Mathematik: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
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Mathematik

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Die Beziehungen

von Sinus und Cosinus





In diesem Artikel will ich euch ein paar Beweise liefern zu den Beziehungen
der Winkelfunktion, welche man oft nur in der Formelsammlung findet.
Für diesen Artikel muss ich voraussetzen, dass ihr wisst, wie der
Sinus, der Cosinus und der Tangens defniert ist und das die
Umkehrfunktion der Arcussinus, Arcuscosinus und Arcustangens sind.
Ebenso müsst ihr wissen, dass
sin^2(z)+cos^2(z)=1$und
tan(z)=sin(z)/cos(z)
gilt. Um zum jeweiligen Beweis zu gelangen braucht ihr nur in der letzten
Spalte auf Beweis klicken und ihr gelangt schon zum jeweiligen Beweis.


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sin(a+b)

=

sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)
Beweis

sin(a-b)

=

sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a)
Beweis

cos(a+b)

=

cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
Beweis

cos(a-b)

=

cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)
Beweis

tan(a+b)

=

(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b))
Beweis

tan(a-b)

=

(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b))
Beweis

sin(a+b)*sin(a-b)

=

sin^2(a)-sin^2(b)
Beweis

cos(a+b)*cos(a-b)

=

cos^2(a)-sin^2(b)
Beweis

sin(a)+sin(b)

=

2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)
Beweis

sin(a)-sin(b)

=

2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)
Beweis

cos(a)+cos(b)

=

2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)
Beweis

cos(a)-cos(b)

=

-2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)
Beweis

sin(a)*sin(b)

=

(cos(a-b)-cos(a+b))/2
Beweis

cos(a)*cos(b)

=

(cos(a-b)+cos(a+b))/2
Beweis

sin(2*a)

=

2*sin(a)*cos(a)
Beweis

cos(2*a)

=

fdef(cos^2(a)-sin^2(a),;2*cos^2(a)-1,;1-2*sin^2(a),)

Beweis

tan(2*a)

=

(2*tan(a))/(1-tan^2(a))
Beweis

sin(a/2)

=

+-sqrt((1-cos(a))/2)
Beweis

cos(a/2)

=

+-sqrt((1+cos(a))/2)
Beweis

tan(a/2)

=

fdef(sin(a)/(1+cos(a)),;(1-cos(a))/sin(a),)

Beweis

sin(arccos(a))

=

sqrt(1-a^2)
Beweis

cos(arcsin(a))

=

sqrt(1-a^2)
Beweis

sin(arctan(a))

=

a/sqrt(a^2+1)
Beweis

cos(arctan(a))

=

1/sqrt(a^2+1)
Beweis


\light\blue Beweis zu:$cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
Bild


In dem Dreieck$\D ABC$ gilt die Beziehung

cos(b)=AB
sin(b)=BC

In$\D BCD$gilt

tan(a)=BD/BC=BD/sin(b)
BD=sin(b)*tan(a)=sin(b)*sin(a)/cos(a)

In$\D ACE$gilt

cos(a+b)=AE

In$\D ADE$gilt

cos(a)=AE/AD=cos(a+b)/AD
AD=cos(a+b)/cos(a)

Es ist$AD+BD=AB=cos(b)

cos(b)=cos(a+b)/cos(a)+sin(b)*sin(a)/cos(a)
\red cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)


\light\blue Beweis zu:$sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)

Um diesen Satz zu beweisen brauchen wir eine weitere Beziehung:
sin(c)=cos(c-\pi/2)$und$cos(c)=-sin(c-\pi/2)
Es ist also$sin(a+b)=cos(a+b-\pi/2)
sin(a+b)=cos(a+(b-\pi/2))=cos(a)*cos(b-\pi/2)-sin(a)*sin(b-\pi/2)
\red sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)


\light\blue Beweis zu:$sin(a-b)=sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a)

Hierbei müssen wir beachten, dass$sin(-c)=-sin(c)$ wegen der Punktsymmetrie der
Sinusfunktion und$cos(-c)=cos(c)$wegen der Achsensymmetrie der Cosinusfunktion.

sin(a-b)=sin(a+(-b))=sin(a)*cos(-b)+sin(-b)*cos(a)

\red sin(a-b)=sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a)


\light\blue Beweis zu:$cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)

Hier werden wieder die gleichen Beziehungen verwendet wie eben auch

cos(a-b)=cos(a+(-b))=cos(a)*cos(-b)-sin(a)*sin(-b)

\red cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)


\light\blue Beweis zu:$tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b))

Es gilt$tan(c)=sin(c)/cos(c)$ also ist

tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a))/(cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b))

Wenn ich nun$cos(a)*cos(b)$ aus dem Zähler und dem Nenner ausklammer, erhalte ich

tan(a+b)=(cos(a)*cos(b)*((sin(a)*cos(b))/(coa(a)*cos(b))+(sin(b)*cos(a))/(cos(a)*cos(b))))/(cos(a)*cos(b)*(((cos(a)*cos(b))/(cos(a)*cos(b))-(sin(a)*sin(b))/(cos(a)*cos(b))))

\red tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b))


\light\blue Beweis zu:$tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b))

Auch hier gilt

tan(a-b)=sin(a-b)/cos(a-b)=(sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a))/(cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b))

Auch hier wird wieder im Nenner und Zähler$cos(a)*cos(b)$ausgeklammert.

\red tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b))


\light\blue Beweis für:$sin(a+b)*sin(a-b)=sin^2(a)-sin^2(b)

sin(a+b)*sin(a-b)=
(sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a))*(sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a))

Nach der dritten binomischen Formel ist
\align
sin(a+b)*sin(a-b)=(sin(a)*cos(b))^2-(sin(b)*cos(a))^2
=sin^2(a)*cos^2(b)-sin^2(b)*cos^2(a)
\stopalign
Nun gilt$cos^2(c)=1-sin^2(c)
\align
sin(a+b)*sin(a-b)=sin^2(a)*(1-sin^2(b))-sin^2(b)*(1-sin^2(a))
=sin^2(a)-sin^2(a)*sin^2(b)-sin^2(b)+sin^2(b)*sin^2(a)
\stopalign
\red sin(a+b)*sin(a-b)=sin^2(a)-sin^2(b)


\light\blue Beweis für:$cos(a+b)*cos(a-b)=cos^2(a)-sin^2(b)

Dieser Beweis läuft ähnlich wie der mit Sinus!

cos(a+b)*cos(a-b)=
(cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b))*(cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b))
\align
cos(a+b)*cos(a-b)=cos^2(a)*cos^2(b)-sin^2(a)*sin^2(b)
=cos^2(a)*(1-sin^2(b))-(1-cos^2(a))*sin^2(b)
\stopalign
\red cos(a+b)*cos(a-b)=cos^2(a)-sin^2(b)


\light\blue Beweis für:$sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

Es ist
sin(a)=sin((a+b)/2+(a-b)/2)
sin(b)=sin((a+b)/2-(a-b)/2)

Darauf setze ich ein uns schon bekanntes Theorem an

sin(a)=sin((a+b)/2+(a-b)/2)=sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)+sin((a-b)/2)*cos((a+b)/2)
sin(b)=sin((a+b)/2-(a-b)/2)=sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)-sin((a-b)/2)*cos((a+b)/2)

Dann ist

\red sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)


\light\blue Beweis für:$sin(a)-sin(b)=2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

Es ist
sin(a)=sin((a+b)/2+(a-b)/2)
sin(b)=sin((a+b)/2-(a-b)/2)

Darauf setze ich ein uns schon bekanntes Theorem an

sin(a)=sin((a+b)/2+(a-b)/2)=sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)+sin((a-b)/2)*cos((a+b)/2)
sin(b)=sin((a+b)/2-(a-b)/2)=sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)-sin((a-b)/2)*cos((a+b)/2)

Dann ist

\red sin(a)-sin(b)=2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)


\light\blue Beweis für:$cos(a)+cos(b)=2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

Auch hier gilt:

cos(a)=cos((a+b)/2+(a-b)/2)=cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)-sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)
cos(b)=cos((a+b)/2-(a-b)/2)=cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)+sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

Dann ist

\red cos(a)+cos(b)=2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)


\light\blue Beweis für:$cos(a)-cos(b)=-2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

Auch hier gilt:

cos(a)=cos((a+b)/2+(a-b)/2)=cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)-sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)
cos(b)=cos((a+b)/2-(a-b)/2)=cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)+sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

Dann ist

\red cos(a)-cos(b)=-2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)


\light\blue Beweis für:$sin(a)*sin(b)=(cos(a-b)-cos(a+b))/2

Für diesen Beweis benötige ich:

cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)

Nun bilde ich die Differenz

cos(a-b)-cos(a+b)=2*sin(a)*sin(b)

\red sin(a)*sin(b)=(cos(a-b)-cos(a+b))/2


\light\blue Beweis für:$cos(a)*cos(b)=(cos(a-b)+cos(a+b))/2

Auch für diesen Beweis benötige ich:

cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)

Doch hier bilde ich die Summe

cos(a-b)+cos(a+b)=2*cos(a)*cos(b)

\red cos(a)*cos(b)=(cos(a-b)+cos(a+b))/2


\light\blue Beweis für:$sin(2a)=2*sin(a)*cos(a)

Dazu brauch ich das Theorem

sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)

Jetzt muss ich nur noch b=a setzen

sin(a+a)=sin(a)*cos(a)+sin(a)*cos(a)

\red sin(2a)=2*sin(a)*cos(a)


\light\blue Beweis für:$cos(2a)=fdef(cos^2(a)-sin^2(a),;2*cos^2(a)-1,;1-2*sin^2(a),)

Dazu brauchen wir

cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)

Auch hier setze ich b=a

cos(a+a)=cos(a)*cos(a)-sin(a)*sin(a)
\darkred cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)

Nun weiß ich, dass$sin^2(a)=1-cos^2(a)$ ist

cos(2a)=cos^2(a)-(1-cos^2(a))
\darkred cos(2a)=2*cos^2(a)-1

Und ebenso ist$cos^2(a)=1-sin^2(a)
cos(2a)=(1-sin^2(a))-sin^2(a)
\darkred cos(2a)=1-2*sin^2(a)

\red cos(2a)=fdef(cos^2(a)-sin^2(a),;2*cos^2(a)-1,;1-2*sin^2(a),)


\light\blue Beweis für:$tan(2a)=(2*tan(a))/(1-tan^2(a))

Hier brauch ich die Beziehung
tan(2a)=sin(2a)/cos(2a)

tan(2a)=(2*sin(a)*cos(a))/(cos^2(a)-sin^2(a))

Nun erweiter ich den Bruch mit$1/cos^2(a)

tan(2a)=((2*sin(a)*cos(a))/cos^2(a))/((cos^2(a)-sin^2(a))/cos^2(a))

\red tan(2a)=(2*tan(a))/(1-tan^2(a))


\light\blue Beweis für:$sin(a/2)=+-sqrt((1-cos(a))/2)

Für diesen Beweis brauch ich wieder

sin(a)*sin(b)=(cos(a-b)-cos(a+b))/2

Demnach ist

sin(a/2)*sin(a/2)=(cos(a/2-a/2)-cos(a/2+a/2))/2
sin^2(a/2)=(cos(0)-cos(a))/2

cos(0)=1

\red sin(a/2)=+-sqrt((1-cos(a))/2)


\light\blue Beweis für:$cos(a/2)=+-sqrt((1+cos(a))/2)

Und für diesen Beweis brauch ich wieder

cos(a)*cos(b)=(cos(a-b)+cos(a+b))/2

cos(a/2)*cos(a/2)=(cos(a/2-a/2)+cos(a/2+a/2))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

\red cos(a/2)=+-sqrt((1+cos(a))/2)


\light\blue Beweis für:$tan(a/2)=fdef(sin(a)/(1+cos(a)),;(1-cos(a))/sin(a),)

tan(a/2)=sin(a/2)/cos(a/2)
tan(a/2)=(+-sqrt((1-cos(a))/2))/(+-sqrt((1+cos(a))/2))=sqrt((1-cos(a))/(1+cos(a)))

Jetzt erweiter ich den Bruch unter der Wurzel mit$1+cos(a)

tan(a/2)=sqrt(((1-cos(a))*(1+cos(a)))/((1+cos(a))*(1+cos(a))))
tan(a/2)=sqrt((1-cos^2(a))/(1+cos(a))^2)
tan(a/2)=sqrt(sin^2(a)/(1+cos(a))^2)


\darkred tan(a/2)=sin(a)/(1+cos(a))

Hätte ich bei diesem Schritt

tan(a/2)=sqrt(((1-cos(a))*(1+cos(a)))/((1+cos(a))(1+cos(a))))

statt mit$1+cos(a)$ mit $1-cos(a)$ erweitert, erhielte ich

tan(a/2)=sqrt(((1-cos(a))*(1-cos(a)))/((1+cos(a))(1-cos(a))))
tan(a/2)=sqrt((1-cos(a))^2/(1-cos^2(a)))

\darkred tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)

\red tan(a/2)=fdef(sin(a)/(1+cos(a)),;(1-cos(a))/sin(a),)


\light\blue Beweis für:$sin(arccos(a))=sqrt(1-a^2)

Es gilt doch$cos^2(c)+sin^2(c)=1

cos^2(arccos(a))+sin^2(arccos(a))=1
a^2+sin^2(arccos(a))=1

\red sin(arccos(a))=sqrt(1-a^2)


\light\blue Beweis für:$cos(arcsin(a))=sqrt(1-a^2)

cos^2(arcsin(a))+sin^2(arcsin(a))=1

\red cos(arcsin(a))=sqrt(1-a^2)


\light\blue Beweis für:$sin(arctan(a))=a/sqrt(a^2+1)

tan(arctan(a))=sin(arctan(a))/cos(arctan(a))
a=sin(arctan(a))/sqrt(1-sin^2(arctan(a)))
a^2*(1-sin^2(arctan(a))=sin^2(arctan(a)
a^2=sin^2(arctan(a))+a^2*sin^2(arctan(a))
sin^2(arctan(a))=a^2/(a^2+1)

\red sin(arctan(a))=a/sqrt(a^2+1)



\light\blue Beweis für:$cos(arctan(a))=1/sqrt(a^2+1)

tan(arctan(a))=sin(arctan(a))/cos(arctan(a))
a=sqrt(1-cos^2(arctan(a)))/cos(arctan(a))
a^2=(1-cos^2(arctan(a)))/cos^2(arctan(a))
a^2=1/cos^2(arctan(a))-1
a^2+1=1/cos^2(arctan(a))

\red cos(arctan(a))=1/sqrt(a^2+1)

________________________________________________________


Man hätte auf die Theoreme von$sin(a+b)$und$cos(a+b)
auch anders kommen können, denn es gilt
e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
Wenn ich nun$x=a+b$ setze erhalte ich
e^(i*(a+b))=cos(a+b)+i*sin(a+b)

Nun ist aber$e^(i*(a+b))=e^(i*a)*e^(i*b)
e^(i*a)*e^(i*b)=(cos(a)+i*sin(a))*(cos(b)+i*sin(b))
=cos(a)*cos(b)+coa(a)*i*sin(b)+i*sin(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)+i*(sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a))

Wenn ich nun den Realteil und den Imaginärteil vergleiche, erhalte ich
cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)

Was ich oben auch schon bewiesen habe.

Oft findet man auch Beziehungen, wie
sin(3a)=3*sin(a)-4*sin^3(a)

Darauf kommt man auch am schnellsten indem wieder
e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
verwendet.
e^(i*3*a)=cos(3*a)+i*sin(3*a)

Es ist$e^(i*3*a)=(e^(i*a))^3\, also braucht man nur den Realteil und Imaginärteil von
(cos(a)+i*sin(a))^3 und man hat weitere Beziehungen.


Mit freundlichen Grüßen

Artur Koehler
(alias pendragon302)

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Artikel von pendragon302 zur Differential- und Integralrechnung:

  • Ganz genau: Potenzreihenentwicklung nach Taylor
  • Ganz genau: Gelöste Differentialgleichungen
  • Ganz genau: Krümmungskreise
  • Ganz genau: Das Problem der Traktrix
  • Ganz genau: Gelöste Standardintegrale
  • Ganz genau: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus


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    Die Beziehungen von Sinus und Cosinus [von pendragon302]  
    Pendragons umfassender Artikel mit Beweis zu den gebräuchlisten Beziehungen zw. den trigonometrischen Funktionen.
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    "Mathematik: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus" | 17 Comments
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    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Martin_Infinite am: Di. 29. April 2003 21:22:03
    \(\begingroup\)Boa! Da schreibt jemand sein Abi in Mathe und Physik
    und entwickelt derweil auch noch so ein Meisterwerk!!!
    Ich bin schwer beeindruckt! Du hast alles so übersichtlich
    und schön mit den Fed dargestellt - der Wahnsinn!
    Ich selber kann mir diese Beziehungen nicht merken
    aber die Beweise werde ich mir nun mal genauestens
    durchlesen! Dieser dein erster Artikel ist mehr als
    großartig, Penny!\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: scorp am: Di. 29. April 2003 22:23:50
    \(\begingroup\)Naja, net schlecht... *g*







    Großes Lob, penny!
    Endlich mal was zum Nachschauen denn mit dem Merken von Formeln hab ichs net so. Ausserdem hast du nun auch endlich deinen ersten Artikel hinter dich gebracht. Bin gespannt was da noch alles nachkommt. Weiter so! 😄

    Viele Grüße,
    /Alex \(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: matroid am: Mi. 30. April 2003 00:07:17
    \(\begingroup\)Sorry @pen: Ich muß das jetzt leider öffentlich sagen.

    Hi Artur,

    das ist das Größte, was hier je einer geschrieben hat.
    Ich habe fünf oder acht Mal Wahnsinn! gesagt - zwischendurch auch echt genial.

    Ich freue mich außerordentlich.
    Und damit hast du Dich erfolgreich von der Mündlichen in Deutsch abgelenkt (und etwas von Erdkunde).
    Wünsche Dir für beides vollen Erfolg.

    Toi, toi, toi.

    Viele Grüße
    Matroid
    \(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: pendragon302 am: Mi. 30. April 2003 14:02:30
    \(\begingroup\)@matroid

    Ich werde dir verzeihen 😁

    Danke euch dreien

    Gruß\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Filip am: Fr. 02. Mai 2003 13:30:09
    \(\begingroup\)Hi Penny!

    Ich hab dir ja schon im Chat gesagt, dass ich den Artikel schon beim "überfliegen" toll fand und das ich es gut finde, dass sich ma' einer bereit erklärt hat, die Theoreme zu beweisen.
    Jetzt habe ich alles gelesen und finde ihn super toll (noch toller). Deine Beweise sind kurz, übersichtlich, geliedert und sehr schön nachzuvollziehen. Schreib' ruhig noch ein paar mehr so schöner Artikel ;p.
    Ausserdem hast du mich motiviert. Wer weiss, vielleicht veröffentliche ich mal meine geschlossene Beweisführung der Potenzregel (Differentialrechnung einer unabhängigen Veränderlichen) von IN bis IR.

    Auf alle Fälle, ist dein Artikel ein Hammer!

    bye Filip\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: pendragon302 am: So. 04. Mai 2003 04:14:09
    \(\begingroup\)Danke schön Filip 😄

    Gruß\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Martin_Infinite am: So. 25. Mai 2003 00:34:25
    \(\begingroup\)Ergänzung: Wie man sin²x+cos²x=1 ohne
    Geometrie herleitet:

    (sin(x)^2+cos(x)^2)'=2*cos(x)*sin(x)+2*(-sin(x))*cos(x)
    =0=>sin(x)^2+cos(x)^2=int(0,x)=C
    sin(0)^2+cos(0)^2=1=>C=1
    => \forall x\el\IR : sin^2(x)+cos^2(x)=1\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Martin_Infinite am: Fr. 04. Juli 2003 15:10:34
    \(\begingroup\)HIER noch ein sehr guter Link mit vielen Beweisen der Additionstheoreme.\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 09. Oktober 2003 18:56:35
    \(\begingroup\)Zeig mal lieber wie eine Ableitung der Sinusfunktion aussieht!

    Sabrina
    \(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: pendragon302 am: Fr. 10. Oktober 2003 19:06:30
    \(\begingroup\)@sabrina

    Das steht in jeder guten Formelsammlung und mehrmals im Forum. DIe ABleitung ist cos(x).

    Oder willst du diese hergeleitet haben?

    Gruß\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Supertramp am: Mo. 10. November 2003 21:06:07
    \(\begingroup\)Gibt es auch Multiplikationstheoreme? Mich interessiert, ob man cos(a) * cos(b) vernünftig vereinfachen kann, oder ob das vergebene Mühe ist ;)\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: pendragon302 am: Mo. 10. November 2003 23:10:27
    \(\begingroup\)@supertramp

    Schau nochmal in die 'Tabelle da steht

    cos(a)*cos(b)=(cos(a-b)+cos(a+b))/2

    Gruß\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 14. Dezember 2003 23:26:06
    \(\begingroup\)Ui Ui Ui.
    Seit ein paar Tagen zerbreche ich mir den Kopf darüber wie man diese Beziehung herleiten kann.
    Trigonometrie hab ich bisher nicht viel gemacht. Dan knallt uns der Prof das vors Gesicht und der Hörsaal checkt nix mehr.
    Vielen Dank für die Hilfe.
    Wie wars noch. Wer suchet, der findet.
    Werd die Seite wohl noch öfter benutzen, großartig!\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 16. Dezember 2003 18:32:31
    \(\begingroup\)Hi,

    Ich hätte da noch eine Frage:
    wie sieht es mit der Formel
    arcsin(cos(x)) für alle x aus |R

    Für den Hauptzweig ist die Sache klar, aber was ist mit den anderen?\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Martin_Infinite am: Di. 17. Januar 2006 16:51:03
    \(\begingroup\)Hi Anonymus, zu deiner Frage vom Di. 16. Dezember 😉 Man kann eine abschnittsweise Linearisierung finden: arcsin(cos(x))=fdef((\p/2+2k\p)-x,2k <= x/\p <= 2k+1 für ein k \in \IZ;x-(-\p/2+2\p k),2k-1 <= x/\p <= 2k für ein k \in \IZ) Damit findet man auch: arcsin(cos(x)) = (-1)^(floor(x/\p)) (\p/2 + \p floor(x/\p) - x) Gruß Martin\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 11. Juli 2006 17:33:03
    \(\begingroup\)wer hat sich das eigentlich ausgedacht mit dem zeug? Ich sollte nämlich eignentlich eine referat über die Geschichte von sinus und cosinus machen, kann aber nichts finden. Wer etwas darüber weiß und mit mitteilen möchte kann dies entweder unter meiner E-mail maximdany@gmx.de oder hier im Forum. Danke im vorraus maxim\(\endgroup\)
     

    Re: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus
    von: Rebecca am: Mi. 12. Juli 2006 01:30:09
    \(\begingroup\)@maxim: Als ersten Einstieg zu weiteren eigenen Nachforschungen kannst den Abschnitt "Geschichtliches" aus diesem Link benutzen: de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrie Gruß Rebecca\(\endgroup\)
     

     
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