Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2
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Mathematik

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Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder:
auf den Charakter kommt es an

Teil 2: Charaktertheorie

Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen. Dies ist der zweite von drei Teilen: Teil 1: Lineare Darstellungen Teil 2: Charaktertheorie Teil 3: Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere Zuerst werde ich einige wichtie Begriffe klären bevor wir dann zur Charaktertheorie kommen. Am Ende werden wir wichtige Eigenschaften von Gruppen aus der Charaktertafel ablesen können. Voraussetzung für diese Artikel ist sicherlich Lineare Algebra und ein bisschen Gruppentheorie. Ich empfehle Gockels Gruppenzwang.

Erinnerung

In Teil 1 haben wir uns mit linearen Darstellungen befasst. Hier nochmal die wichtigsten Stichpunkte: \stress\ \* \normal \r :G->GL(V)~=GL_n(\IC) \r Darstellung von G, Gruppenhomomorphismus GL(V) Automorphismengruppe von V GL_n(\IC) Gruppe der invert. nxn-Matrizen über \IC (also mit det != 0) \stress\ \* \normal Es gibt in der Darstellungstheorie einen Ähnlichkeitsbegriff \(wie bei Matrizen). Wir betrachten Darstellungen bis auf Ähnlichkeit. \stress\ \* \normal G-invariante Unterräume -> Unterdarstellungen \stress\ \* \normal Es gibt zu einer Unterdarstellung die komplementäre Darstellung \stress\ \* \normal direkte Summe von Darstellungen \stress\ \* \normal irreduzible Darstellungen \(die Primzahlen unter den Darstellungen) \stress\ \* \normal Tensorprodukt von Darstellungen \stress\ \* \normal Jede Darstellung ist direkte Summe von irreduziblen Darstellungen

Das Lemma von Schur

Unser Ziel ist, alle irreduziblen Darstellungen zu einer endl. Gruppe G zu ermitteln. Dabei sind Charaktere immens nützlich. Nun brauchen wir noch ein Hilfsmittel, um irreduzible Darstellungen voneinander zu unterscheiden. \stress\ array(Lemma von Schur:)__ Seien \rho^1 :G->GL(V_1) und \rho^2 :G->GL(V_2) zwei irreduzible Darstellungen von G. Sei f: V_1 ->V_2 eine lineare Abbildung mit: \rho^2 \circ f = f \circ \rho^1 (f ist vertäglich mit \rho^1 und \rho^2), dann gilt: (1) Wenn \rho^1 und \rho^2 nicht ähnlich (oder isomorph) sind gilt: f=0 (2) Wenn V_1 =V_2 und \rho^1 = \rho^2, so gilt f ist eine Homothetie d.h. f=\l *Id , \l \el \IC \stress\ Beweis:__ (1) Der Fall f=0 ist trivial. Sei jetzt f != 0 und W_1=kern(f), d.h. W_1=menge(v\el V_1: f(v)=0) W_1 ist Untervektorraum von V_1 und G-invariant: für v \el W_1 gilt f( \rho_s^1 (v))=\rho_s^2 (f (v)) = 0 => \rho_s^1 (v) \el W_1. V_1 ist irreduzibel also: W_1 =menge(0) oder W_1=menge(V). W_1=menge(V) => f=0. Also W_1 =menge(0) => Injektivität. Analog zeigt man Surjektivität von f: W_2 = Bild(f) d.h. W_2=menge(f(v) mit v \el V_1) ist UVR von V_2. V_2 ist irreduzibel. Also W_2=menge(V_2) oder W_2=menge(0) W_2=menge(0) => f=0. Also W_2 =menge(V_2) => Surjektivität. => f ist Isomorphismus von V_1 auf V_2. Da aber \rho^1 und \rho^2 nicht ähnlich sind bleibt nur noch f=0. (2) Sei V_1 =V_2=V und \rho^1 =\rho^2=\r. \l \el \IC sei Eigenwert von f mit zugehörigem Eigenvektor v_0!=0 \el V. Setze f'(v) =f(v)-\l v, array( ) v\el V Für g \el G ist \align \ \r_g(f'(v))=\r_g(f(v))-\r_g (\l v) =f(\r_g (v)) -\l \r_g(v) =f'(\r_g (v)) \stopalign => f' ist mit \r verträglich => kern(f') ist G-invariant => kern(f')=menge(0) oder kern(f')=menge(V). Da f'(v_0)=0 => kern(f')=menge(V) => f'=0 also f(v)=\l v array( )q.e.d. \ \stress\ Bemerkung__ \normal\ Wir haben bisher (und werden auch dabei bleiben) \IC-Vektorräume betrachtet. Das garantiert uns, daß lineare Abbildungen V->V immer Eigenwerte haben. Für \IR-Vektorräume gilt das Lemma von Schur im Allgemeinen nicht. Lineare Abbildungen zwischen irreduziblen Darstellungen sind also immer Homothetien. \stress\ array(Korollar 1)__ Seien V_1 und V_2 irreduzibel und h:V_1 -> V_2 eine lin. Abbildung. \rho^1 :G->GL(V_1) und \rho^2 :G->GL(V_2) seien zwei irreduzible Darstellungen von G. setze array( ) h^0=1/abs(G) summe((\rho_t^2)^(-1) h \rho_t^1,t\el G,) dann gilt (1) Wenn \rho^1 und \rho^2 icht isomorph sind gilt: h^0=0 (2) Falls V_1=V_2 und \rho^1 =\rho^2, dann ist h^0 eine Homothetie, also h^0=\l*Id, wobei \l=1/n Tr(h) mit n=dim V_1 \stress\ Beweis:__ \normal\ Das Korollar 1 folgt aus dem Lemma von Schur, wenn h^0 verträglich ist mit \r^1 und \r^2 also zu zeigen: \r^2 \circ h^0 = h^0 \circ \r^1 <=> (\r^2)^(-1) \circ h^0 = h^0 \circ (\r^1)^(-1) \align array((\r_s^2)^(-1) h^0 \r_s^1) =1/abs(G) summe((\rho_s^2)^(-1) (\rho_t^2)^(-1) h \rho_t^1 \r_s^1,t\el G,) =1/abs(G) summe((\rho_(st)^2)^(-1) h \rho_(st)^1,t\el G,) =1/abs(G) summe((\rho_(st)^2)^(-1) h \rho_(st)^1,st\el G,) \stopalign Es gilt also: (1) h^0 =0 falls \r^1 und \r^2 nicht isomorph zueinander sind. (2) falls V_1 =V_2 und \r^1 =\r^2 =\r ist h^0 = \l *\Id \align Tr(h^0 ) = Tr(1/abs(G) summe((\rho_t^2)^(-1) h \rho_t^1,t\el G,)) =1/abs(G) summe(Tr((\rho_t)^(-1) h \rho_t),t\el G,) =1/abs(G) summe(Tr( h),t\el G,) =Tr(h) \stopalign Tr(h^0 )=Tr(\l *Id)=\l*n=Tr(h) array( )q.e.d. Man kann das Ganze wieder in Matrixform aufschreiben und kommt dann auf die beiden Korollare 2 und 3. Die Rechnungen hierzu hab ich weggelassen weil die folgenden beiden Korollare eher technisch sind. Ich schreib sie aber trotzdem hin, damit die Orthogonalitätsrelationen nachher nicht einfach so vom Himmel fallen. \r^1 und \r^2 seien in Matrixform gegeben: \r_t^1 = \( r_(i_1 j_1) (t) \) array( )\r_t^2 = \( r_(i_2 j_2) (t) \) h bzw. h^0 sind gegeben durch h=\( x_(i_2 i_1) \) array( ) h^0=\( x_(i_2 i_1)^0 \) \ \stress\ array(Korollar 2)__ Im Fall (1) von Korollar 1 gilt x_(i_2 i_1)^0 = 1/abs(G) summe( \( r_(i_2 j_2) (t) \)^(-1) x_(j_2 j_1) \( r_(j_1 i_1) (t) \) ,(t, j_1 , j_2 ),)=0 also summe( r_(i_2 j_2) (t) ^(-1) r_(j_1 i_1) (t) ,t \el G,)=0 array( )\forall\ i_1 , i_2 , j_1 , j_2 \stress\ array(Korollar 3)__ Im Fall (2) von Korollar 1 gilt 1/abs(G) summe( r_(i_2 j_2) (t)^(-1) r_(j_1 i_1) (t) ,t \el G,) \ = 1/n \d_(j_2 , j_1) \d_(i_2 , i_1)=fdef(1/n,j_1 = j_2 und i_1 = i_2;0,sonst) \stress\ array(Bemerkung)__ Die Matrizen \(r_(j_2 i_2) (t)\) seien unitär. Dies kann durch geeignete Basiswahl erreicht werden. Dann ist \(r_(j_2 i_2) (t)\)^(-1) = \(r_(j_2 i_2) (t^(-1) )\)=\(r_(j_2 i_2) (t)\)^\* wobei \(r_(j_2 i_2) (t)\)^\* die Transjungierte (transponiert und konjugiert komplex) von \(r_(j_2 i_2) (t)\) ist. Die letzten beiden Korollare können als Orthogonalitätsrelationen aufgefasst werden.

Beispiele

\ Ich habe hier noch ein paar Beispiele: \stress\ Beispiel 1) \normal G=C_2 zyklische Gruppe der Ordnung 2 G=menge(1,\s) mit 1 Neutralelement und \s !=1, \s^2=1 G soll auf dem 2-dim. \IC-Vektorraum V mit Basis menge(e_1 , e_2) operieren. 1 verhält sich neutral, läßt V elementweise fest: e_1 |-> e_1 , e_2 |-> e_2 \s vertausch die Basisvektoren: e_1 |-> e_2 , e_2 |-> e_1 array(In Matrixform:)__ für 1 hat man die Einheitsmatrix R_1 =(1,0;0,1) und für \s ergibt sich R_\s =(0,1;1,0) Dass diese Matrizen das Gewünschte tun, ist leicht zu sehen \(wollte ich schon immer mal schreiben). G=C_2 -> \<(1,0;0,1), (0,1;1,0)\> \subset GL_2(\IC) \ \stress\Bemerkung__ C_2 wird auch \IZ \/2\IZ geschrieben <...> bezeichnet hier das Erzeugnis einer Gruppe. Nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt, das auch mit <.,.> geschrieben wird. Ich denke aber, das kann man durch den Kontext gut unterscheiden. Das hier ist ein Beispiel für eine reguläre Darstellung. \stress\ Beispiel 2) \normal G=C_2 =menge(1,\s) und V ist 4-dim. Vektorraum mit Basis \(e_j \), j=1,...,4. \r:C_2 -> GL(V) ~= GL_4(\IC) \r_\s vertauscht die Vektoren e_1 und e_2 bzw. e_3 und e_4. \r_1 tut michts. R_1 ist die Einheitsmatrix R_1 = (1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1) und für R_\s ergibt sich R_\s = (0,1,0,0;1,0,0,0;0,0,0,1;0,0,1,0) Es gibt zwei Untervektorräume von V, die unter \r invariant bleiben: W_(12)=\ \subset\ V und W_(34)=\ \subset\ V. Beide sind 2-dimensional und \r induziert auf beiden eine lin. Unterdarstellung.

Motivation

Wir werden hier unserer Darstellung einen sogenannten Charakter zuordnen. Charaktere haben schöne Eigenschaften. Zum Beispiel werden wir zeigen, daß zwei Darstellungen genau dann den gleichen Charakter haben, wenn sie äquivalent sind. Auch die Frage, ob eine Darstellung irreduzibel ist kann mit Hilfe von Charakteren gelöst werden. Natürlich gibts noch mehr aber ich will ja nicht alles verraten...

Der Charakter einer Darstellung

Sei V ein n-dim. Vektorraum mit Basis \(e_i \) und a:V-> V eine lin. Abbildung, zu der die quadratische Matrix A=\(a_(ij) \) gehört. Tr(a)=summe(a_(ii),i,) heißt Spur von a und ist Summe der Eigenwerte von a (mit Vielfachheit gezählt). Sie hängt nicht von der gewählten Basis ab. Die Spur ist eine Invariante unter Ähnlichkeit. Wir werden sehen: äquivalente Darstellungen haben gleiche Charaktere. \ \stress\ Definition:__ Sei \rho : G->GL(V) eine lin. Darstellung der endl. Gruppe G. Für jedes s \el G setze \chi_\rho (s):=Tr(\rho_s) Die so definierte Funktion \chi_\rho :G -> \IC heißt Charakter von \rho. \ \stress\ array(Lemma 1)__ \normal Für den Charakter \chi einer n-dim. Darstellung gelten (1) \chi(1)=n (2) \chi(s^(-1))=\chi(s)^- (3) \chi(tst^(-1)) = \chi(s) \array( ) \forall\ s,t \el G \stress\ Beweis:__ (1) \rho_1 = 1_(GL(V)) = Id_(nxn) (nxn Einheitsmatrix) => Tr(\rho_1)=n (2) \chi_\rho (s)=Tr(\rho_s ) ist Summe der Eigenwerte \l_i (mit Vielfachheit gezählt). Es gibt ein v \el V mit v !=0 und \rho_s (v)=\l v. Die Eigenwerte von \( \rho_s \)^k sind \l_1^k ,..., \l_n^k \el \IC^x \forall\ k \el \IZ. g=abs(G) somit \l^g v = \rho_s^g (v)=\rho_(s^g) (v)= \rho_1 (v) = Id v = v => \l^g=1 => abs(\l)=1 => \l \l^- =1 => \l^(-1)=\l^- Da \rho_s invertierbar ist ist \l^(-1) ein Eigenwert zu \rho_(s^(-1)). \chi(s^(-1))=Tr(\rho_(s^(-1)))=summe(\l_i^(-1),i=1,n)=summe((\l_i)^-,i=1,n) =summe(\l_i,i=1,n)^- = Tr(\rho_(s))^- = \chi(\rho_s )^- (3) Setze a= ts und b= t^(-1). =>\chi(tst^(-1)) = \chi(s) lässt sich schreiben als \chi(ab) = \chi(ba). Die Behauptung folgt nun daraus, daß für zwei lin. Abbildungen a, b aus V gilt Tr(ab)=Tr(ba). array( )q.e.d. \ \stress\ Bemerkung:__ Eine Funktion f auf G, die die Eigenschaft (3) erfüllt, heißt (konjugierte-) Klassenfunktion auf G. Jede solche Klassenfunktion lässt sich als Linearkombination von Charakteren ausdrücken (dazu kommen wir später). Jetzt kann man sich fragen: Wie lassen sich Charaktere zu "komplizierten" Darstellungen mit Hilfe von Charakteren zu "einfacheren" Darstellungen finden? \ \stress\ array(Lemma 2)__ Seien \rho^1 :G-> GL(V_1) und \rho^2 :G-> GL(V_1) zwei Darstellungen und \chi_1 und \chi_2 ihre Charaktere. Dann gilt: (1) Der Charakter \chi zur direkten Summendarstellung \rho^1 \oplus \rho^2 ist die Summe der Charaktere zu \rho^1 und \rho^2 : \chi_1 + \chi_2 (2) Der Charakter \chi zur Tensorproduktdarstellung \rho^1 \otimes \rho^2 ist das Produkt der Charaktere zu \rho^1 und \rho^2 : \chi_1 * \chi_2 \stress\ Beweis:__ \normal Seien R_s^1 und R_s^2 die Matrizen zu \rho_s^1 und \rho_s^2 (nach Basiswahl). Dann ist die Darstellung zu \rho^1 \oplus \rho^2 gegeben durch (R_s^1,0;0, R_s^2) Daraus erhält man: Tr(R_s)=Tr(R_s^1)+Tr(R_s^2) d.h. \chi(s) = \chi_1(s) + \chi_2(s). (2) zeigt man im Prinzip genauso. array( )q.e.d.

Orthogonalitätsrelationen

\f und \y seien Funktionen auf der Gruppe G. <\f,\y> : = 1/abs(G) summe(\f(t) \y(t)^-,t\el G,) Interessieren tun uns natürlich die Spezialfälle, wo \f und \y Charaktere sind. \stress\ array(SATZ 3)__ (1) ist \c der Charakter einer irreduziblen Darstellung, so gilt <\c,\c> =1 (2) Sind \c_1 und \c_2 Charaktere zu versch. irred. Darstellungen, so gilt <\c_1 ,\c_2 > =0 \stress\ array(SATZ 4)__ Sei \F der Charakter der Darstellung V von G, und sei V folgendermaßen in irreduzible zerlegt: V=W_1 \oplus\ ... \oplus\ W_k , array( ) \F=\c_1 + ... + \c_k, array( ) \c_i Chrakter zu W_i Für jede weitere irred. Darstellung W mit Charakter \c ist die Anzahl derjenigen W_i in der obigen Zerlegung, die zu W isomorph sind, gegeben durch \<\F,\c\> \stress array(Beweis:)__ \<\F,\c \>=\<\c_1 ,\c\> + ... + \<\c_k ,\c\> Nach SATZ 3 ist \<\c_i ,\c\> entweder 1 oder 0 je nachdem, ob W_i zu W äquivalent ist oder nicht. => \<\F,\c \>=\<\c_1 ,\c\> + ... + \<\c_k ,\c\> = \# menge(\c_i : \c_i ~= \c) array( )q.e.d. \stress\ array(Korollar 4)__ Die Anzahl der irred. Darstellungen W_i die zu einer gegebenen irred. Darstellung W isomorph sind, hängt nicht von der gewählten Zerlegung ab. \stress\ array(Korollar 5)__ Zwei Darstellungen mit demselben Charakter sind isomorph zueinander. \stress array(Beweis:)__ Nach Korollar 4 enthalten beide Darstellungen dieselben irreduziblen gleichoft. array( )q.e.d. Die Charaktere liefern ein sehr nützliches Kriterium, um auf Irreduzibilität zu prüfen. Wenn \c_1 , ..., \c_h die verschiedenen Charaktere der irreduziblen Darstellungen W_1 , ..., W_h von G sind, dann ist jede Darstellung V eine Summe der Form V=m_1 W_1 \oplus\ ... \oplus\ m_h W_h array( ) m_i \el \IZ, m_i >=0 Der Charakter \F von V ist gleich m_1 \c_1 + ... +\ m_h \c_h und es gilt m_i =\<\F,\c_i \>=sum((m_j*\<\c_j , \c_i \> ),j=1,h) weil \<\c_j ,\c_i \> =\d_(ij) => \<\F,\F \>=\< sum(m_i \c_i,i=1,h) , sum(m_j \c_j ,j=1,h) \> =sum(sum((m_i*m_j*\<\c_i , \c_j \>),j=1,h) ,i=1,h)=sum(m_i^2 ,i,) \stress\ array(SATZ 5)__ Ist \F der Charakter einer Darstellung V so ist \<\F,\F \> eine nichtnegative ganze Zahl, und es gilt \<\F,\F \>=1 genau dann wenn \F irreduzibel \stress array(Beweis:)__ sum(m_i^2 ,i,) ist nur dann gleich 1, wenn eines der m_i 1 ist und die anderen 0, d.h. wenn V zu einem der W_i äquivalent ist.

Beispiele

\stress\ Beispiel 1) \normal\ G=C_2 =menge(1,\s), \r_1 = (1,0;0,1) (a) \r_\s = (0,1;1,0) array( ) \c_\s = 0 (b) \r_\s = (-5,12;-2,5) array( ) \c_\s = 0 (c) \r_\s = (1,0;0,-1) array( ) \c_\s = 0 man sollte sich in allen drei Fällen klar machen, daß \r_\s^2=1 Alle drei Darstellungen sind äquivalent. \stress\ Beispiel 2) \normal\ G=D_8 =\ Diedergruppe Man kann die D_8 als Symmetriegruppe eines Quadrates in der Ebene auffassen. a: Drehungen um 90° b: Spiegelungen D_8 hat die 8 Elemente: menge(1, a, a^2, a^3, b, ba, ba^2, ba^3)=menge(a^i b^j : 0 <= i < 4, 0<=j<2) \r_a = (0,1;-1,0)=:A array( )\r_b = (1,0;0,-1)=:B Jetzt müssen wir uns natürlich davon überzeugen, daß A und B auch wirklich die Eigenschaften für D_8 erfüllen erfüllen: (i) A^4=B^2 =1 (ii) B^(-1) A B=A^(-1) A^2=(-1,0;0,-1), array( ) A^4=(1,0;0,1), array( )B^2=(1,0;0,1) (i) ist also erfüllt. B^(-1) A B= (1,0;0,-1)(0,1;-1,0)(1,0;0,-1)=(0,-1;1,0)=-A=A^2 A =A^3 =A^(-1) (ii) ist auch erfüllt. array( array( )1 array( )a array( ) a^2 array( )a^3 array( )b array( )ba array( ) ba^2 array( )ba^3 array( ))__ $|$(1,0;0,1)$(0,1;-1,0)$(-1,0;0,-1)$(0,-1;1,0)$(1,0;0,-1)$(0,1;1,0)$(-1,0;0,1)$(0,-1;-1,0) \c: array( )2 array( )0 array( ) -2 array( )0 array( )0 array( )0 array( ) 0 array( )0 Die Konjugationsklassen von D_8: 1, menge(a,a^(-1)), menge(a^2), menge(ba,ba^(-1)), menge(b,ba2) Wir werden später noch zeigen, daß man Charaktere nur bis auf Konjugation betrachten muß und, daß es genausoviele irreduzible Darstellungen wie Konjugationsklassen gib. Man kann A und B noch diagonalisieren mit T=1/sqrt(2) (1,1;i,-i) dann bekommt man mit \r '_a = (i,0;0,-i) und \r '_b = (0,1;1,0) eine weitere Darstellung \r ', die äquivalent zu \r ist. \stress\ Beispiel 3) \normal\ G=S_3 =D_6= \ Diedergruppe mit 6 Elementen, realisierbar als Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks in der Ebene. (a) array(Darstellung vom Grad 3:)__ \r_1=(1,0,0;0,1,0;0,0,1) array( )\r_((12))=(0,1,0;1,0,0;0,0,1) array( )\r_((23))=(1,0,0;0,0,1;0,1,0) \r_((123))=(0,1,0;0,0,1;1,0,0) array( ) \r_((132)) =(0,0,1;1,0,0;0,1,0) array( )\r_((13))=(0,0,1;0,1,0;1,0,0) (12) und (23) sind die Erzeugenden dieser Gruppe. Die Konjugationsklassen von S_3 sind: 1, menge((12), (23), (13)), menge((123), (132)) Die Charakterwerte auf den Konjugationsklassen sind: \c_\r (1) =3, \c_\r (12) =1, \c_\r (123)=0 (b) array(Darstellung vom Grad 1:)__ Man kann einen 1-dim. invarianten Unterraum der Darstellung \r finden: Wähle Basis in V=\IC^3: menge((1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)) setze W:=menge((z_1 , z_2, z_3 ) \el V : z_1 =z_2 =z_3 )=\< menge((1;1;1)) \> Da jedes \r_s nur die Koordinaten vertauscht bleibt W invariant. \r^1 := \r \|_W ist die Identität also \c_(\r^1) (s)=1 \forall\ s\el S_3 Jetzt wählen wir ein Komplement W' zu W, z.B. W'= menge((z_1 , z_2, z_3 ) \el V : z_1 +z_2 +z_3 =0). Das liefert eine 2-dim. irreduzible Darstellung \r^2. Der Charakter von \r^2 kann direkt aus den Charakteren von \r und \r^1 errechnet werden: \c_(\r^2) = \c_\r - \c_(\r^1) (c) array(Darstellung vom Grad 1:)__ Es gibt eine weitere 1-dim. Darstellung \r^3 von S_3: die Signum-Darstellung \r^3 (s)=sgn(s) wobei sgn(s)=(-1)^(\# Transpositionen) array(Charaktertafel für S_3)__ Eine Charaktertafel ist einfach eine Tabelle, in der die Charakterwerte zu den jeweiligen Repräsentanten der Konjugationsklasse eingetragen werden.

1 (12) (123)
\c_(\r^1)

1

1

1

\c_(\r^2)

2

0

-1

\c_(\r^3)

1

-1

1

Wir wissen zwar noch nicht, daß man Charaktere nur bis auf Konjugation betrachten muß und, daß es genausoviele irreduzible Darstellungen wie Konjugationsklassen gib (dazu kommen wir später), aber wenn wir das erst einmal glauben, sehen wir hier die vollständige Charaktertafel für S_3: Es gibt drei Konjugationsklassen also: drei irreduzible Charaktere. Was wir aber schon wissen ist: <\c , \c> =1/abs(G) summe(\c(t) \c(t)^-,t\el G,)=1 wenn \c irreduzibel. Wir können also nachprüfen, ob unsere drei Darstellungen irreduzibel sind: \r^1: <\c_(\r^1) , \c_(\r^1)> = 1/6 * (1*1+3*1*1+2*1*1)=1 \r^2: <\c_(\r^2) , \c_(\r^2)> = 1/6 * (2*2+3*0*0+2*(-1)*(-1))=1 \r^3: <\c_(\r^3) , \c_(\r^3)> = 1/6 * (1*1+3*(-1)*(-1)+2*1*1)=1 \stress\ Bemerkung__ In der ersten Zeile der Charaktertafel stehen nur Repräsentanten der Konjugationsklassen. Summiert wird aber über alle Elemente der Gruppe. Der Charakter ist aber für alle Elemente einer Konjugationsklasse gleich. (Deswegen reicht es auch in die Charaktertafel nur einen Repräsentanten der Konjugationsklasse zu schreiben.) Deswegen muß man in der Summe noch mit der Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse multiplizieren.

Die Zerlegung der regulären Darstellung

\c_i , ..., \c_h seien die Charaktere zu den irreduziblen Darstellungen W_1 , ..., W_h von G vom jeweiligen Grad n_1 , ..., n_h. Also n_i = \c_i (1) (siehe auch erstes Lemma). \stress\ Erinnerung (reguläre Darstellung) Sei abs(G) die Ordnug von G, V ein Vektorraum mit dim(V)=abs(G) mit Basis \(e_t \)_(t \el G) Definiere \rho_s als die lin. Abbildung V -> V, die e_t auf e_(st) abbildet, für alle s \el G. \stress\ Bemerkung__ Für s!=1 ist st!=t und somit e_t != e_(st) die Basiselemente werden also durchpermutiert. Jedes Element, daß von einer Permutation festgelassen wird, liefert eine 1 auf der Diagonalen der Darstellung in Matrixform. Für s!=1 wird jedoch kein Element festgehalten, in den entsprechenden Matrizen stehen also nur Nullen auf den Hauptdiagonalen. \stress\ array(SATZ 6)__ Der Charakter \c_reg der regulären Darstellung ist gegeben durch \c_reg=fdef(abs(G),,s=1;0,,sonst \stress\ array(Korollar 6)__ Jede irreduzible Darstellung W_i ist in der regulären Darstellung enthalten, und zwar mit Multiplizität (also so oft, wie ihr Grad n_i angibt). \stress\ array(Beweis)__ Die Anzahl ist nämlich \<\c_reg , \c_i \>=1/abs(G) summe(\c_reg (s^(-1)) \c_i (s),s\el G,) = 1/abs(G)*abs(G)\c_i (1)=n_i array( )q.e.d. \stress\ array(Korollar 7)__ (a) Für die Grade n_i gilt summe(n_i^2,i=1,h) = abs(G) (b) Für s !=1 gilt summe(n_i \c_i (s),i=1,h) = 0 \stress\ array(Beweis)__ \c_reg = summe(n_i \c_i (s),i=1,h). Auswerten für s=1 ergibt (a) und für s!=1 (b). array( )q.e.d. Die obigen Ergebnisse sind sehr nützlich bei der Bestimmung aller irreduziblen Darstellungen einer Gruppe G. Wenn man z.B. zueinander nichtisomorphe irreduzible Darstellungen vom Grad n_1 , ..., n_k gefunden hat, kann man testen ob summe(n_i^2,,)=abs(G) ist. Wenn ja ist man fertig wenn nein, hat man wenigstens einen Hinweis, wonach man noch suchen muß (also nach welchem Grad). Nochmal zum Beispiel G=S_3: Wir haben oben drei irreduzible Darstellungen für S_3 gefunden mit den Graden 1,1 und 2: 1^2 +1^2 +2^2 = 6=abs(S_3) Also sind das dort oben tatsächlich alle irreduziblen Darstellungen \(bis auf Ähnlichkeit) von S_3 und die Charaktertafel ist vollständig. Noch eine kleine Vorschau auf Teil 3: Wir werden später sehen, daß die Grade n_i Teiler der Gruppenordnung sind.

Ein kleines Bisschen Gruppentheorie

Dieser Abschnitt fasst nochmal einige Ergebnisse aus der Gruppentheorie zusammen und legt so auch gleich Bezeichnungen fest, die durchaus hier und da anders sein können. \stress\ array(Definition__ (konjugiert)) \normal Seien x,y \el G. Dann heißt x konjugiert zu y in G falls es ein g \el G gibt mit y=g^(-1) xg \stress\ array(Die Konjugationsklasse)__ \normal von x in G ist gegeben durch x^G=menge(g^(-1) xg : g\el G) array( ) Menge aller zu x konjugierten Elemente in G \stress\ array(Bemerkungen)__ \* Zwei Konjugationsklassen sind entweder gleich oder disjunkt \* Jede Gruppe ist die disjunkte Vereinigung von Konjugationsklassen \* Konjugation ist eine Äquivalenzrelation \* menge(1) ist immer eine eigene Konjugationsklasse \* Abelsche Gruppen haben nur 1-elementige Konjugationsklassen \* Wenn x und y konjugiert sind, sind es auch x^n und y^n , n \el \IZ Ich hoffe es wird niemanden verwirren, daß ich häufig Konjugationsklassen und ihre Repräsentanten gleichwertig behandle. \stress\ array(Definition__ (Zentralisator)) \normal Der Zentralisator von x in G wird mit C_G (x) bezeichnet und ist die Menge aller Elemente in G, die mit x vertauschen, d.h. C_G (x)=menge(g \el G : gx=xg)= menge(g \el G : g^(-1) xg=x) C_G (x) ist eine Untergruppe von G. \stress\ array(Länge der Konjugationsklasse)__ \normal\ abs(x^G) ist für jedes x \el G gegeben durch abs(x^G)=abs(G)/abs(C_G (x)) \stress\ array(Beispiel)__ \normal\ G=S_4 array(Konjugationsklasse array( ) 1 array( ) (12) array( ) (123) array( ) (1234) array( ) (12)(34))__ abs(x^G) array( ) 1 array( ) 6 array( ) 8 array( ) 6 array( ) 3 abs(C_G (x)) array( ) 24 array( ) 4 array( ) 3 array( ) 4 array( ) 8 \stress\ array(Definition__ (Zentrum)) \normal Das Zentrum einer Gruppe G ist definiert als Z(G)=menge(g \el G : gh =hg \forall\ h \el G) Z(G) ist eine Untergruppe (sogar ein Normalteiler) von G und jedes Element in Z(G) bildet eine 1-elementige Konjugationsklasse. \stress\ array(SATZ__ (Klassengleichung)) Seien x_1 ,..., x_h ein vollst. Repräsentantensystem der Konjugationsklasssen in G. Dann gilt abs(G) = abs(Z(G)) + summe(abs(x_i^G),x_i \notel Z(G),) und sowohl abs(Z(G)) als auch abs(x_i^G) teilen abs(G). \stress\ array(Beispiele)____ \stress\ array((1) Die Konjugationsklassen der Diedergruppe)__ D_2n =\< a,b : a^n =b^2 =1, b^(-1) ab =a^(-1) \> Es gibt (n+3)/2 Konjugationsklassen für ungerades n und (n+6)/2 Konjugationsklassen für gerades n. Die Berechnungen hierzu sind recht lang und da es zu diesem Thema schon einen Forumbeitrag gibt verlinke ich das mal: Konjugationsklassen der Diedergruppe \stress\ array((2) Die symmetrische Gruppe S_n)__ \stress\ array(Lemma)__ Sei x=(i_1 ... i_k) ein Zykel in S_n und g \el S_n. Dann gilt g^(-1) x g = (g(i_1 ) ... g(i_k )) \stress\ array(Beispiel)__ x=(123), g=(12) g^(-1) x g =(g(1) g(2) g(3))=(213) Jede Permutation von S_n läßt sich als ein disjunktes Produkt von Zykeln schreiben: (a_1 ... a_k_1 )...(c_1 ... c_k_s ). Die zugehörige Zykelform ist:(k_1 ... k_s ). \stress\ array(Korollar)__ Zwei Permutationen mit der gleichen Zykelform sind zueinander konjugiert. \stress\ array(Beispiel)__ \normal\ G=S_5 S_5 hat 7 Konjugationsklassen: array(Konjugationsklasse array( ) 1 array( ) (12) array( ) (123) array( ) (1234) array( ) (12345) array( ) (12)(345) array( ) (12)(34) )__ array(abs(x^G) array( ) 1 array( ) 10 array( ) 20 array( ) 30 array( ) 24 array( ) 20 array( ) 15) \stress\ array((3) Die alternierende Gruppe A_n)__ Die A_n ist eine Untergruppe der S_n und besteht aus den geraden Permutationen, also aus den Elementen x von S_n, mit sgn(x)=1. Die Ordnung von A_n: abs(A_n )=abs(S_n )/2. \stress\ array(Lemma)__ \stress\ (1) \normal\ Wenn x \el A_n , n>1 mit einer ungeraden Permutation in S_n vertauscht, dann gilt x^(A_n) = x^(S_n). \stress\ (2) \normal\ Wenn x \el A_n mit keiner ungeraden Permutation in S_n vertauscht, dann zerfällt x^(S_n) in zwei Konjugationsklassen unter A_n von gleicher Länge, also abs(x^(A_n) )= 1/2 abs(x^(S_n) ). Als Repräsentanten dieser beiden Klassen kann man nehmen: x und (12)x(12)^(-1) \stress\ array(Beispiel 1)__ \normal\ Die Konjugationsklassen von A_4, abs(A_4)=12 Vertreter der Konjugationsklassen von S_4 sind: (1), (12), (123), (1234), (12)(34) davon gerade: (1), (123), (12)(34) (123) vertauscht mit keiner ungeraden Permutation in S_4: (123)(12) != (12)(123) und (123)(1234) != (1234)(13) also zerfällt die Klasse, die durch (123) repräsentiert wird in A_4 in zwei Konjugationsklassen: (123) und (12)(123)(12)^(-1) =(132) array(Konjugationsklasse array( ) 1 array( ) (123) array( ) (132) array( ) (12)(34))__ abs(x^G) array( ) 1 array( ) 4 array( ) 4 array( ) 3 abs(C_G (x)) array( ) 12 array( ) 3 array( ) 3 array( ) 4 \stress\ array(Beispiel 2)__ \normal\ Die Konjugationsklassen von A_5, abs(A_5)=60 Vertreter der Konjugationsklassen von S_5 sind: (1), (12), (123), (1234), (12345), (12)(34), (12)(345) davon gerade: (1), (123), (12345), (12)(34) (123) vertauscht mit (45). Deswegen zerfällt (123) in A_5 nicht in zwei Konjugationsklassen. Aber (12345) zerfällt in (12345) und (21345). array(Konjugationsklasse array( ) 1 array( ) (123) array( ) (12345) array( ) (21345) array( ) (12)(34))__ array(abs(x^G) array( ) 1 array( ) 20 array( ) 12 array( ) 12 array( ) 15) array(abs(C_G (x)) array( ) 60 array( ) 3 array( ) 5 array( ) 5 array( ) 4) \stress\ Definition__ H<=G Untergrupe heißt Normalteiler, falls \forall\ g \el G gilt g^(-1) Hg \subset\ H. \stress\ Lemma__ Sei H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G. Dann ist H ein Normalteiler <=> H ist die Vereinigung von Konjugationskl. in G. \stress\ Beispiel__ \normal\ Die Normalteiler von S_4 Die Konjugationsklassen von S_4 und ihre Längen (also die Anzahl der Elemente in der Klasse): array(Konjugationsklasse array( ) 1 array( ) (12) array( ) (123) array( ) (1234) array( ) (12)(34))__ abs(x^G) array( ) 1 array( ) 6 array( ) 8 array( ) 6 array( ) 3 Da Normalteiler Untergruppen sind muß also das Einselement enthalten sein. Und die Ordnung teilt die Gruppenordnung. abs(S_4)=24 Die Teiler von 24 sind: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 menge(1) ist ein Normalteiler 1+3=4 teilt 24 array( )-> (1)^(S_4)\union\(12)(34)^(S_4) 1+3+8=12 teilt 24 array( )-> (1)^(S_4)\union\(12)(34)^(S_4)\union\(123)^(S_4) 1+3+6+6+8=24 => S_4 ist Normalteiler Dies sind in der Tat Untergruppen von S_4. Einzig die Existenz der Inversen ist nicht direkt zu sehen, ist aber auch nicht schwer, deswegen "überlasse ich den Beweis dem geneigten Leser". (1)^(S_4)\union\(12)(34)^(S_4) = menge(1 , (12)(34), (13)(42), (14)(23)) wird auch kleinsche Vierergruppe genannt.

Die Anzahl irreduzibler Darstellungen

Warum haben wir uns so sehr mit Konjugationsklassen beschäftigt? Es wird sich herausstellen, daß die Anzahl der irreduziblen Darstellungen einer Gruppe mit der Anzahl der Konjugationsklassen übereinstimmt. Kennt man also die Anzahl der Konjugationsklassen einer Gruppe, kennt man auch die Anzahl der irreduziblen Darstellungen. Wir betrachten jetzt den Raum H aller Klassenfunktionen auf G. f:G-> \IC ist eine Klassenfunktion auf G: f(tst^(-1)) = f(s) \forall\ s,t \el G. Die irreduziblen Charaktere \c_1 ,..., \c_h sind eine Orthonormalbasis von H. Wir gewichten nun eine Darstellung mit einer Klassenfunktion. Das liefert uns einen Endomorphismus von V, der nach dem Lemma von Schur eine Homothetie ist \stress\ array(Lemma 3)__ Sei f:G-> \IC eine Klassenfunktion auf G und sei \r:G->GL(V) eine Darstellung. \r_f :=summe(f(t)\r_t , t\el G, ) Wenn V irreduzibel ist, mit Charakter \c und Grad n dann ist \r_f = \l *Id mit \l=1/n summe(f(t) \c(t) , t\el G, )=abs(G)/n \< f(t), \c(t)^- \> \stress\ array(Beweisidee)__ Um das Lemma von Schur anwenden zu können müssen wir zeigen, daß \r_s^(-1) \r_f \r_s =\r_f gilt \forall\ s \el G Damit bekommen wir \r_f =\l *Id Bestimmung von \l: \align Tr(\r_f )=Tr(\l*Id)=n*\l =Tr(summe(f(t)\r_t ,, ))=summe(f(t)Tr(\r_t ),, )=summe(f(t)\c (t),, ) \stopalign => \l=1/n summe(f(t) \c(t) , t\el G, ) \stress\ array(SATZ 7)__ Die irreduziblen Charaktere \c_1 , ..., \c_h bilden eine Orthonormalbasis von H. Um das zu zeigen, muß man nur noch zeigen, daß die \c_i H aufspannen. Dazu zeige man, daß jede Klassenfunktion, die zu allen \c_i senkrecht steht Null ist. \stress\ array(SATZ 8)__ Die Anzahl der irreduziblen Darstellungen von G ist gleich der Anzahl der Konjugationsklassen von G. \stress\ array(Beweis)__ C_1 ,..., C_k seien die verschiedenen Konjugationsklassen von G. f ist Klassenfunktion <=> f ist konstant auf den Konjugationsklassen. f wird also durch ihre Werte \l_1 , ..., \l_k auf den Klassen festgelegt. Die \l_i können bel. gewählt werden. Daher hat der Raum der Klassenfunktionen die Dimension k \(=Anzahl der "Freiheitsgrade") Andererseits ist die Dimension gleich der Anzahl der irreduziblen Darstellungen. array( )q.e.d. \stress\ array(Lemma 4)__ Wir haben nun weitere Orthogonalitätsrelationen. Diesmal bleiben die Elemente von G fest und die Summe läuft über die Charaktere: Sei s \el G und s^G sei seine Konjugationsklasse. Dann gilt (i) summe(\c_i (s) \c_i(s)^-,i=1,k) =abs(G)/abs(s^G)=abs(C_G(s)) (ii) summe(\c_i (s) \c_i(t)^-,i=1,k)=0 array( )für t nichtkonjugiert zu s. Bisher hatten wir Orthogonalitätsrelationen nur zeilenweise. Jetzt haben wir auch spaltenweise Orthogonalitätsrelationen. \stress\ Beispiel__ Kommen wir nochmal zum Beispiel von oben: G=S_3 zurück. Wir sehen jezt ein, daß es genau drei irreduzible Charaktere gibt. Allerdings sind wir im Beispiel oben bei der Bestimmung der Charaktere einen kleinen Umweg gegangen. Wir können uns nun nämlich die konkrete Überlegung einer Darstellung sparen und die Charakterwerte mittels der Orthogonalitätsrelationen berechnen: über S_3 ist uns folgendes bekannt: S_3 hat 3 Konjugationsklassen und es gibt den trivialen Charakter. Alles andere werden wir nun aus den Orthogonalitätsrelationen bestimmen:

s 1 (12) (123)
abs(C_G(s)) 6 2 3
\c_(\r^1)

1

1

1

\c_(\r^2)

a

b

c

\c_(\r^3)

a'

b'

c'

Ausnutzen der Spaltenorthogonalität: (jede Spalte mit sich selbst) 1+a^2+a'^2=6 array( )=> menge(a,a')=menge(1,2) 1+b^2+b'^2=2 array( )=> menge(b,b')=menge(0,+-1) 1+c^2+c'^2=3 array( )=> c,c'=+-1 array(Bemerkung:)__ menge(a,a')=menge(-1,-2) würde die Gleichung auch lösen aber da a und a' die Charakterwerte zum Einselement sind und \c(1)=n Dimension der Darstellung=Dimension des Vektorraumes, sind a und a' immer positiv. o.B.d.A. array(a=1)____ und array(a'=2)____ (eine andere Wahl würde nur die Zeilen in der Charaktertafel tauschen) Ausnutzen der Spaltenorthogonalität: (1. Spalte mit 2. Spalte) also s=1 und t=(12): array( ) 1*1 + a*b + a'*b' = 1+ b+2*b'=0 menge(b,b')=menge(0,+-1) => array(b=-1)____ und array(b'=0)____ Ausnutzen der Zeilenorthogonalität: (2. Zeile mit sich selbst) \< \c , \c\> = 1/abs(G) summe(\c(t) \c(t)^-, t\el G) =summe((\c(s_i) \c(s_i)^-)/abs(C_G (s_i)), i=1 , k) =1 wenn \c irreduzibel wobei s_i Repräsentanten der k verschiedenen Konjugationsklassen sind. 1^2/6 + (-1)^2/2 + c^2/3 =1 => 1+3+2*c^2=6 => array(c=1)____ Ausnutzen der Spaltenorthogonalität: (1. Spalte mit 3. Spalte) also s=1 und t=(123): array( ) 1*1 + c*1 + 2*c' = 1+ 1+2*c'=0 => array(c'=-1)____ So ergibt sich wieder die bekannte Charaktertafel von S_3.
Das wars erst mal soweit für diesen Artikel. Es ist vielleicht enttäuschend, daß hier nicht mehr Charaktertafeln berechnet wurden (wichtig um mit den Orthogonalitätsrelationen vertraut zu werden) aber für kompliziertere Gruppen brauchen wir Handwerkszeug, daß ich erst im 3. Teil erkläre und einfachere Gruppen wie z.B. C_2 sind zu einfach. Zur Fortsetzung
\(\endgroup\)
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Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2 [von jannna]  
Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an Teil 2: Charaktertheorie Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen. Dies ist der zweite von drei Teilen: Teil 1:Lineare Darstellungen Teil 2: Charaktertheorie Teil 3: Unt
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"Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2" | 3 Comments
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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2
von: jannna am: Mi. 22. Juni 2005 10:14:15
\(\begingroup\)Hallo bei der Version die ich abgeschickt habe war das Lemma von Schur so komisch eingerückt. ich habs nicht wegbekommen. Was hatte ich da falsch gemacht? grüße jana\(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2
von: matroid am: Mi. 22. Juni 2005 12:03:07
\(\begingroup\)Hi Jana, Du warst ein Opfer des \align. Du hast es zweimal verwendet. Schematisch so: > Lemma von Schur > k=b > =xyxz Dann später > lang=foo > =bar Und nun sah sich der fed gezwungen, den ganzen oberen Abschnitt nach links zu schieben, damit er alle Gleichheitszeichen untereinander anordnen konnte. > Lemma von Schur > k=b > =xyxz > lang=foo > =bar Gelöst habe ich das, durch Einfügen einiger Leerzeichen im ersten Block: Also das > Lemma von Schur > k=b > =xyxz plus > lang=foo > =bar ergibt: > Lemma von Schur > k=b > =xyxz > lang=foo > =bar Das war die Sofortmaßnahme. Außerdem will ich prüfen, ob es nicht die Aufgabe des stopalign gewesen wäre, die align-Breite wieder auf 0 zurückzusetzen. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2
von: Stefan_K am: Mi. 03. August 2005 17:13:10
\(\begingroup\)Hallo Jannna, die Bemerkung nach dem Lemma von Schur, daß lineare Abbildungen zwischen irreduziblen Darstellungen stets Homothetien seien, sieht mir so nicht korrekt aus. In der Konsequenz von Schurs Lemma würde ich, wenn man es wörtlich umschreiben will, formulieren: Endomorphismen auf einem C-Vektorraum V, die mit einer irreduziblen Darstellung in V kommutieren, sind stets Homothetien. dagegen allgemeiner: Veträgliche lineare Abbildungen zwischen zwei irreduziblen Darstellungen sind trivial oder bijektiv (Vektorraumisomorphismen). Stefan_K \(\endgroup\)
 

 
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