_a=\rho 4/3 \pi R_a^3 und $M_i=\rho 4/3 \pi R_i^3 $folgt: J_SP=\rho 8/15 \pi (R_a^5-R_i^5) mit M=\rho 4/3 \pi (R_a^3-R_i^3) $folgt: \blue\ll(4.2) J_SP=2/5 M (R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3) \blue\big\ dünnwandige Hohlkugel Für eine dünnwandige Hohlkugel gilt: $R_i~=R_a~=R Setzt man dies in ref(4.2) ein, erhält man 0\/0, sodaß man keine Aussage machen kann und den Term umformen muß. Polynomdivision ergibt: (R_a^5-R_i^5)/(R_a-R_i)=R_a^4+R_i R_a^3+R_i^2 R_a^2+R_i^3 R_a+R_i^4 $und (R_a^3-R_i^3)/(R_a-R_i)=R_a^2+R_i R_a+R_i^2=> (R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3)=(R_a^4+R_i R_a^3+R_i^2 R_a^2+R_i^3 R_a+R_i^4)/(R_a^2+R_i R_a+R_i^2)=> (R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3)=5/3 R^2 $mit R_i~=R_a~=R Dann folgt mit ref(4.2) \blue\ll(4.3) J_SP=2/3 M R^2 \red\frameon \red\stress\ Kugel \ll(4.1) J_SP=2/5 M R^2 \red\stress\ Hohlkugel \ll(4.2) J_SP=2/5 M (R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3) \red\stress\ dünnwandige Hohlkugel (R_i~=R_a~=R) \ll(4.3) J_SP=2/3 M R^2 \frameoff nach oben
\red\big\ Kegel Bild \ Gegeben ist ein Kegel mit Masse M, Radius R und Höhe H. Um die Trägheitsmomente J_x, J_y und J_z, bezogen auf ein Koordinatensystem, welches in der Kegelspitze liegt, zu berechnen, nutzen wir wieder die bekannten Trägheitsmomente der Scheibe. J_z=int(,J_(z\,SP\,Scheibe),,) Mit ref(3.5) folgt: J_z=1/2 int(r^2(z),m,M,) Mit dm=\rho \pi r^2(z) dz $und r(z)/z=R/H $folgt: J_z=1/2 \rho \pi (R/H)^4 int(z^4,z,0,H)=> J_z=1/2 \rho \pi (R/H)^4 1/5 H^5=1/10 \rho \pi R^4 H Mit M=\rho V=1/3 \rho \pi R^2 H $folgt: \blue\ll(5.1) J_z=3/10 M R^2 Um J_x und J_y zu berechnen, greifen wir wieder auf die Scheibe zurück und erhalten unter Berücksichtigung des Steiner\-Anteils mit ref(3.6) und ref(2) J_x=J_y=int(,J_(x\,SP\,Scheibe),,)+int(z^2,m,M,)=1/4 int(r^2(z),m,M,)+int(z^2,m,M,)=> J_x=J_y=1/2 J_z+int(z^2,m,M,) int(z^2,m,M,)=\rho \pi int(r^2(z) z^2,z,0,H)=> int(z^2,m,M,)=\rho \pi (R/H)^2 int(z^4,z,0,H)=> int(z^2,m,M,)=1/5 \rho \pi R^2 H^3 Mit M=1/3 \rho \pi R^2 H $folgt int(z^2,m,M,)=3/5 M H^2 Dann ergibt sich für J_x und J_y J_x=J_y=1/2 3/10 M R^2+3/5 M H^2=> \blue\ll(5.2) J_x=J_y=3/20 M (R^2+4 H^2) \red\frameon \red\stress\ Kegel \ll(5.1) J_z=3/10 M R^2 \ll(5.2) J_x=J_y=3/20 M (R^2+4 H^2) \frameoff nach oben
\ \red\big\ Quader (dünnes Brett) \blue\big\ Quader Bild \ Gegeben ist der oben abgebildete Quader mit der Masse M und den Kantenlängen a, b und c. Für J_x,SP ergibt sich mit ref(1.1): J_x,SP=int((y^2+z^2),m,M,) Mit dm=\rho dx dy dz folgt: J_x,SP=\rho int(int(int((y^2+z^2),x,-a/2,a/2),y,-b/2,b/2),z,-c/2,c/2)=> J_x,SP=\rho int(int((y^2 a+z^2 a),y,-b/2,b/2),z,-c/2,c/2)=> J_x,SP=\rho int((1/12 b^3 a+z^2 a b),z,-c/2,c/2)=> J_x,SP=\rho (1/12 b^3 a c+1/12 c^3 a b)=> J_x,SP=1/12 \rho a b c (b^2+c^2) Mit M=\rho a b c folgt: \blue\ll(6.1) J_x,SP=1/12 M (b^2+c^2) Um J_y,SP zu berechnen, muß in ref(6.1) nur die Länge b gegen die Länge a ausgetauscht werden, und es ergibt sich: \blue\ll(6.2) J_y,SP=1/12 M (a^2+c^2) Analog ergibt sich: \blue\ll(6.3) J_z,SP=1/12 M (a^2+b^2) \blue\big\ dünnes Brett Für das Brett gilt: c<nach oben
\red\big\ Dreieck\-Profil Bild \ Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck\-Profil mit der Grundseite G, Höhe H und Länge L. Das KO\-System liegt in der Ecke mit dem rechten Winkel. Die Geradengleichung für die Hypotenuse ist z(y)=H(1-y/G). Mit dm=\rho dx dy dz und ref(1.1) folgt für J_x: J_x=\rho int(int(int((y^2+z^2),x,-L/2,L/2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=> \small\(da z=z(y), muß erst über z und dann über y integriert werden) J_x=\rho L int(int((y^2+z^2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=> J_x=\rho L int((H (1-y/G) y^2+1/3 H^3 (1-y/G)^3),y,0,G)=> J_x=\rho L (H 1/12 G^3+1/3 H^3 1/4 G)=> J_x=1/24 \rho L G H (2 G^2+2 H^2) mit M=\rho 1/2 L G H folgt: \blue\ll(7.1) J_x= 1/12 M (2 G^2+2 H^2) Für J_y folgt mit ref(1.2): J_y=\rho int(int(int((x^2+z^2),x,-L/2,L/2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=> J_y=\rho int(int((1/12 L^3 +L z^2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=> J_y=\rho int((1/12 L^3 H (1-y/G)+L 1/3 H^3 (1-y/G)^3),y,0,G)=> J_y=\rho (1/12 L^3 H 1/2 G+L 1/3 H^3 1/4 G)=> J_y=1/24 \rho L G H (L^2+2 H^2) Mit M=\rho 1/2 G H L folgt: \blue\ll(7.2) J_y= 1/12 M (L^2+2 H^2) Für J_z folgt mit ref(1.3): J_z=\rho int(int(int((x^2+y^2),x,-L/2,L/2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=> J_z=\rho int(int((1/12 L^3 +L y^2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=> J_z=\rho int((1/12 L^3 H (1-y/G)+L H (1-y/G) y^2),y,0,G)=> J_z=\rho (1/12 L^3 H 1/2 G+L H 1/12 G^3)=> J_z=1/24 \rho L G H (L^2+2 G^2) Mit M=\rho 1/2 G H L folgt: \blue\ll(7.3) J_z= 1/12 M (L^2+2 G^2) \red\frameon \red\stress\ Dreieck\-Profil \ll(7.1) J_x=1/12 M (2 G^2+2 H^2) \ll(7.2) J_y=1/12 M (L^2+2 H^2) \ll(7.3) J_z=1/12 M (L^2+2 G^2) nach oben
\red\big\ I\-Profil Im letzten Abschnitt möchte ich die Vorgehensweise für komplexere Körper vorstellen, deren Trägheitsmomente man nur sehr schwer bzw. gar nicht durch direkte Integration berechnen kann. Hier bleibt nur der Weg, die betrachteten Körper in Körper mit schon bekannten (bzw. leichter zu berechnenden) Trägheitsmomenten zu zerlegen. Das resultierende Trägheitsmoment erhält man dann durch Addition bzw. Subtraktion oder Integration der einzelnen Trägheitsmomente unter Beachtung der jeweiligen Steiner-Anteile. Bild Stellvertretend für die vielen Profile (I, Z, L, T, U, ...) möchte ich hier das I-Profil vorstellen. \ Das oben abgebildete I\-Profil kann man sich als einen großen Quader der Breite B, Höhe H und Länge L vorstellen, von dem zwei kleine Quader der Breite b=1/2 (B-t), Höhe h=H-2 t und Länge L abgezogen werden. Der Schwerpunktsabstand der kleinen Quader vom Gesamtschwerpunkt beträgt d=1/2 (b+t). Kennzeichnen wir das Trägheitsmoment für den großen Quader mit dem Index 1 und für die kleinen Quader mit dem Index 2, dann ergibt sich unter Beachtung der Symmetrie: J_x,SP=J_x,1-2 J_x,2 J_y,SP=J_y,1-2 J_y,2 J_z,SP=J_z,1-2 J_z,2 Mit ref(6.1)\-||ref(6.3) gilt: J_x,1=1/12 M_1 (H^2+L^2)=1/12 \rho B H L (H^2+L^2) J_y,1=1/12 M_1 (B^2+L^2)=1/12 \rho B H L (B^2+L^2) J_z,1=1/12 M_1 (B^2+H^2)=1/12 \rho B H L (B^2+H^2) Analog ergibt sich unter Beachtung der Steiner\-Anteile ref(2): J_x,2=1/12 M_2 (h^2+L^2)+ 0=1/12 \rho b h L (h^2+L^2) J_y,2=1/12 M_2 (b^2+L^2)+ M_2 d^2=1/12 \rho b h L (b^2+L^2+12 d^2) J_z,2=1/12 M_2 (b^2+h^2)+ M_2 d^2=1/12 \rho b h L (b^2+h^2+12 d^2) Damit ergibt sich: J_x,SP=1/12 \rho B H L (H^2+L^2)-2/12 \rho b h L (h^2+L^2)=> J_x,SP=1/12 \rho L (B H (H^2+L^2)-2 b h (h^2+L^2)) J_y,SP=1/12 \rho B H L (B^2+L^2)-2/12 \rho b h L (b^2+L^2+12 d^2)=> J_y,SP=1/12 \rho L (B H (B^2+L^2)-2 b h (b^2+L^2+12 d^2)) J_z,SP=1/12 \rho B H L (B^2+H^2)-2/12 \rho b h L (b^2+h^2+12 d^2)=> J_z,SP=1/12 \rho L (B H (B^2+H^2)-2 b h (b^2+h^2+12 d^2)) Aus M= \rho B H L- 2 \rho b h L=\rho L (B H-2 b h) folgt \rho L=M/(B H-2 b h). Damit erhält man letztendlich: \blue\ll(8.1) J_x,SP=1/12 M (B H (H^2+L^2)-2 b h (h^2+L^2))/(B H-2 b h) \blue\ll(8.2) J_y,SP=1/12 M (B H (B^2+L^2)-2 b h (b^2+L^2+12 d^2))/(B H-2 b h) \blue\ll(8.3) J_z,SP=1/12 M (B H (B^2+H^2)-2 b h (b^2+h^2+12 d^2))/(B H-2 b h) \red\frameon \red\stress\I\-Profil \ll(8.1) J_x,SP=1/12 M (B H (H^2+L^2)-2 b h (h^2+L^2))/(B H-2 b h) \ll(8.2) J_y,SP=1/12 M (B H (B^2+L^2)-2 b h (b^2+L^2+12 d^2))/(B H-2 b h) \ll(8.3) J_z,SP=1/12 M (B H (B^2+H^2)-2 b h (b^2+h^2+12 d^2))/(B H-2 b h) mit b=1/2 (B-t) , h=H-2 t , d=1/2 (b+t) \frameoff nach oben
_____________________________________________________________________________________ Wenn dieser Artikel ein paar Leuten hilft, die Herleitung der Trägheitsmomente zu verstehen, dann hat er seinen Zweck erfüllt. Dank Thomas (alias Tigger ) aus der AG Artikel LaTeXen steht dieser Artikel auch als PDF zur Verfügung. (Die pdf weist einen Fehler bei der Achsbeschriftung auf. Siehe Kommentar von AdalbertHuebner vom 06.07.2015) Allen MP-Bewohnern wünsche ich noch einen schönen Sommer. Liebe Grüße Georg (alias KingGeorge) nach oben
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: Physik :: Mechanik :: Trägheitsmoment :
Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente [von KingGeorge]  
Der Autor möchte Euch in diesem Artikel die gängigsten Massenträgheitsmomente vorstellen, die in der Mechanik unerlässlich sind. In der Überschrift hat er eine Klammer um das Wort Masse gesetzt, weil diese Berechnungen und "Tricks" auf (Flächen-)Trägheitsmomente übertragbar sind.
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"Physik: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente" | 55 Comments
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Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: So. 31. Juli 2005 21:55:29
\(\begingroup\)Hallo, Kritik (pos. als auch neg.) ist erwünscht. Wenn jemand Verbesserungsvorschläge hat oder meint es fehlen noch ein paar MTM's dann soll sie/er es sagen. Scheut euch auch nicht Rechtschreibfehler, auch wenn sie noch so peinlich sind, zu offenbaren. lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Rebecca am: Mo. 01. August 2005 10:19:54
\(\begingroup\)Hallo Georg, ein gelungener Artikel (den ich eigentlich selbst mal schreiben wollte). Ergänzungsvorschläge zu weiteren MTM's habe ich nicht. Evtl. könntest du die Überschriften "Stab" und "Scheibe" modifizieren: "Dünner Stab" bzw. "Dünne Scheibe". Aber das ist eine Stilfrage, da du ja gleich nach der Überschrift selbst die Eingrenzungen R << L bzw. L << R vornimmst. Wegen deiner Aufforderung, Rechtschreibfehler zu offenbaren, habe ich mir erlaubt, die 8 fehlenden Kommata selbst zu ergänzen und auch einen Rechtschreibfehler zu korrigieren. Gruß Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: FlorianM am: Mo. 01. August 2005 10:27:49
\(\begingroup\)Gelungener Artikel, mehr gibt es dazu nicht zu sagen. :)\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Mo. 01. August 2005 12:23:14
\(\begingroup\)Hallo Rebecca, Danke für die Korrekturen und Vorschläge. Die Modifizierung der Überschriften habe ich vorgenommen. Das ist besser. Dadurch wird gleich deutlich was gemeint ist. lg Georg \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Site am: Mi. 03. August 2005 01:42:46
\(\begingroup\)Hallo, Georg, nicht nur ein astreiner Artikel, sondern auch eine Bereicherung für das große Archiv, das die Artikel des Planeten mittlerweile bilden. So wird Planetariern und solchen, die im Internet verzweifelt nach bestimmten Erklärungen und Herleitungen suchen, eine wirkliche Fundgrube geboten. Insbesondere Arbeiten wie diese und Grundlagentexte wie die von Artur ermöglichen es immer mehr, bei anderen Artikeln und Fragen im Forum auf diese Arbeiten zu verweisen. Grüße Site\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 07. November 2005 16:32:51
\(\begingroup\)@ King George: Thx für den Artikel, wirklich gut! Der Artikel ist Grundlage für ca 50% meiner Facharbeit, ohne den wär ich ziemlich am Ende.... ;) MfG, Retard\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Mo. 07. November 2005 18:49:06
\(\begingroup\)Hallo Retard, schön zu hören, daß ich helfen konnte. lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 09. Dezember 2005 00:04:07
\(\begingroup\)Toller Artikel! Vielen Dank für die Mühe ihn zu schreiben... Henro\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: AlexP am: Do. 02. Februar 2006 20:57:11
\(\begingroup\)Dein Artikel hat mir sehr geholfen! Vielen Dank! Gruß Alex\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Do. 02. Februar 2006 23:40:52
\(\begingroup\)Hallo Alex, Es freut mich, daß ich dir helfen konnte. Als ich in deinem Alter war, war ich froh zu verstehen, was eine Ableitung ist. Wenn ich also sehe womit du dich beschäftigst, kann ich nur sagen : Respekt. lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 28. Februar 2006 20:32:31
\(\begingroup\)EIne Frage, giobt es eine einfache Näherung, um aud dem Flächenmoment 1. bzw. 2. Ordnung und der Masse/Dichte eoines Körpers das Massenträgheitsmoment zu errechnen? Ich hoffe auf antwort, und sage bereits DANKE!\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Mi. 01. März 2006 09:04:11
\(\begingroup\)Hallo Anonymous, mir sind keine Näherungen bekannt. Man könnte lediglich aus dem Moment 2-ter Ordnung auf das Massenträgheitsmoment schließen, wenn man dort eine Dimension vernachlässigt. z.B.: Moment 2-ter Ordnung für einen Kreis : I = 1 / 4 A R^2 MTM für eine dünne Scheibe : J = 1 / 4 m R^2 lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 11. Mai 2006 10:35:26
\(\begingroup\)Moin! An sich super, bräuchte nur noch mal das Trägheitsmoment eines Ellipsoiden... \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Do. 11. Mai 2006 14:48:55
\(\begingroup\)Hallo Anonymous, schau mal in's Mechanik-Forum. Da wird gerade diese Frage (vielleicht von dir?) behandelt. lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 22. November 2006 21:01:02
\(\begingroup\)Hallo! Erstmal muss ich sagen ein klasse Beitrag zum Theman Massenträgheitsmomente! Kann mir vieleicht jemand helfen bei der Berechnung der Massenträgheitsmomente der zwei möglichen Doppelkegel (Fall 1: die Kegel berühren sich an der Spitze, Fall 2: Die zwei Kegel teilen sich die Bodenfläche) ? Mit zu berücksichtigen wäre auch noch der Fall, dass die zwei Kegel aus unterschiedlichem Material bestehen könnten (aber da müssten ja dann nur die Werte für die Dichte Einfluss haben) Ich hab leider keine AHnung wie ich da Anfangen soll....wär jedenfalls sehr nett wenn mir jemand helfen könnte. Danke und Gruß Mathias\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Mi. 22. November 2006 22:19:20
\(\begingroup\)Hallo Mathias, da Integrale nichts anderes als Summen über unendlich viele Elemente sind, kannst du die Trägheitsmomente in deinem Fall einfach addieren. Wenn das Koordinatensystem nicht in der Spitze sondern in der Grundfläche des Kegels liegt, kannst du die Momente mit dem Satz von Steiner berechnen. Da wir auf dem MP ein Forum haben, in dem man auch hervorragend Formeln posten kann, würde ich vorschlagen, daß du dich für detaillierte Nachfragen dort meldest. lg Georg P.S.: Die Anmeldung im Forum ist kostenlos, verpflichtet zu nichts und tut nicht weh. 😉\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 06. Dezember 2006 14:39:27
\(\begingroup\)Super Artikel, hat mich sehr weiter gebracht. Danke...\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 24. März 2007 15:03:34
\(\begingroup\)Top, Artikel... Hat mir beim Verständnis dieser Thematik sehr geholfen. Merci \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 11. April 2007 09:04:10
\(\begingroup\)Moin Georg, ich bin zwar Physikingenieur, aber das ist lange her. Wie ist die Formel für das Trägheitsmoment einer Stange mit einer Masse (Kugel) am anderen Ende. Drehachse ist das leichte Ende. Gruß, Toni\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Mi. 11. April 2007 09:17:26
\(\begingroup\) Hallo Toni, du kannst die beiden Momente einfach addieren. Also Moment der Stange J_Stange=1/12 m_Stange L^2+m_Stange (L/2)^2 + Moment der Kugel J_Kugel=2/5 m_Kugel R^2+m_Kugel (L+R)^2 , wobei du den Steiner-Anteil nicht vergessen darfst. lg Georg \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 04. Februar 2008 21:58:00
\(\begingroup\)Hallo! Ich habe das Gefühl, dass bereits in den ersten Herleitungszeilen ein kleiner Fehler ist. Für das Trägheitsmoment eines Vollzylinders, der um eine Achse rotiert, die senkrecht zur Symmetrieachse steht und durch seinen Schwerpunkt geht (hier: Jy bzw. Jz) sind als Integrationsgrenzen für die Länge des Zylinders (L/2) und (-L/2) angegeben. Setzt man das in 1/3 L^3 ein und beachtet "obere Grenze minus untere Grenze" dann man damit aber nicht auf (L/2)^3. Wie lauten denn die richtigen Grenzen? Von 0 bis (L/2)? Beste Grüße, Lukas\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Di. 05. Februar 2008 00:07:01
\(\begingroup\)Hallo Lukas, du täuscht dich. 😉 int(z^2,z,-L/2,L/2)=stammf(1/ 3 z^3,-L/2,L/2)=1/3 (L/2)^3-1/3 (-L/2)^3=2/3 (L/2)^3 Das steht so im Artikel und ist korrekt. lg Georg \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: alice12 am: Do. 19. Februar 2009 16:49:12
\(\begingroup\)hallo, ich hab mal eine frage zu dem trägheitsmoment des kegels. und zwar versteh ich nicht, wie man von (1/10)*pi*p*R^4*H auf (3/10)m*R^2 kommt. kann mir das jemand kurz erklären, das wär ganz toll!! lg alice\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Do. 19. Februar 2009 17:02:51
\(\begingroup\) Hallo Alice, das folgt aus der Formel für die Masse M eines Kegels M=Dichte*Volumen_Kegel=\rho*V_Kegel=\rho*(1/3 \pi R^2 H)=> \rho=(3 M)/(\pi R^2 H) Das mußt du jetzt nur noch in die Formel für J_z=1/10 ... einsetzen. lg Georg \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 19. Februar 2009 18:16:49
\(\begingroup\)sorry, da muss ich nochmal nachhaken. wenn ich habe: (1/10)*pi*p*R^4*H und dann V=(1/3)*pi*R^2*H einsetzen will, sollte doch da stehen: (1/10)-(1/3)*p*V*R^2 es ist aber nur: (1/10)*p*V*R^2 was passiert mit dem (1/3) ?\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Do. 19. Februar 2009 19:04:08
\(\begingroup\)Hallo Alice, 1) Nein, du ersetzt rho , dann steht da 1/10*3 ... 2) Da das sehr wahrscheinlich auch andere interessiert wäre es ratsam im Mechanik-Forum einen neuen Thread zu eröffnen! 3) Warum hast du dich denn gleich nach deiner Frage wieder vom MP abgemeldet. 😵 lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 22. Februar 2009 00:25:02
\(\begingroup\)hallo, kann mir mal jemand erklären, wie man die integralsgrenzen berechnet? danke, schönen abend an alle, steph\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: So. 22. Februar 2009 15:55:06
\(\begingroup\)Hallo Anonymus, bei welchen Integralgrenzen ergeben sich denn Probleme? lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 23. Februar 2009 00:51:56
\(\begingroup\)zb beim quader. wieso fängt man bei a/2 an? lieben gruß, steph \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Mo. 23. Februar 2009 11:39:13
\(\begingroup\)Hallo steph, der Quader hat die Kantenlängen a,b und c. Das Koordinatensystem liegt im Schwerpunkt. Also sind die Integrationsgrenzen -a/2<=x<=a/2 , -b/2<=y<=b/2 , -c/2<=z<=c/2 Ob man zuerst über x oder y oder z integriert ist egal, da die Integrationsgrenzen unabhängig voneinander sind. lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 23. Februar 2009 13:11:22
\(\begingroup\)ok, wie wäre das dann zb beim würfel? auch bei -a/2 angefangen? und bestimmt man das volumen dann auch durch ein dreifachintegral, obwohl man ja nur eine seitenlänge hat?\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Mo. 23. Februar 2009 13:33:27
\(\begingroup\)Hallo, ja, auch beim Würfel hat man ein Dreifachintegral. "Er" ist ja schließlich auch ein dreidimensionales "Gebilde". Man hat lediglich 3 mal identische Integrationsgrenzen. lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 23. Februar 2009 23:54:25
\(\begingroup\)ich danke dir vielmals!\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente, Formel 4.2 u.ä.
von: joann am: Sa. 19. Juni 2010 22:29:25
\(\begingroup\)"de gustibus discutandum " : Die formale 0 / 0 Undeterminierung ( siehe Formel 4.2, Dünne Körper ) lässt sich auch durch L'Hospital - Methode, zwar ableitend in den Zähler und Nenner der Brücke beseitigen ... lohnt sich erwähnt zu sein, Endergebnisse dieselbe, nur Zahlenwerk etwa eleganter ! 😉 \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 31. Januar 2011 22:05:12
\(\begingroup\)ich danke dir! man findet nichts anderes im internet, was besser ist! gute arbeit und viel viel dank für die mühe! lg ein physiker\(\endgroup\)
 

Ein Quader mit 45° Winkel zur Schwerpunktachse
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 04. Februar 2012 03:13:54
\(\begingroup\)Kann jemand mir die Formel für das Trägheitsmoment eines Quaders, dessen Drehachse einen Winkel von 45° mit der Schwerpunktachse hat? hier ein Bild: http://s7.directupload.net/images/120204/76cz3xas.png Danke im Voraus. Harald \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Sa. 04. Februar 2012 11:49:38
\(\begingroup\)Hallo Harald, berechne die Trägheitsmomente für einen nicht gedrehten Quader und dann siehe hier(#19)\(\endgroup\)
 

Ein Quader mit 45° Winkel zur Schwerpunktachse
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 04. Februar 2012 18:19:34
\(\begingroup\)Hallo Leute, das würde mich auch interessieren. Leider konnte ich es allerdings nicht nachvollziehen, wie ich zur Gleichung komme. J von Quader ist kein Problem. Jedoch konnte ich für Harald's Bild keine Gleichung aufstellen. Gruß, Frank \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Sa. 04. Februar 2012 21:20:37
\(\begingroup\)Hallo Harald u. Frank, für weitergehende Fragen schlage ich das Forum vor. Eröffnet einen Thread !! lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 24. November 2012 14:29:55
\(\begingroup\)Erstmal großen Respekt für den tollen Artikel - hat mir sehr beim Verständnis geholfen! Was mir jedoch noch nicht ganz klar ist, ist folgender Schritt (beim Beispiel mit dem Zylinder): Um J_x,SP und J_y,SP zu berechnen, nutzen wir die Symmetrie J_x,SP=J_y,SP=>J_x,SP=1/2 (J_x,SP+J_y,SP) Wie kommt man darauf, dass J_x,SP=1/2 (J_x,SP+J_y,SP) ist? Ich glaub ich seh hier grad den Wald vor lauter Bäumen nicht... Schöne Grüße Bernhard \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Sa. 24. November 2012 18:56:33
\(\begingroup\) Hallo Bernhard, das folgt aus 2 J_x,SP=J_x,SP +J_x,SP ersetzen eines J_x,SP durch J_y,SP auf der rechten Seite ergibt 2 J_x,SP=J_x,SP +J_y,SP=> J_x,SP=1/2 (J_x,SP +J_y,SP) lg Georg \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 23. März 2013 22:14:29
\(\begingroup\)Mhm, vielleicht sollte man beim Kreiskegel verdeutlichen, dass es sich nicht um die Hauptträgheitsmomente handelt, also vorallem 5.2. Hat mich viel Mühe gekostet zu checken, warum ich nicht auf dein Ergebnis komme, bis ich gemerkt habe, dass ich mich auf den Schwerpunkt beziehen wollte und du dich auf die Spitze bezogen hast :D Gerade weil du dich im restlichen Artikel immer auf die Schwerpunkte bezogen hast. Grüße Verrain \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: AdalbertHuebner am: Do. 11. Juni 2015 12:18:28
\(\begingroup\)Hallo, Wer was zum Thema "rauskriegen" will, ist hier richtig. Straighte Mathematik und jede Menge aus der Trickkiste - herrlich. Ich mag die "DOSige" Web-Version fast noch lieber als die "schicke" pdf. Vielen Dank aber für beide - soviel Wissen frei Haus - unbezahlbar. Gruß AH \(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Do. 11. Juni 2015 17:12:30
\(\begingroup\)Hallo AH, i.M. sehe ich keinen Fehler. Klär mich bitte auf! Gruß Georg\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: AdalbertHuebner am: Do. 11. Juni 2015 23:30:54
\(\begingroup\)Hallo Georg, ist auch keiner...war nur zu faul, noch mal nach oben zu 3.6 zu scrollen (bin hier mit meinem Smartphone unterwegs) und das mit der dünnen Scheibe und dem Steiner-Anteil zu checken und dachte daher, da würde anstatt dJx,sp (dJz,sp)/2 hingehören. Krass, was man da alles veranstalten kann... Demütigst, AH\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: AdalbertHuebner am: Fr. 12. Juni 2015 15:04:11
\(\begingroup\)Hallo Anonymous, meinen Namen habe ich gewählt, weil den wahrscheinlich noch keiner hat - soll 'n bisschen lustig sein. Wissenschaftler... ...ja, aber kein Genie. Es arbeitet ja auch nicht jeder Mechaniker bei Ferrari. Mathemäßig gibt's hier viele stärkere, glaub' ich. Die Artikel hier sind, wie bereits erwähnt, unbezahlbar. Dank und Gruß AH\(\endgroup\)
 

Kleiner Fehler in der pdf-Version
von: AdalbertHuebner am: Mo. 06. Juli 2015 02:42:31
\(\begingroup\)Hallo, die pdf-Version weist bei der Erläuterung zur "Verquerung der Achsen im Raum" eingangs des Artikels beim dritten Bildchen einen Fehler auf - die Achsen sind falsch bezeichnet. Hab'dazu ein Bild hochgeladen, wie hängt man das hier an per Smartphone-Androiden ? Gruß AH http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_AchsenFehler.png\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Mo. 06. Juli 2015 12:30:27
\(\begingroup\)Hallo AH, danke für den Hinweis. Ich werde in der web-Version einen Hinweis auf den Fehler mit Verweis auf deinen Kommentar einstellen. Gruß Georg\(\endgroup\)
 

Mehr Fehler
von: AdalbertHuebner am: Di. 07. Juli 2015 02:52:10
\(\begingroup\)Hallo KingGeorge, ich hab' da noch'n paar Makel in der pdf-Datei entdeckt - aber sieh selbst... Ich werde die Datei in der nächsten Zeit nach und nach weiterlesen, soll ich etwaige Fehler weiter reporten ? Gruß AH http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_FehlendeL.PNG\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: KingGeorge am: Di. 07. Juli 2015 12:13:32
\(\begingroup\)Hallo AH, ja, wenn du weitere Fehler findest, poste sie bitte. Ich warte dann mit der Korrektur oder den Hinweisen auf die Fehler noch ein bisschen. Gruß Georg\(\endgroup\)
 

dz fehlt...
von: AdalbertHuebner am: Mi. 08. Juli 2015 01:27:07
\(\begingroup\)Hallo, hier bin ich wieder, nachdem ich mir die Kugel gegeben habe. Hoffe, es ist verständlich, das Bild. Gruß AH http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_dz.png\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 08. Juli 2015 23:20:28
\(\begingroup\)a ha, das theta im zweiten bild im bild ist zwar etwas undeutlich, aber ansonsten ist alles soweit gut erkennbar, vielleicht sollte man eine andere korrekturfarbe verwenden? orange oder lila zum beispiel...\(\endgroup\)
 

Index-a zu Exponent mutiert
von: AdalbertHuebner am: Do. 09. Juli 2015 14:26:56
\(\begingroup\)Hallo, bin jetzt durch bis zum/vor/bei Quader... Gruß AH http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_HochA.png\(\endgroup\)
 

Alternative
von: AdalbertHuebner am: Do. 09. Juli 2015 16:18:06
\(\begingroup\)Hallo, eine Alternative zur Rechnung da oben, kurz und formlos notiert... (Ra^5-Ri^5)/(Ra^3-Ri^3) =f1(Ri)/f2(Ri) mit Ri->Ra l'Hospital =(-5*Ri^4)/(-3*Ri^2) = 5/3*Ri^2 ...Ri in R umtaufen, fertig. Gruß AH Bin jetzt bis vor'm I-Profil, liest sich gut... \(\endgroup\)
 

Letzte Meldung
von: AdalbertHuebner am: Sa. 11. Juli 2015 00:48:33
\(\begingroup\)Hallo, hab' fertig, hier meine letzten Kriteleien und als Zugabe eine kleine Abhandlung von mir. Gruß AH http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_Fertig.png http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_Erkl_rb_r.png\(\endgroup\)
 

 
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