Mathematik: Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen
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Mathematik

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Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen

In diesem Artikel werden aperiodische Kachelsätze aus je zwei Kacheln vorgestellt, die auf der bekannten Penrose-Rauten-Parkettierung basieren und bisher nicht veröffentlicht oder im Internet erwähnt wurden. Es wird auch eine Näherungslösung für eine sogenannte aperiodische Monokachel vorgestellt, deren Parkett fünf Arten von Lücken besitzt. Sätze von Protokacheln, welche die euklidische Ebene ausschließlich nichtperiodisch parkettieren können, werden aperiodisch genannt. Als quasiperiodisch werden Parkettierungen bezeichnet, bei denen sich beliebig große Ausschnitte wiederholen, ohne dass das Parkett insgesamt periodisch ist. Die bekanntesten Beispiele für quasiperiodische Parkettierungen sind die Penrose-Parkettierungen, benannt nach ihrem Entdecker Roger Penrose. Der Begriff aperiodisch wird nach neuester Definition übrigens nur auf die Kachelsätze angewandt. Die daraus entstehenden Parkettierungen sind dann jeweils nichtperiodisch. Selbst in der Fachliteratur ging das früher oft wild durcheinander. In neueren Publikationen hingegen wird das sauber unterschieden.


Bei Penrose-Parketten wird zwischen drei Varianten unterschieden. Das originale Penrose-Parkett (P1), bestehend aus sechs Protokacheln, die sich wiederum auf vier Protokacheln reduzieren lassen (Fünfeck, Stern, Raute und Boot), das Drachen-und-Pfeil-Parkett (P2), sowie das Rauten-Parkett (P3), welche je aus nur zwei Protokacheln bestehen. Alle drei Varianten sind gegenseitig lokal voneinander ableitbar. Im Englischen wird dafür die Abkürzung MLD (mutually locally derivable) verwendet. Zwei Parkettierungen gehören genau dann zur selben MLD-Klasse, wenn eindeutige Regeln existieren, die es ermöglichen, das eine Parkett aus dem anderen zu konstruieren. Dies kann z. B. durch eine Modifikation der Kanten oder eine Dekoration der Protokacheln geschehen.
Abb. 1
Untersuchungsgegenstand für diesen Artikel war die folgende Frage: Welches sind die zwei kleinstmöglichen zusammenhängenden Ausschnitte aus der P3-Parkettierung, die selbst einen aperiodischen Kachelsatz bilden und ohne zusätzliche Regeln, die das korrekte Zusammenfügen sicherstellen, wieder zwingend zu einer P3-Parkettierung führen? Die dekorierten Protokacheln $T_2$ und $T_3$ in Abbildung 2 geben eine Antwort auf diese Frage. Es existieren allerdings noch endlich viele weitere Lösungen, deren genaue Anzahl nicht bekannt ist. Wegen der geforderten Zusammenhängigkeit im Sinne einer abgeschlossenen topologischen Scheibe dürften es aber nicht besonders viele sein. Die hier gezeigten Beispiele wurden wegen ihrer äußeren Form gewählt, die im weiteren Verlauf noch eine Rolle spielen wird. $T_1$ ist leider nicht zusammenhängend. $T_3$ setzt sich aus einem $T_1;T_2$ Paar zusammen. Die Kachelsätze aus $T_1;T_2$ bzw. $T_2;T_3$ führen jeweils ohne Zusammenfügungsregeln zwingend zu einer P3-Parkettierung. Beschränkt man den Kachelsatz nicht nur auf zwei Protokacheln, sind natürlich weitere und kleinere Lösungen möglich.
Abb. 2
Parkettierungen wie P2 und P3 besitzen eine skalierende Selbstähnlichkeit, wie sie sich auch bei Fraktalen findet. Grund dafür sind die Substitutionsregeln, die es ermöglichen, jede Kachel in kleinere Versionen der Protokacheln zu zerlegen. So können größere Kacheln aus kleineren zusammengesetzt werden. Dabei sind Penrose-Kacheln stark mit der Fibonacci-Folge verbunden. So ist zum Beispiel das Verhältnis zwischen beiden Protokacheln, die eine größere Kachel parkettieren können, immer durch eine Zahl dieser besonderen Folge gegeben. Dieses Verhältnis findet sich auch in den Kacheln aus Abbildung 2 wieder. $T_1$ besteht aus 5 schmalen und 8 breiten Rauten, $T_2$ aus 8 schmalen und 13 breiten Rauten, und $T_3$ - wenig überraschend - aus 13 schmalen und 21 breiten Rauten. Die Abbildungen 3 und 4 zeigen die Anordnungen für $T_1;T_2$ bzw. $T_2;T_3$ basierend auf der übergeordneten Drachen- und Pfeilform (rot gestrichelt). Die Anwendung der Substitutionsregeln für die P2-Parkettierung (Abb. 11) führt dann zu einem quasiperiodischen Parkett. Die Anordnung für die Pfeilform (rechts) findet sich vollständig in der Drachenform (links) wieder.
Abb. 3 (ohne Dekoration)
Abb. 4 (mit Dekoration)
Die gestrichelten Drachen- und Pfeilformen lassen sich auch vollständig mit Rauten dekorieren, wofür aber auch diagonal halbierte Rauten an den gestrichelten Kanten zugelassen werden müssen. Auch die so dekorierten P2-Kacheln ergeben eine exakte P3-Parkettierung, wobei sich die halbierten Rauten wieder zu vollständigen Rauten ergänzen.

Varianten der Protokacheln

Aus $T_1$ und $T_2$ lassen sich nun zwei neue Protokacheln bilden, die ihrer Form wegen Schlange und Hund getauft wurden. Dafür müssen jeweils zwei spitze gleichschenklige Dreiecke (halbe schmale Rauten) "abgetrennt" und in eine entsprechende Lücke "eingesetzt" werden (rote Pfeile). Die kleinen schwarzen Punkte innerhalb der Kacheln dienen nur dazu, den Kopf er Tiere markanter zu gestalten (Abb. 5).
Abb. 5
Mit einer weiteren ähnlichen Transformation lassen sich die äußeren Formen von Schlange und Hund noch weiter vereinfachen. Das Ergebnis ist ein unregelmäßiges konkaves Sechs- bzw. Fünfeck. Die Abbildungen 6 und 7 zeigen diesen Prozess von links nach rechts. Sowohl $T_8$ und $T_9$, als auch Schlange und Hund, besitzen denselben Flächeninhalt wie $T_1$ und $T_2$.
Abb. 6
Abb. 7
Wie auch die Penrose-Kacheln lassen sich $T_8$ und $T_9$ in Robinson Dreiecke zerlegen. $T_8$ kann in zwei stumpfwinklige Dreiecke (golden gnomon) und zwei spitzwinklige Dreiecke (golden triangle), $T_9$ in vier stumpfwinklige und zwei spitzwinklige Dreiecke zerlegt werden (Abb. 8).
Abb. 8
Während die dekorierten Schlange und Hund Kacheln (Abb. 6b und 7b) wieder zu einer P3-Parkettierung führen, besitzt ein Parkett aus den dekorierten $T_8$ und $T_9$ Kacheln immer kleine Fehler aufgrund unvollständiger Kanten. Diese fehlerhaften Bereiche finden sich in der oberen Ecke von $T_8$ und der unteren linken Ecke von $T_9$. Abbildung 9 zeigt einen dekorierten aperiodischen Kachelsatz auf Basis von $T_8$ und $T_9$, der wieder zu einer P3-Parkettierung führt. Es bleibt dem interessierten Leser überlassen, die Stellen mit der korrigierten Dekoration ausfindig zu machen.
Abb. 9
Ohne Substitutionsregeln lassen die undekorierten $T_8$, $T_9$, und $T_{11}$ Kacheln auch periodische Parkettierungen zu (Abb. 10). Ein lückenloses Parkett nur aus $T_8$ oder $T_{10}$ Kacheln ist hingegen nicht möglich.
Abb. 10

Parkette und Substitutionsregeln

Die Substitutionsregeln für alle in diesem Artikel vorgestellten aperiodischen Kachelsätze sind dieselben wie für die P2-Parkettierung, da sie zur selben MLD-Klasse genhören. Abbildung 11 zeigt diese Regeln am Beispiel der undekorierten $T_8$ und $T_9$ Kacheln. Man beachte, wie sich jeweils eine größere Drachen- und Pfeilform ergibt. Eine sehr schöne Animation dazu bietet dieses Video. Es ist auch immer möglich, Protokacheln so mit entsprechenden Ein- und Ausbuchtungen zu versehen (vgl. $T_2$ und $T_3$), dass sie nur genau die Art und Weise des Zusammenfügens zulassen, wie sie durch die Substitutionsregeln vorgeben wird. Es sind einzig ästhetische Gründe, warum meistens auf eine solche Modifikation der Kanten verzichtet wird. Außenkanten können u. a. auch durch Kurven ersetzt werden. Der englischsprachige Wikipedia Artikel zur Penrose-Parkettierung gibt dafür sehr gute Beispiele an.
Abb. 11
Die Abbildungen 12 und 13 zeigen größere Ausschnitte aus den mit den Kachelsätzen Schlange und Hund, sowie den undekorierten $T_{10}$ und $T_{11}$ gebildeten Parketten. Die Ausschnitte sind (der Einfachheit halber) so gewählt, dass sie die perfekte lokale 5-zählige Rotationssymmetrie von Penrose-Parkettierungen wiedergeben, die sich auch bis ins Unendliche fortsetzen lässt. Es sind jedoch auch unendlich viele andere Fortsetzungen möglich, da überabzählbar unendlich viele verschiedene nicht-kongruente Penrose-Parkettierungen existieren. Penrose-Parkettierungen, und damit auch alle hier vorgestellten, können zwar rotations- und spiegelsymmetrisch sein, weisen aber nie eine Translationssymmetrie auf, was auch der Grund für ihre Nichtperiodizität ist. Es lässt sich auch zeigen, dass sich jeder endliche Ausschnitt unendlich oft in einem solchen Parkett wiederfindet.
Abb. 12
Abb. 13
Das Parkett in Abbildung 13 besitzt noch die Besonderheit, dass sich die violetten $T_{11}$ Kacheln nie berühren. Die immer wiederkehrenden regelmäßigen Zehnecke (auch Sun oder Wagenrad genannt) können zwar so gedreht werden, dass sich doch Berührungen ergeben, aber wenn die Kanten der Kacheln entsprechend modifiziert werden, ist nur genau diese Art des Zusammenfügens möglich.

Aperiodische Monokacheln

Die Tatsache, dass es möglich ist, die Ebene nichtperiodisch zu parkettieren, wurde erstmals 1966 von Robert Berger bewiesen, der kurz darauf ein Beispiel mit 20426 verschiedenen Kacheln vorstellte. In der Folge wurden immer kleinere aperiodische Kachelsätze gefunden, bis Penrose die Zahl der Protokacheln auf zwei reduzieren konnte. Ganz natürlich drängt sich die Frage auf, ob es nicht auch aperiodische Kachelsätze gibt, die aus nur einer Protokachel bestehen. Die Frage nach der Existenz einer solchen aperiodische Monokachel stellt eines der spannendsten offenen Probleme aus der diskreten Geometrie dar. Im Englischen wird eine aperiodische Monokachel oft als Einstein bezeichnet. Dieses Wortspiel mit den Wörtern Ein und Stein, stellvertretend für eine (einzelne) Kachel, wird Ludwig Danzer zugeschrieben. Die Assoziation zu dem Physiker Albert Einstein ist dabei gewollt und der eigentliche Witz des Wortspiels, auch wenn das Problem selbst nichts mit der Person oder seiner wissenschaftlichen Arbeit zu tun hat. Die bisher besten Näherungslösungen für eine aperiodische Monokachel wurden 1996 von Petra Gummelt und 2010 von Joshua Socolar und Joan Taylor vorgestellt. Gummelt konstruierte ein dekoriertes regelmäßiges Zehneck (Abb. 14 links). Socolar und Taylor präsentierten eine undekorierte Protokachel auf Basis eines regelmäßiges Sechsecks, die aber nicht zusammenhängend und damit nach Definition keine abgeschlossene topologische Scheibe ist. Die Socolar–Taylor-Kachel besteht aus insgesamt 19 Teilen in fester Anordnung (Abb. 14 rechts). Die 18 Rechtecke lassen sich dabei aus nur einem Rechtecktyp konstruieren. Ob es möglich ist, die Protokachel auf nur sieben Teile zu reduzieren, kann an dieser Stelle nicht beantwortet werden. Die Dekoration der Kachel (schwarzen Linien) dient lediglich dazu, die Nichtperiodizität des Parketts optisch besser hervorzuheben.
Abb. 14
Die Protokachel $T_{12}$ in Abbildung 15 zeigt eine weitere Näherungslösung auf Basis der P2-Kacheln, deren Parkett allerdings Lücken besitzt (Abb. 16). Ihre Form vereint sowohl Drachen als auch Pfeil so gut wie möglich. Da Penrose-Kacheln nicht denselben Flächeninhalt besitzen, lässt sich eine echte aperiodische Monokachel mit einer 5-fachen Rotationssymmetrie nicht aus ihnen realisieren. Andere Formen als $T_{12}$ sind allerdings möglich, ebenso eine leichte Modifikation der Kanten, um die Zusammenfügungsregeln zu forcieren. Variationen mit größerer Fläche führen dann wie bei der Gummelt-Kachel zu Überlappungen statt Lücken. $T_{12}$ ist ein unregelmäßiges konkaves Zwölfeck, auf Basis eines verbundenen $T_{10};T_{11}$ Paares (Abb. 9 und 15a). Die Kachel lässt sich in eine Raute $(a,b, c,p)$, zwei kongruente Drachen $(c,d,r,p)$ und $(g,h,i,r)$, zwei nicht kongruente Trapeze $(d,e,f,r)$ und $(i,j,k,r)$, im Folgenden $T_{13}$ und $T_{14}$ genannt, und ein unregelmäßiges Viereck $(l,n,q,r)$ zerlegen (Abb. 15b).
Abb. 15: Die Protokachel $T_{12}$
Viele Eigenschaften der Penrose-Kacheln beinhalten den Goldenen Schnitt $\varphi=(1+\sqrt{5})/2\approx1.618$. Die Kantenlängen in Abbildung 15b, in Bezug auf die Einheitskanten der Rauten-Dekoration, sind $\vert fg \vert=\vert ij \vert=\vert pq \vert=\varphi$, $\vert ab \vert= \vert bc \vert=\vert cd \vert=\vert gh \vert=\vert hi \vert=\vert lo \vert=\vert op \vert=\vert pa \vert=\vert pc \vert=\vert qr \vert=\vert fr \vert=\varphi+1$, $\vert dr \vert=\vert gr \vert=\vert hj \vert=\vert ir \vert=\vert lr \vert=\vert pr \vert=2\varphi+1$ und $\vert de \vert=\vert kl \vert=\vert lm \vert=2$.
Abb. 16
Eine $T_{12}$-Kachelung besitzt immer fünf Arten von Lücken. Ein unregelmäßiges Dreieck $(l,m,n)$, ein unregelmäßiges Viereck $(n,o,p,q)$ und drei Arten von "Propellern" (konkave 15-Ecke), die in $T_{13}$ und $T_{14}$ Kacheln zerlegt werden können (Abb. 15b und 17). Dabei kann ein $T_{13};T_{14}$ Paar wieder eine Raute mit Kantenlängen von $2\varphi+1$ bilden. Die dekorierten $T_{12}$-Kacheln (Abb. 15a) erlauben auch eine P3-Kachelung mit den beschriebenen Lücken. Die Substitutionsregeln für $T_{12}$ sind noch einmal gesondert in Abbildung 18 angegeben.
Abb. 17
Abb. 18
Es existieren übrigens genau sieben Möglichkeiten, P2-Kacheln lückenlos um einen gemeinsamen Punkt anzuordnen (Abb. 19). Damit lässt sich u. a. beweisen, dass alle in diesem Artikel vorgestellten dekorierten Kachelsätze wieder zu einer exakten P3-Kachelung führen.
Abb. 19
Die Form von Protokacheln tierisch zu formen und zu dekorieren, ist übrigens nicht neu und wurde bereits von Penrose selbst in seinem Artikel Pentaplexity gezeigt. Abbildung 20 zeigt links Penrose Beispiel mit dekorierten P2-Kacheln (Hühner), und rechts ein Beispiel mit Fischen auf Basis der P3-Kacheln.
Abb. 20

Verwendete Quellen

David Bailey, David Bailey's World of Tessellations. D. Frettlöh, E. Harriss, F. Gähler: Tilings encyclopedia, tilings.math.uni-bielefeld.de/.
  • Diese Website besitzt u.a. einen herovoragenden Glossar in englischer Sprache, wo die wichtigsten Fachbegriffe, wie z.B. MLD, nachgeschlagen werden können.
  • Das Snake & Dog tiling wird demnächst in die Enzyklopädie aufgenommen.
  • Branko Grünbaum, G. C. Shephard, (1987), Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman, pp. 519–548, ISBN 978-0-7167-1193-3. Martin Gardner (1989), Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, New York: W. H. Freeman, 10: 071671986X. Petra Gummelt (1996), Penrose tilings as coverings of congruent decagons, Geometriae Dedicata, 62 (1), doi:10.1007/BF00239998. Katharina Krapf (2019), Die Penrose-Parkettierung mit Drachen und Pfeil, Wissenschaftliche Arbeit für das Lehramt an Gymnasien. Roger Penrose (1979/80), Pentaplexity: A class of nonperiodic tilings of the plane, The Mathematical Intelligencer, 2: pp. 32–37, doi:10.1007/BF03024384, S2CID 120305260. Joshua Socolar, Joan M. Taylor (2011), An Aperiodic Hexagonal Tile, Journal of Combinatorial Theory, Series A. 118 (8):2207–2231, doi:10.1016/j.jcta.2011.05.001. Wikipedia, Parkettierung, Penrose tiling, Problem der monohedralen, aperiodischen Parkettierung, sowie die im Text gesetzten Links. Mike Winkler (2021), Aperiodic Sets of Prototiles Extracted From the Penrose Rhomb Tiling.
  • Dieser Artikel wird in einer der nächsten Geombinatorics Ausgaben erscheinen und ist frei bei ResearchGate verfügbar.

  • Bildnachweise

    Abb. 1: de.wikipedia.org/wiki/Parkettierung#Aperiodische_Parkettierungen Abb. 14: de.wikipedia.org/wiki/Problem_der_monohedralen,_aperiodischen_Parkettierung Abb. 19: en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling#Kite_and_dart_tiling_(P2) Abb. 20 links: www.amazon.de/Penrose-Tiles-Trapdoor-Ciphers-Spectrum/dp/0883855216 Abb. 20 rechts: www.tess-elation.co.uk/penrose-tilings Alle weiteren Abbildungen wurden von mir per Hand mit einem CAD-System erstellt. Für die Abbildungen 12, 13 und 16 habe ich die 5-zählige Rotationssymmetrie gewählt, um mir 4/5 der Arbeit zu ersparen. Für eine kommerzielle Verwendung dieser Bilder muss mein Einverständnis eingeholt werden. Die Bilder stehen auch unkoloriert als Vektorgrafik und TikZ-Code zur Verfügung.

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    "Mathematik: Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen" | 4 Comments
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    Re: Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen
    von: Delastelle am: So. 31. Oktober 2021 02:57:15
    \(\begingroup\)Hallo, wir solten Slash und seinen Mitstreitern mal eine Straße schenken, damit sie mit Mustern parkettiert wird... Bei den Mustern bin ich immer etwas skeptisch - zu leicht irrt man sich mit einer optischen Illusion. Viele Grüße Ronald\(\endgroup\)
     

    Re: Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen
    von: Bernhard am: So. 31. Oktober 2021 23:54:39
    \(\begingroup\)Hallo Slash! Vielen Dank für den interessanten Artikel! Ich habe eine Frage zu der Parkettierung mit Drachen und Pfeilen, wie Du sie in Abb.19 zeigst. Neu ist mir dabei die Idee, sie mit roten und grünen Bögen zu versehen, die dann beim Aneinanderlegen immer exakt zusammenpassen. Mit denen grünen Kacheln kann man sogar Kreise legen, was ja hier bereits gezeigt wird. Wegen den Winkeln geht das mit den roten nicht. Aber es gelten folgende Gesetze: 1.) Entweder eine Linie ist geschlossen, führt also irgendwann in sich zurück oder sie ist unendlich lang, weil sie nicht innerhalb der Parkettierung einfach aufhören kann. 2.) Die Linien überschneiden sich nicht. 3.) Also müssen alle Linien innerhalb eines Bereichs, der durch eine geschlossene Linie umfaßt sind, ebenfalls geschlossen sein. 4.) Wenn es eine nicht geschlossene Linie geben sollte, die dann die Parketierung quasi in zwei Hälften teilte, wäre dann die Regel, daß sich jeder endliche Ausschnitt unendlich oft in einem solchen Parkett wiederfindet davon betroffen? Viele Grüße von Bernhard\(\endgroup\)
     

    Re: Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen
    von: Slash am: Mo. 01. November 2021 11:11:12
    \(\begingroup\)Hallo Bernhard, vielen Dank für deine interessante Frage und Beobachtungen. Die angesprochene Dekoration mit den Kreisbögen in Abb. 19 liefert bei korrekter Anwendung der P2-Substitutionsregeln "nicht" ausschließlich geschlossene Kurven (s. u. Conway), Überschneidungen sind aber nicht möglich. Die einzigen Kreise, die dabei auftreten können, sind die in Abb. 19 gezeigten (obere Reihe in grün). Dass gleichfarbige Kreisbögen beim Zusammensetzen "passen" müssen, ist nichts anderes als eine "optische" Variante der Substitutionsregeln. Die Kurvenmuster repräsentieren genau dieselben Muster, wie sie auch die P2-Kacheln selbst bilden. Das bedeutet, dass man auch mit undekorierten Kacheln diese Kurvenmuster nachvollziehen kann, ...etwas stilisiert natürlich. Hier ein Ausschnitt, in dem sich das gut erkennen lässt. Achtung: grün und rot sind in dem Bild vertauscht, also umgekehrt wie in Abb. 19. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_penrose_abb_19.jpg Deinen Punkt 4 kann ich dir leider nicht zufriedenstellend beantworten. Ob in einem solchen Fall "die Regel, dass sich jeder endliche Ausschnitt unendlich oft in einem solchen Parkett wiederfindet, davon betroffen wäre", weiß ich nicht. John H. Conway hat aber gezeigt, dass höchstens zwei Kurven jeder Farbe nicht geschlossen sind, und dass das Feld der Kacheln innerhalb der geschlossenen Kurven immer eine fünfzählige Rotationssymmetrie besitzt bzw. zur Symmetriegruppe D5 gehört. EDIT: Wenn ich jetzt nicht komplett auf dem Schlauch stehe, dann lassen die Substitutionsregeln ja nur genau "eine einzige" unendliche Parkettierung zu. In dieser gepflasterten Ebene existiert dann "mindestens ein" Punkt, von dem aus sich das Parkett perfekt 5-zählig rotationssymmetrisch entwickelt. Mindestens eine nicht geschlossene Kurve aus den dekorierten Kreisbögen hätte zur Folge, dass es nur endlich viele geschlossene Kurven um das Zentrum gäbe. Das dürfte aber eigentlich nicht sein. ...ein Beweis ist das natürlich nicht 😉 Viele Grüße! Slash\(\endgroup\)
     

    Re: Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen
    von: Slash am: Mi. 03. November 2021 19:05:00
    \(\begingroup\)Hallo Bernhard ...und alle Interessierten! Ich hatte dazu mal den Fachmann Dirk Frettlöh kontaktiert. Was ich im letzten EDIT schrieb, war teilweise falsch. Das gilt also wirklich nur für eine der unendlichen rotationssymmetrischen Parkette. Herr Frettlöh schreibt: "Es gibt überabzahlbar unendlich viele verschiedene nicht-kongruente Penrosepflasterungen. Und darunter nur genau zwei (glaube ich), die wirklich als ganzes eine 5-zählige Drehsymmetrie haben. Ich denke, eine nicht-geschlossene Kurve erhält man konstruktiv durch Ausnutzen der Inflationsregel: inflationiert man ein dickes Rhombus 2-mal, so liegt etwa in der Mitte wieder ein dicker Rhombus, also kann ich das iterieren (sodass in der Mitte immer ein dicker Rhombus liegt). Darin geht jeweils (mindestens) eine Kurve durch den zentralen Rhombus von Rand zu Rand. In der entstehenden Pflasterung geht dann mindestens eine Kurve nach beiden Richtungen ins Unendliche." Gruß, Slash\(\endgroup\)
     

     
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