Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 3
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Mathematik

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Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder:
auf den Charakter kommt es an

Teil 3: Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere

Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen. Dies ist der dritte Teil: Teil 1: Lineare Darstellungen Teil 2: Charaktertheorie Teil 3: Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere Zuerst werde ich einige wichtie Begriffe klären bevor wir dann zur Charaktertheorie kommen. Am Ende werden wir wichtige Eigenschaften von Gruppen aus der Charaktertafel ablesen können. Voraussetzung für diese Artikel ist sicherlich Lineare Algebra und ein bisschen Gruppentheorie. Ich empfehle Gockels Gruppenzwang.

Abelsche Untergruppen

In einer Abelschen Gruppe hat jede Konjugationsklasse nur ein Element und somit ist jede Funktion auf G eine Klassenfunktion. \stress\ array(SATZ 9)__ G ist abelsch <=> Jede irreduzible Darstellung von G ist 1-dimensional. \stress\ array(Beweis)__ \r :G -> GL(V) sei eine irreduzible Darstellung von G und t \el G. Es ist st=ts \forall\ s \el G und deshalb \r_s \r_t = \r_t \r_s \frame\ \small\ array(Erinnerung (Lemma von Schur))__ \small\ Seien \rho^1 :G->GL(V_1) und \rho^2 :G->GL(V_2) \small\ zwei irreduzible Darstellungen von G. \small\ Sei f: V_1 ->V_2 eine lineare Abbildung mit: \rho_s^2 \circ f = f \circ \small\ \rho_s^1 \forall\ s \el G \small\ (f ist vertäglich mit \rho^1 und \rho^2), dann gilt: \small\ (1) Wenn \rho_s^1 und \rho_s^2 icht isomorph sind \(\forall\ s \el G\) gilt: f=0 \small\ (2) Wenn V_1 =V_2 und \rho_s^1 =\rho_s^2 \forall\ s , so gilt f ist eine Homothetie \frameoff \small\ d.h. f=\l *Id , \l \el \IC Nach dem Lemma von Schur ist \r_t eine Homothetie. Da das für alle t \el G gilt ist jeder lineare Unterraum W von V unter G invariant. \frame\ \small\ \r:G->GL(V), \r_t = \l *Id array( )\r_t: V->V, \r_t(x) = \l*x \frameoff \small\ W\subset\V lin. Unterraum von V array( )\forall\ x' \el W : \r_t(x')=\l*x' \el W Da V irreduzibel ist folgt dim(V)=1. \frame\ \small\ Eine Darstellung V heißt irreduzibel \small\wenn sie != 0 ist und keine echte Unterdarstellung hat.\frameoff Umgekehrt folgt aber auch: Wenn alle irreduziblen Darstellungen 1-dimensional sind, ist G abelsch. abs(G)=g und G habe nur 1-dimensionale irreduzible Darstellungen. Dann ist g=summe(n_i^2) wobei n_i die Grade der irreduziblen Darstellungen sind. Da alle n_i=1 sind sieht man, daß die Anzahl der irreduziblen Darstellungen gleich g ist. Andererseits ist die Anzahl der irreduziblen Darstellungen von G gleich der Anzahl der Konjugationsklassen. (Charaktertheorie, SATZ 8) Es gilt also h=g wobei h=\# der Konjugationsklassen. => jede Konjugationsklasse besteht genau aus einem Element => G abelsch. array( )q.e.d. \stress\ array(Korollar 8)__ Sei A eine abelsche Untergruppe von G. Dann hat jede irreduzible Darstellung eine Dimension <= abs(G)/abs(A). \stress\ array(Beispiel)__ Die Diedergruppe D_(2n) hat eine abelsche Untergruppe der Ordnung n: D_(2n)=\ \supset \ Alle irreduziblen Darstellungen von D_2n haben also Dimension <=2.

Das direkte Produkt zweier Gruppen

G_1 und G_2 seien zwei Gruppen. G_1 \times\ G_2 heißt direktes Produkt der Gruppen G_1 und G_2. Dabei versieht man das kartesische Produkt der beiden Mengen G_1 und G_2 mit einer Gruppenstruktur: s_1, t_1 \el G_1 und s_2, t_2 \el G_2: (s_1 ,s_2 )*(t_1 ,t_2 )=(s_1 t_1 , s_2 t_2 ) G_1 und G_2 können als Untergruppen von G_1 \times\ G_2 aufgefasst werden: G_1~= menge((s_1 ,1): s_1 \el G_1) \subset\ G_1 \times\ G_2 G_2~= menge((1 ,s_2 ): s_2 \el G_2) \subset\ G_1 \times\ G_2 Jedes Element von G_1 kommutiert mit jedem Element von G_2. Jetzt definieren wir eine Darstellung \r^1 \otimes\ \r^2 : G_1 \times\ G_2 -> GL(V_1 \times\ V_2) mit (\r^1 \otimes\ \r^2)(s_1 , s_2) = \r^1 (s_1 ) \otimes\ \r^2 (s_2 ) Diese Darstellung heißt ebenfalls Tensorprodukt von \r^1 und \r^2 (vgl. Teil 1: Lineare Darstellungen ) Wenn \c der Charakter zu \r^1 \otimes\ \r^2 und \c_i der Charakter zu \r^i (i=1,2) ist, so gilt: \c(s_1,s_2 ) = \c_1(s_1) \c_2(s_2) \stress\ Achtung__ Wenn G_1=G_2 ist, ist das hier beschriebene Tensorprodukt nicht gleich dem aus Teil 1. In Teil 1 war nämlich \r \otimes \r :G->GL(V) hier ist \r \otimes\ \r:G \times G -> GL(V) Die Tensordarstellung aus Teil 1 ist die neue Tensordarstellung, eingeschränkt auf die Hauptdiagonale menge((s,s):s\el G) \subset\ G\times G \stress\ array(SATZ 10)__ (1) Wenn \r^1 und \r^2 irreduzible Darstellungen von G_1 und G_2 sind, dann ist \r^1 \otimes \r^2 eine irreduzible Darstellung von G_1 \times G_2. (2) Jede irreduzible Darstellung von G_1 \times\ G_2 ist isomorph zu einer Darstellung \r^1 \otimes \r^2 wo \r^i irred. Darstellung zu G_i ist.

Zwischenbilanz

Die beiden Kapitel hätten eigentlich auch noch in den zweiten Teil gepasst (ist mir aber zu spät aufgefallen). Wir haben nun schon einige Erkenntnisse: \stress\ \* \normal\ Charaktere sind sehr nützlich. Sie charakterisieren zwei Darstellungen: Darstellungen mit dem gleichen Charakter sind äquivalent. \stress\ \* \normal\ Charaktere geben ein einfaches Kriterium für Irreduzibilität: \<\c,\c\>=1 <=> \c irreduzibel \stress\ \* \normal\ Charaktere bilden eine Orthonormalbasis für den Raum der Klassenfunktionen \stress\ \* \normal\ Wir haben Orthogonalitätsrelationen um die Charaktertafel leichter berechnen zu können: Zeilenweise:__ \<\c,\psi\> = summe((\c(s_i) \psi(s_i)^-)/abs(C_G (s_i)),i=1,h)=fdef(1,\c=\psi;0,\c!=\psi) wobei s_i Repräsentanten der h verschiedenen Konjugationsklassen sind. Spaltenweise:__ summe(\c_i(s) \c_i(s)^-,i=1,h)=abs(C_G(s)) summe(\c_i(s) \c_i(t)^-,i=1,h)=0 array( ) (s und t nicht konjugiert) \stress\ \* \normal\ G hat nur 1-dim. Darstellungen <=> G ist abelsch \stress\ \* \normal\ Die irreduziblen Charaktere zu G_1 \times G_2 kommen direkt von den irreduziblen Charakteren zu G_1 und G_2.

Geliftete Charakter

Für einen echten Normalteiler N von G (N <| G) ist die Faktorgruppe G\/N kleiner als G, es ist im Allgemeinen also leichter die irreduziblen Charaktere von G\/N zu bestimmen. Wir werden Charaktere von G\/N benutzen, um die Charaktere von G zu berechnen. Diesen Prozess nennt man liften. Normalteiler einer Gruppe G werden uns also helfen die Charaktere von G zu bestimmen. Umgekehrt können wir aber auch die Charaktertafel von G nutzen um Normalteiler von G zu finden. Anders ausgedrückt: die Charaktertafel zeigt uns, ob G einfach ist oder nicht. \frame\ \small\ N sei Normalteiler von G. Die Faktorgruppe G\/N =Menge der Nebenklassen von N in G mit Verknüpfung. \small\ H Untergruppe von G dann ist die Linksnebenklasse eine Teilmenge der Form aH=menge(ah: h\el H), entspr. Rechtsnebenklassen. \small\ N heißt Normalteiler von G, wenn gilt aN=Na \forall\ a\el G \frameoff\small\ Das Neutralelement von G\/N ist N. \stress\ array(Lemma 5)__ Sei N <| G und \c^~ ein Charakter von G\/N. Dann liefert \c:G->\IC mit \c(g)=\c^~(gN) \forall\ g \el G einen Charakter von G. Außerdem hat \c denselben Grad wie \c^~ \stress\ array(Beweis)__ Sei \r^~ :G\/N->GL(V) eine Darstellung von G\/N mit Charakter \c^~. Die Funktion \r:G->GL(V), die definiert ist durch \r(g)=\r^~(gN), g\el G ist ein Homomorphismus, also eine Darstellung von G. Der Charakter \c von \r erfüllt \c(g)=Tr(\r(g))=Tr(\r^~(gN))=\c^~(gN), g\el G Außerdem gilt \c(1)=\c^~(N), N ist das Neutralelement in G\/N und daher haben \c und \c^~ den gleichen Grad. array( )q.e.d. \geoon xy(2,15) e(150,100) noaxis() nolabel() replace() form(.) pfeil(8.2,4.2,11.5,9.5) pfeil(4.5,10,11.5,10) pfeil(4.5,9.5,7.8,4.2) print(\r,7.5,11.6) print(\p,5.0,7.2) print(\r^~,10.3,7.4) print(G,3.8,11) print(GL(V),11.7,11) print(G\/N,7.2,4) print(<~,7.0,9.2) \geooff geoprint() (Danke Stefan_K für die Mühe das Diagramm zu fedden) \r=\r^~\circ \p heißt Liftung von \r^~ \stress\ array(Definition)__ Sei N<|G und \c^~ ein Charakter von G\/N. Dann heißt der Charakter \c :G-> \IC die Liftung von \c^~ auf G. \stress\ array(SATZ 11)__ Sei N<| G. Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Charaktere von G\/N und der Menge der Charaktere von G, die N in ihrem Kern enthalten. Hierbei entsprechen irreduzible Charaktere von G\/N grade den irreduziblen Charakteren von G, die N in ihrem Kern enthalten. Aus einer Charaktertafel für G\/N lassen sich also genausoviele irreduzible Charaktere von G gewinnen. \stress\ array(Beispiel)__ \normal\ G=S_4, N=V_4=menge(1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) V_4 heißt auch Kleinsche Vierergruppe. In Teil 2 hatten wir V_4 bereits als Normalteiler von S_4 erkannt. S_4 \/V_4 ist eine Gruppe der Ordnung 4!/4=6 Setze nun a=(123)N und b=(12)N dann ist G\/N=\ und a^3=b^2=N, b^(-1) ab=a^(-1) G\/N ~= D_6~=S_3 Die Charaktertafel für S_3 haben wir bereits bestimmt:

N (12)N (123)N
\c^~_1

1

1

1

\c^~_2

1

-1

1

\c^~_3

2

0

-1

Wir wissen, S_4 hat 5 Konjugationsklassen und damit 5 irred. Charaktere. Vertreter der Konjugationsklassen : 1, (12), (123),(12)(34) und (1234). Wir wollen jetzt den Lift \c zum Charakter \c^~ von G\/N berechnen. Es gilt ja \c^~(gN)=\c(g). Also kennen wir schon \c(1), \c((12)) und \c((123)). Uns fehlen noch \c((12)(34)) und \c((1234)) Es ist \c((12)(34))=\c^~(N) da (12)(34)\el N \c((1234))=\c^~((24)N) da (1234)=(24)(34)(12) Das heißt also, die Spalten von 1 und (12)(34) sowie von (12) und (1234) sind gleich. Wir kennen jetzt schon drei der 5 irreduziblen Charaktere von S_4:

1 (12) (123) (12)(34) (1234)
\c_1

1

1

1

1

1

\c_2

1

-1

1

1

-1

\c_3

2

0

-1

2

0

\c_4

a

b

c

d

e

\c_5

a'

b'

c'

d'

e'

Den Rest der Tafel bestimmen wir mittels Orthogonalitätsrelationen. Aus Teil 2 haben wir noch folgende Informationen für S_4: array(Konjugationsklasse array( ) 1 array( ) (12) array( ) (123) array( ) (12)(34) array( ) (1234))__ abs(x^G) array( ) 1 array( ) 6 array( ) 8 array( ) 3 array( ) 6 abs(C_G (x)) array( ) 24 array( ) 4 array( ) 3 array( ) 8 array( ) 4 Außerdem wissen wir summe(n_i^2)=abs(G) wobei n_i=\c_i(1): Also a^2+a'^2+1^2+1^2+2^2=24 => a^2+a'^2=18 => array(a=a'=3)____ array(Spaltenorthogonalität: 1. und 2. Spalte:)__ 1*1+1*(-1)+2*0+3*b +3*b'=0 => 3*b+3*b'=0 => b=-b' array(Spaltenorthogonalität: 2. und 2. Spalte:)__ 1*1+(-1)*(-1)+0*0+b*b+b'*b'=4 => b*b+b'*b'=2 => b, b' \el menge(1,-1) o.B.d.A. array(b=1)____ und array(b'=-1)____ array(Spaltenorthogonalität: 3. und 3. Spalte:)__ 1*1+1*1+(-1)*(-1) + c*c +c'*c'=3 => array(c=c'=0)____ array(Spaltenorthogonalität: 4. und 4. Spalte:)__ 1*1+1*1+2*2+d*d+d'*d'=8 => d*d+d'*d'=2 => d, d' \el menge(1,-1) array(Spaltenorthogonalität: 2. und 4. Spalte:)__ 1*1+(-1)*1+0*(-1)+1*d+(-1)*d'=0 => d=d'=\pm 1 array(Spaltenorthogonalität: 1. und 4. Spalte:)__ 1*1+1*1+2*2+3*d+3*d'=0 => array(d=d'=-1)____ array(Spaltenorthogonalität: 5. und 5. Spalte:)__ 1*1+(-1)*(-1)+0*0+e*e+e'*e'=4 => e*e+e'*e'=2 => e, e' \el menge(1,-1) array(Spaltenorthogonalität: 2. und 5. Spalte:)__ 1*1+(-1)*(-1)+0*0+1*e+(-1)*e'=0 => array(e=-1)____ und array(e'=1)____ Nun haben wir also die Charaktertafel von S_4 bestimmt:

1 (12) (123) (12)(34) (1234)
\c_1

1

1

1

1

1

\c_2

1

-1

1

1

-1

\c_3

2

0

-1

2

0

\c_4

3

1

0

-1

-1

\c_5

3

-1

0

-1

1


Normalteiler via Charaktertafel

Wie wir sehen werden enthält die Charaktertafel Informationen über die Struktur einer Gruppe. Zum Beispiel kann man, wenn man die Charaktertafel einer Gruppe G gegeben hat, die Normalteiler von G finden bzw. bestimmen ob G einfach ist oder nicht. Der Kern ker\c=menge(g \el G : \c(g)=\c(1)) eines Charakters ist ein Normalteiler und läßt sich einfach an den Einträgen der Charaktertafel ablesen. Außerdem ist jede Untergruppe, die Durchschnitt von Kernen irreduzibler Charaktere ist ein Normalteiler: \stress\ \array(Lemma 6)__ Für jeden Normalteiler N<| G gibt es irreduzible Charaktere \c_1\,...\,\c_s von G mit N= cut(ker\c_i,i=1,s) \stress\ \array(Beweis)__ Wenn g\el G zum Kern jedes irreduziblen Charakters von G gehört, dann gilt \c(g)=\c(1) für alle irred. \c von G. Dann gilt g=1 \frame\ \small\ g, h \el G. \small\ g ist konjugiert zu h <=> \c(g)=\c(h) \forall\ Charaktere von G \small\Beweis____ \small\ => ist einfach \small\ <== : \c(g)=\c(h) für alle Charaktere \c von G. Da die Charaktere von G eine \small\Basis für den Raum aller Klassenfunktionen \psi von G bilden gilt auch \small\ \psi(g)=\psi(h) \forall\ \psi. Also auch für die Klassenfunktion, die 1 ist auf der \small\ Konjugationsklasse von g und 0 sonst. \frameoff \small\Also ist \psi(g)=\psi(h)=1 => g und h sind konjugiert. array( )q.e.d. Somit ist cut(ker\c,\c irred.,)=menge(1) Seien \c^~_1\,...\,\c^~_s die irred. Charaktere von G\/N (nach SATZ 11 sind es genau s Stück) Dann gilt nach Obigem cut(ker \c^~_i,i=1,s)=menge(N) Seien \c_1\, ...\;\c_s die jeweiligen Liftungen von \c^~_i nach G. Für g \el ker\c_i gilt gN \el ker \c^~_i. D.h. g \el cut(ker \c_i,i=1,s) => gN \el cut(ker \c^~_i,i=1,s)=menge(N) <=> g \el N array( )q.e.d. \stress\ \array(Beispiel)__ \normal\ Normalteiler von S_4 In Teil 2 hatten wir bereits die Normalteiler von S_4 bestimmt. Jetzt können wir anhand der Charaktertafel die Normalteiler auch direkt ablesen: N_1 = menge(1) und N_2 = G =S_4 sind immer Normalteiler. \c_3(1)=2=\c_3((12)(34)) : N_3 = (1)^(S_4)\union\(12)(34)^(S_4) \c_2(1)=1=\c_2(123)=\c_2((12)(34)) : N_4 = (1)^(S_4)\union\(12)(34)^(S_4)\union\(123)^(S_4) Dies sind alle Normalteiler von S_4. \stress\ \array(SATZ 12)__ Sei \r: G-> GL(V) eine Darstellung mit Charakter \c. (1) Für jedes g \el G gilt abs(\c(g))=\c(1) <=> \r_g = \l *Id , für \l \el \IC (2) ker \r = menge(g \el G : \c(g)=\c(1) )=: ker \c \stress\ \array(Lemma 7)__ Die Gruppe G ist nicht einfach <=> für ein \c !=\c_triv und ein g != 1 gilt \c(g)=\c(1). \stress\ \array(Beispiel)__ \normal Die Charaktertafel von A_5 Die Charaktertafel von A_5 können wir erstmal nicht so leicht bestimmen, da wir hierfür noch eine Technik benötigen, die ich noch nicht beschrieben habe. Liften geht gerade nicht, da A_5 keine nichttrivialen Normalteiler hat, also einfach ist. Das ist auch der Grund für dieses Beispiel:

1 (123) (12345) (21345) (12)(34)
\c_1

1

1

1

1

1

\c_2

4

1

-1

-1

0

\c_3

5

-1

0

0

1

\c_4

3

0

\a

\b

-1

\c_5

3

0

\b

\a

-1

wobei \a , \b \el menge((1\pm sqrt(5))/2) A_5 ist einfach: für alle \c != \c_triv=\c_1 und alle g !=1 gilt \c(g)!=\c(1) \stress\ \array(Anmerkungen)__ A_5 ist die kleinste, nichtkomutative einfache Gruppe. abs(A_5)=60 Enger Zusammenhang zur Galoistheorie: Die allgem. Gleichung 5. Grades ist nicht durch Radikalen auflösbar. Mehr zum Thema Auflösbarkeit und Galoistheorie findet sich in Gockels Gruppentheorie: Gruppenzwang VI

1-dimensionale Charaktere und die Kommutator-Untergruppe

Die ersten Charaktere, nach denen man üblicherweise sucht, sind die linearen (1-dim.) Charaktere. Es ist nützlich, geliftete Charaktere abelscher Quotientengruppen zu betrachten (diese sind automatisch linear). Wir betrachten jetzt den größten abelschen Quotienten einer Gruppe: \stress\ array(Definition)__ Für eine Gruppe G bezeichnet G' die Kommutator-Untergruppe \(oder auch derivierte Untergruppe\) von G, die definiert ist durch G' := \< g^(-1) h^(-1) gh : g,h \el G \> Bezeichnung: g^(-1) h^(-1) gh =: [g,h] \stress\ array(Beispiele)__ (1) Wenn G abelsch ist, ist G'=menge(1) da g^(-1) h^(-1) gh=1 <=> gh=hg (2) G=S_3. Jedes [g,h], g,h \el S_3 ist eine gerade Permutation also G' <= A_3 Mit g=(12) und h=(23) => [g,h]=(123) => A_3 <= G' => G'=A_3 Wir werden sehen, daß G'<| G ist und das die linearen Charaktere von G gerade die Liftungen der irreduziblen Charaktere von G\/G' nach G sind. \stress\ array(Lemma 8)__ Für jeden linearen Charakter \c von G gilt G' <= ker \c \stress\ array(Beweis)__ \c sei ein linearer Charakter von G. Dann ist \c ein Homomorphismus von G in die multiplikative Gruppe der Komplexen Zahlen ungl. Null. Also gilt für alle g,h \el G: \c(g^(-1) h^(-1) gh)=\c(g)^(-1) \c(h)^(-1) \c(g)\c(h)=1 => G'<= ker \c array( )q.e.d. Die für uns interessanten Eigenschaften der Kommutator-Untergruppe sind die folgenden \stress\ array(Lemma 9)__ (1) G' <| G (2) Für jeden Normalteiler N <| G gilt: G' <= N <=> G\/N abelsch. Insbesondere ist G\/G' abelsch. \stress\ array(Beweis)__ (1) Für alle a,b, x \el G gilt x^(-1) (ab) x = (x^(-1) ax) (x^(-1) bx) array( )und array( ) x^(-1) a^(-1) x=(x^(-1) ax)^(-1) Zu zeigen: x^(-1) [g,h] x \el G' \forall x \el G x^(-1) [g,h] x = x^(-1) g^(-1) h^(-1) g h x><=(x^(-1) g^(-1) x)(x^(-1) h^(-1) x)(x^(-1) g x)(x^(-1) h x) array( )x^(-1) g^(-1) h^(-1) g h x><=(x^(-1) g x)^(-1) (x^(-1) h x)^(-1) (x^(-1) g x)(x^(-1) h x) array( )x^(-1) g^(-1) h^(-1) g h x><=[x^(-1) g x , x^(-1) h x] \el G' (2) Seien g, h \el G. Dann gilt g^(-1) h^(-1) g h \el N <=> ghN=hgN <=> (gN)(hN)=(hN)(gN) Also G'<= N <=> G\/N abelsch. array( )q.e.d. G' ist also der kleinste Normalteiler N von G so, daß G\/N abelsch ist. \stress\ array(SATZ 13)__ Die linearen Charaktere von G sind genau die Liftungen der irreduziblen Charaktere von G\/G'nach G. Insbesondere ist die Anzahl der verschiedenen linearen Charaktere von G gleich abs(G\/G') und teilt somit abs(G). \stress\ array(Beweis)__ Der Beweis ist nicht schwierig, deswegen führe ich den nicht komplett. Die Aussage folgt aber aus: Lemma 5, SATZ 11 und Lemma 8. \stress\ array(Beispiel)__ \normal\ die Kommutator-Untergruppe von S_n n=1,2 => G=S_n ist abelsch also G'=menge(1) n=3 hatten wir bereits als Beispiel S'_3=A_3 n>=4. Es gilt S_n \/A_n ~= C_2 abelsch und daher G'<=A_n (Lemma 9, (2)) Für g=(12), h=(23) und k=(12)(34) gilt [g,h] = (12)(23)(12)(23)=(123) [h,k] = (14)(23) Da G'<|G sind auch (123)^G und (14)(23)^G in G' enthalten. G' enthält also alle 3-er Zyklen und alle Zyklen der Form (..)(..)=(2,2). Jedes Produkt von zwei Transpositionen ist 3-er Zyklen oder von der Form (2,2), oder trivial. A_n besteht aus den graden Permutationen, also ist jedes Element aus A_n ein Produkt von grade vielen Transpositionen. Also A_n <= G'. => A_n =G' \stress\ array(Die linearen Charaktere von S_n für n>= 2)__ Wie wir gerade gesehen haben ist S'_n=A_n. S_n \/S'_n =menge(A_n , (12)A_n)~= C_2. Die Gruppe S_n \/S'_n hat zwei lin. Charaktere \c^~_1 und \c^~_2 mit \c^~_1 ((12)A_n ) = 1 array( ) \c^~_2 ((12)A_n )=-1 Nach SATZ 13 hat S_n also genau zwei lineare Charaktere \c_1 und \c_2 und zwar: \c_1 (g) =1 \forall g \el S_n der triviale Charakter (auch \c_triv) \c_2 (g) = fdef(1,für g \el A_n;-1,für g \notel\ A_n) der alternierende Charakter (auch \c_alt) Der alternierende Charakter \c_alt ist der Charakter zur Signum-Darstellung, die wir in Teil 2: Charaktertheorie als Beispiel hatten (Darstellungen von S_3). Die linearen Charaktere einer Gruppe sind nicht nur wichtig, weil sie irreduzibel sind. Man kann sie auch benutzen, um neue irreduzible Charaktere aus alten zu konstruieren: \stress\ array(Lemma 10)__ Sei \c ein Charakter von G und \l ein linearer Charakter von G. Dann ist auch \c * \l ein Charakter von G. Außerdem gilt: Wenn \c irreduzibel ist, so ist auch \c*\l irreduzibel. \stress\ array(Beweis)__ Das Produkt \c*\l ist der Charakter zur Tensordarstellung der entsprechenden Darstellungen zu \c un \l. \frame\ \small\ \stress\ \small\ Definition__ \small\ Das Tensorprodukt zweier Darstellungen \rho^1 :G->GL(V_1) und \rho^2 :G->GL(V_2) \small\ derselben Gruppe G ist definiert als die Darstellung, für die \small\ \rho_s \el GL(V_1 \otimes V_2)gegeben ist durch \small\ \small\ \rho_s (v_1\otimes v_2)=\rho_s^1(v_1)\otimes \rho_s^2 (v_2) $|$|$ \forall\ \small\ v_1 \el V_1, v_2 \el V_2, s \el G \small\ \small\ Notation:__ \rho_s = \rho_s^1 \otimes \rho_s^2 \small\ \small\ Das Tensorprodukt von zwei irreduziblen Darstellungen muß nicht irreduzibel \small\ sein. Aber es zerlegt sich natürlich in solche. \small\ \small\ Der Charakter \chi zur Tensorproduktdarstellung \rho^1 \otimes \rho^2 ist das Produkt der Charaktere zu \rho^1 und \rho^2 : \chi_1 * \chi_2 \small\ \frameoff\small\ (Aus Teil 1: Lineare Darstellungen und Teil 2: Charaktertheorie) Außerdem gilt: \align \<\c*\l,\c*\l\>=1/abs(G) summe(\c(g)\l(g) \c(g)^- \l(g)^-,g \el G) = 1/abs(G) summe(\c(g)\l(g) \l(g)^- \c(g)^-,g \el G) = 1/abs(G) summe(\c(g) \c(g)^-,g \el G) = \<\c,\c\> \stopalign => \c*\l ist irreduzibel <=> \c ist irreduzibel array( )q.e.d. \stress\ Bemerkung__ \l ist ein linearer Charakter. \l(g) ist Einheitswurzel \forall g \el G. also ist \l(g) \l(g)^- =1

Permutationscharaktere

\frame \small\ array(Die Permutationsdarstellung)__ \small\ G operiere auf einer endlichen Menge X, d.h. jedes s\el G permutiert die Elemente von X wobei 1_G die triviale Permutation ist und \small\ \small\ (st)x=s(tx) \forall\ s,t \el G und \forall\ x \el X \small\ \small\ Sei nun V der abs(X)-dim VR mit Basis \( e_x \)_(x\el X). Dann kann jedem s \el G \small\ diejenige lin. Abbildung \rho_s \el GL(V) ~= GL_(abs(X)) (\IC) zugeordnet \small\ werden, die e_x |->e_(sx) abbildet für alle x \el X. \small\ \small\ array( ) \small\ \small\ array(SATZ von Cayley)__ \small\ Jede endl. Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe einer Permutationsgruppe. \frameoff\small\ Hat G die Ordnung n, so ist G isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_n. Betrachtet man G als Untergruppe der S_n, wobei n minimal, hat man immer die Permutationsdarstellung in GL_n (\IC). Ihr Charakter \pi ist definiert als die Abbildung \pi: G->\IN , g \mapsto abs(menge(x \el X : gx=x))=abs(fix(g)) die jedem g \el G die Anzahl seiner Fixpunkte auf X zuordnet, bzw. die Anzahl der Basisvektoren, die unter der Matrix \r_g fest bleiben. \pi hießt Permutationscharakter. Für abs(X)>1 ist die Permutationsdarstellung nicht irreduzibel. \stress\ Beispiel__ \normal G=S_4

1 (12) (123) (12)(34) (1234)
\pi

4

2

1

0

0

Um das etwas zu verdeutlichen stellen wir die Repräsentanten der Konjugationsklassen als Permutationsmatrizen in GL_4 (\IC) dar. Als Basis wählen wir die Standardbasis \(e_j \), j=1,...,4: 1= (1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1), (12)=(0,1,0,0;1,0,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1), (123)=(0,0,1,0;1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,0,1), (12)(34)=(0,1,0,0;1,0,0,0;0,0,0,1;0,0,1,0), (1234)=(0,0,0,1;1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0) \stress\ array(Lemma 11)__ Sei G eine Untergruppe der S_n. Dann ist die Funktion \n :G -> \IC mit \n(g)=abs(fix(g))-1 \forall g \el G ein Charakter von G. \stress\ array(Beweis)__ Die Permutationsdarstellung V~=\IC^n von G hat die triviale Unterdarstellung U=\<(1;.;.;1)\> \subset V. Dazu gibt es eine G-invariante komplementäre Unterdarstellung W von V so, daß V=U\oplus W und für die Charaktere gilt somit \pi=\c_triv + \n wobei \n der Charakter zu W ist. Somit ist abs(fix(g))=\pi(g)=1+\n(g) \forall g \el G. Also ist \n(g)=abs(fix(g))-1 \forall g \el G array( )q.e.d.

Charaktertafeln zu S_5 und S_6

Bevor wir die Charaktertafeln zu S_5 und S_6 konstruieren noch ein kleiner Nachtrag zu Teil 1: Lineare Darstellungen, Tensorproduktdarstellungen
Äußere und symmetrische Potenz
In Teil 1: Lineare Darstellungen haben wir bereits Tensorprodukte von Darstellungen \r^1 und \r^2 einer Gruppe G betrachtet \frame\ \small\ \stress\ Definition__ \small\ Das Tensorprodukt zweier Darstellungen \rho^1 :G->GL(V_1) und \rho^2 :G->GL(V_2) \small\ derselben Gruppe G ist definiert als die Darstellung, für die \small\ \rho_s \el GL(V_1 \otimes V_2)gegeben ist durch \small\ \small\ \rho_s (v_1\otimes v_2)=\rho_s^1(v_1)\otimes \rho_s^2(v_2) $|$|$ \forall\ v_1 \el V_1, v_2 \el V_2, s \el G \small\ \small\frameoff\ Notation:__ \rho_s = \rho_s^1 \otimes \rho_s^2 Falls V_1 =V_2 =V eine Darstellung von G ist, können wir Unterdarstellungen von V \otimes V betrachten. Es gibt einen Automorphismus \Theta: V \otimes V -> V \otimes V , der die beiden Faktoren (nicht die Vektoren) von V vertauscht, d.h. für eine Basis \(e_i \) von V gilt \Theta(e_i \otimes e_j) = e_j \otimes e_i \forall i,j = 1, ..., dim(V) Dann folgt auch \Theta(x \otimes y)=y \otimes x \forall x,y \el V => \Theta ist unabh. von der Basiswahl. \Theta^2=id => \Theta^(-1)=\Theta also \Theta ist Automorphismus. \Theta operiert auf V \otimes V und läßt diverse Vektoren in V \otimes V invariant: e_i\otimes e_j + e_j\otimes e_i \mapsto e_j\otimes e_i + e_i\otimes e_j \(e_i\otimes e_j + e_j\otimes e_i \)_(i<=j) bildet eine Basis von \Theta-invarianten Vektoren. Der Vektorraum, der von dieser Basis aufgespannt wird, heißt Sym^2(V) bzw. zweite symmetrische Potenz von V. Das Koplement dazu ist der \Theta-antiinvariante UR von V und wird mit \L^2 (V), bzw. zweite alternierende Potenz von V, bezeichnet und eine Basis ist gegeben durch \(e_i\otimes e_j - e_j\otimes e_i \)_(i<=menge(x \el V\otimes V : \Theta(x)=x) zweite symmetrische Potenz von V \L^2(V) ><=menge(x \el V\otimes V : \Theta(x)=-x) zweite alternierende Potenz von V \stopalign V\otimes V = Sym^2(V) \oplus \L^2(V) und dim(Sym^2(V))=n(n+1)/2 , dim(\L^2(V))=n(n-1)/2 Definiere \c_\s als Charakter von Sym^2(V) und \c_\a als Charakter von \L^2(V). Sei \c der Charakter von V dann ist \c^2 der Charakter von V \otimes V und \c^2 =\c_\s +\c_\a Für g \el G sind \c_\s (g) = 1/2 (\c^2(g) + \c(g^2 )) und \c_\a (g) = 1/2 (\c^2(g) - \c(g^2 )) \stress\ Beispiel__ Oben haben wir schon die Charaktertafel für S_4 gefunden. Wir berechnen jetzt \c_\s und \c_\a aus \c_4 =\c:

1 (12) (123) (12)(34) (1234)
\c

3

1

0

-1

-1

\c_\s

6

2

0

2

0

\c_\a

3

-1

0

-1

1

Man sieht, daß \c_\s = \c_1+\c_3+\c_4 und \c_\a = \c_5 \stress\ array(Charaktertafel von S_5)__ Aus Teil 2: Charaktertheorie wissen wir: array(Konjugationsklasse array( ) 1 array( ) (12) array( ) (123) array( ) (12)(34) array( ) (1234) array( ) (123)(45) array( ) (12345) )__ array(abs(x^G) array( ) 1 array( ) 10 array( ) 20 array( ) 15 array( ) 30 array( ) 20 array( ) 24) array(abs(C_G(x)) array( ) 120 array( ) 12 array( ) 6 array( ) 8 array( ) 4 array( ) 6 array( ) 5) S_5 hat also 7 irreduzible Charaktere. \stress (a) array(Lineare Charaktere)__ Wir wissen mitlerweile, daß S_5 genau zwei lineare Charaktere hat nämlich \c_triv (x) =1 \forall x \el S_5 array( ) und array( ) \c_alt (x) = fdef(1,für x \el A_5;-1,für x \notel\ A_5) \stress (b) array(Der Permutationscharakter)__ Lemma 11 gibt uns einen weiteren Charakter \c_3 = abs(fix(x)) -1 für x\el S_5 \c_3 ist irreduzibel da \<\c_3 , \c_3 \> = 4^2/120 + 2^2/12 + 1^2/6 + (-1)^2/6 + (-1)^2/5 = 1 Mit Lemma 10 erhalten wir einen weiteren irreduziblen Charakter: \c_4 = \c_3*\c_2 Wir haben nun also schon vier irreduzible Charaktere von S_5 gefunden. Die Charaktertafel von S_5 lautet soweit:

1 (12) (123) (12)(34) (1234) (123)(45) (12345)
\c_1

1

1

1

1

1

1

1

\c_2

1

-1

1

1

-1

-1

1

\c_3

4

2

1

0

0

-1

-1

\c_4

4

-2

1

0

0

1

-1

\stress (b) array(Tensorprodukte)__ Um die fehlenden drei Charaktere zu finden nehmen wir die Tensorprodukte zu Hilfe: \c = \c_3. Die Charaktere \c_\s und\c_\a sind die folgenden:

1 (12) (123) (12)(34) (1234) (123)(45) (12345)
\c_\s

10

4

1

2

0

1

0

\c_\a

6

0

0

-2

0

0

1

\c_\a ist irreduzibel da \<\c_\a , \c_\a \>=36/120 + 4/8 + 1/5 = 1 Wir haben also den fünften irreduziblen Charakter gefunden -> \c_\a = \c_5 \c_\s ist nicht irreduzibel da \<\c_\s , \c_\s \>=100/120 + 16/12 + 1/6 + 4/8 +1/6 =3 \c_\s zerlegt sich also in drei \(nicht notwendig paarweise verschiedene\) irreduzible Charaktere (SATZ 4 in Teil 2: Charaktertheorie). Wir wollen doch mal sehen, welche unserer bereits bekannten irreduziblen Charaktere wie oft in \c_\s vorkommt: \<\c_\s , \c_1 \>=10/120 + 4/12 + 1/6 + 2/8 + 1/6 = 1 \<\c_\s , \c_2 \>=10/120-4/12+1/6+2/8-1/6=0 \<\c_\s , \c_3 \>=40/120 + 8/12 + 1/6 - 1/6 = 1 \<\c_\s , \c_4 \>=40/120 - 8/12 + 1/6 +1/6 = 0 \<\c_\s , \c_5 \>=60/120 - 4/8=0 \c_1 und \c_3 kommen also genau einmal in \c_\s vor. Außerdem noch ein irreduzibler Charakter \c_6 mit Grad 5 (Grad(\c_\s )= 10 = Grad(\c_1 ) + Grad(\c_3 ) + Grad(\c_6 )) \c_6 = \c_\s - \c_1 - \c_3. Anschließend bekommen wir noch einen weiteren irreduziblen Charakter \c_7 = \c_6*\c_2. Nun haben wir also die vollständige Charaktertafel zu S_5 gefunden:

1 (12) (123) (12)(34) (1234) (123)(45) (12345)
\c_1

1

1

1

1

1

1

1

\c_2

1

-1

1

1

-1

-1

1

\c_3

4

2

1

0

0

-1

-1

\c_4

4

-2

1

0

0

1

-1

\c_5

6

0

0

-2

0

0

1

\c_6

5

1

-1

1

-1

1

0

\c_7

5

-1

-1

1

1

-1

0

\stress\ array(Charaktertafel von S_6)__ Die ersten Charaktere werden wir ähnlich wie oben finden. Anschließend bleiben aber noch drei, die wir über die Orthogonalitätsrelationen finden. abs(S_6)=720 Jede Zykelform vertritt genau eine Konjugationsklasse. Es gibt also 11 Konjugationsklassen:

\stress\1 \stress\(12) \stress\(123) \stress\(12)(34) \stress\(1234) \stress\(123)(45) \stress\(12345) \stress\(1234)(56) \stress\(12)(34)(56) \stress\(123456) \stress\(123)(456)
abs(C_G(x))

720

48

18

16

8

6

5

8

48

6

18

abs(x^G)

1

15

40

45

90

120

144

90

15

120

40

abs(C_G(x)) und abs(x^G) zu bestimmen ist bei einer so großen Gruppe nicht sehr einfach. Man kann sich aber folgendes zu Hilfe nehmen: abs(x^G) = abs(G)/abs(C_G(x)) und abs(G)=summe(abs(x_i^G)) wobei die x_i Vertreter der Konjugationsklassen von G sind. Wir suchen also 11 irreduzible Charaktere. \stress (a) array(Lineare Charaktere)__ S_6 hat genau zwei lineare Charaktere nämlich: \c_triv (x) =1 \forall x \el S_6 array( ) und array( ) \c_alt (x) = fdef(1,für x \el A_6;-1,für x \notel\ A_6) \stress (b) array(Permutationscharakter und Tensorprodukte)__ \c_3 = abs(fix(x)) -1 für x\el S_6 und \c_3 ist irreduzibel da \<\c_3 , \c_3 \> = 5^2/720 + 3^2/48 + 2^2/18 + 1^2/16 + 1^2/8 +(-1)^2/48 + (-1)^2/18+(-1)^2/8 +(-1)^2/6 = 1 und \c_4 = \c_3*\c_2 \c=\c_3 dann berechnen sich \c_\s und \c_\a wie folgt:

\stress\1 \stress\(12) \stress\(123) \stress\(12)(34) \stress\(1234) \stress\(123)(45) \stress\(12345) \stress\(1234)(56) \stress\(12)(34)(56) \stress\(123456) \stress\(123)(456)
\c_3

5

3

2

1

1

0

0

-1

-1

-1

-1

\c_\s

15

7

3

3

1

1

0

3

0

1

0

\c_\a

10

2

1

-2

0

-1

0

-2

1

0

1

\<\c_\a , \c_\a \> = 1 und \<\c_\s , \c_\s \> = 3 \c_\a ist also irreduzibel -> \c_\a = \c_5 \c_\s ist reduzibel und zerlegt sich wie im Beispiel S_5 in drei \(nicht notwendig paarw. verschiedene\) irreduzible. Genau wie für S_5 testen wir hier die schon gefundenen irreduziblen Charaktere durch und finden: \c_\s =\c_2 + \c_3 + \c_7 wobei \c_7 ein unbekannter irreduzibler Charakter mit Grad(\c_7 )=9. \c_7 = \c_\s -\c_2 - \c_3. Den nächsten Charakter \c_8 finden wir wieder mit \c_8=\c_7*\c_2. Wir haben also wieder relativ schnell viele irreduzible Charakter gefunden. Die Charaktertafel soweit:

\stress\1 \stress\(12) \stress\(123) \stress\(12)(34) \stress\(1234) \stress\(123)(45) \stress\(12345) \stress\(1234)(56) \stress\(12)(34)(56) \stress\(123456) \stress\(123)(456)
abs(C_G(x))

720

48

18

16

8

6

5

8

48

6

18

abs(x^G)

1

15

40

45

90

120

144

90

15

120

40

\c_1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

\c_2

1

-1

1

1

-1

-1

1

-1

1

1

-1

\c_3

5

3

2

1

1

0

0

-1

-1

-1

-1

\c_4

5

-3

2

1

-1

0

0

1

-1

-1

1

\c_5

10

2

1

-2

0

-1

0

-2

1

0

1

\c_6

10

-2

1

-2

0

1

0

2

1

0

-1

\c_7

9

3

0

1

-1

0

-1

3

0

1

0

\c_8

9

-3

0

1

1

0

-1

-3

0

1

0

\c_9

\c_10

\c_11

\stress (c) array(Orthogonalitätsrelationen)__ Den Rest der Charaktertafel zu füllen überlasse ich als "kleine" Aufgabe. Wer sein Ergebnis prüfen möchte kann mir eine PM schicken oder nachsehen in: (Gordon James & Martin Liebeck: Representations an Characters of Groups, Seite 205 )

Vermischtes

Das wars erstmal. Drei Artikel sind geschrieben, einer länger als der andere. Am Ende haben wir die Charaktertafel von recht großen Gruppen bestimmt. Aber war das alles? Nein natürlich nicht. Die Charaktertafel von A_5 zum Beispiel konnten wir noch nicht bestimmn, und können wir auch jetzt noch nicht. Diese Artikelserie ist quasi nur ein Einstieg in die Darstellungstheorie. Es gibt einen Zusammenhang zwischen Darstellungen und sogenannten F[G]-Moduln. Im wesentlichen sind beide Begriffe äquivalent jedoch haben die F[G]-Moduln eine Zusatzstruktur, welche es uns ermöglicht weitere Techniken anzuwenden: Einschränkung des \IC [G]-Moduls auf eine Untergruppe H von G Induktion eines \IC [H]-Moduls zu einem \IC [G]-Modul wobei H<=G Über die Betrachtung algebraisch ganzer Zahlen gelangt man dann auch zu dem Schluss, daß alle Charakterwerte der symmetrischen Gruppe ganze Zahlen sind. Soweit so gut. Viel Spaß mit der Darstellungstheorie Jana
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Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere [von jannna]  
3. Teil der Serie "Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an" über Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere
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201304-04 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=äußere direkte produkt gruppe beweis
201210-10 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=normalteiler aus charaktertafel ablesen
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201306-06 (4x)http://www.benefind.de/web.php?q=charaktertafel symmetrische gruppe

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"Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 3" | 4 Comments
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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 3
von: Stefan_K am: Di. 26. Juli 2005 15:09:26
\(\begingroup\)Hallo Jannna, das ist ja viel Stoff zu lesen! Danke für Deine Mühe. Für Lemma 5 schlage ich dieses Diagramm mit dem fed vor: \geoon xy(2,15) e(150,100) noaxis() nolabel() replace() form(.) pfeil(8.2,4.2,11.5,9.5) pfeil(4.5,10,11.5,10) pfeil(4.5,9.5,7.8,4.2) print(\r,7.5,11.6) print(\p,5.0,7.2) print(\r^~,10.3,7.4) print(G,3.8,11) print(GL(V),11.7,11) print(G\/N,7.2,4) \geooff geoprint() Deinen Literaturhinweis kann man (als Windows-Nutzer zumindest) online lesen: James/Liebeck: Representations and Characters of Groups Viele Grüße, Stefan_K \(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 3
von: jannna am: Di. 26. Juli 2005 15:56:05
\(\begingroup\)Hallo Danke für das Diagramm, das hab ich eingefügt. Den James/Liebeck online lesen hängt nicht am betriebssystem sondern an installiertem Java (glaube ich oder zumindest sowas in der Art) Grüße Jana \me bevorzugt Bücher aus Papier\(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 3
von: FlorianM am: Mi. 27. Juli 2005 09:48:12
\(\begingroup\)Sehr schöner, langer Artikel. :) gefällt mir so gut wie deinen anderen beiden Teile. :)\(\endgroup\)
 

Darstellung der A5
von: Stefan_K am: Mo. 27. Februar 2006 14:03:48
\(\begingroup\)Hallo Jana, ich habe wieder einmal mit Interesse in Deinen Darstellungstheorie-Artikeln gelesen. Bei der Angabe der Charaktertafel der Alternierenden Gruppe A5 hast Du auf ihre Herleitung verzichtet, dazu möchte ich eine geometrische Veranschaulichung anfügen, nämlich zu einer dreidimensionalen Darstellung (Charaktergrad 3) durch orthogonale Matrizen. Die Alternierende Gruppe A5 ist isomorph zur Rotationsgruppe I des Ikosaeders (und dessen Dual, des Dodekaeders, Bilder dieser Polyeder siehe Fabis Artikel). Daher ist sie isomorph zu einer Untergruppe der SO(3), deren Darstellung durch Rotations-Matrizen recht bekannt ist. Erzeuger von I sind Drehungen um zwei verschiedene Symmetrieachsen, eine Präsentation von I ist \ \void braket(a\,b \ ,a^5\,b^2\,(ab)^3), Repräsentanten der 5 Konjugationsklassen sind Drehungen um \ \void 0, (2\pi)/5, (4\pi)/5, (2\pi)/3, \pi. Am Beispiel der zweiten Klasse: \Eine Drehmatrix um Winkel (2\pi)/5 ist (1,0,0;0,cos((2\pi)/5),-sin((2\pi)/5);0,sin((2\pi)/5),cos((2\pi)/5)) Als Spur dieser Matrix sieht man \ \void 1+2cos((2\pi)/5) = (1+wurzel(5))/2 womit wir einen Charakterwert zu dieser Klasse haben, siehe obige Charaktertafel zu A5. Dieser Wert entspricht dem Goldenen Schnitt. Das Auftauchen des Goldenen Schnitts in der Charaktertafel der A5 liegt also an der enthaltenen Drehung der Ordnung 5, Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks stehen zu dessen Seiten in diesem Verhältnis (ebenfalls einander gegenüberliegende Kanten des Ikosaeders). Die anderen Charakterwerte ergeben sich analog als Spuren von Drehmatrizen. Mit der Zuordnung der obigen Drehmatrix um (2\pi)/5 zu (12345) und des anderen Erzeugers (der Drehung um \pi) zu (12)(34) erhalten wir den Charakter \c_4. \c_5 ergibt sich analog bei Zuordnung der Drehung um (2\pi)/5 zu(21345). \ \void Stefan_K \(\endgroup\)
 

 
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