n sind genau die Zahlen, die $n$ ohne Rest teilen. So finden wir in der Spalte unterhalb der 6 die Teiler 1, 2 und 3. In der 10er Spalte die Teiler 1, 2 und 5. Unterhalb der 11 findet sich allerdings kein weiterer "Teilerstein" außer der 1. Das liegt daran, dass es sich bei der 11 um eine Primzahl handelt, welche definitionsgemäß ohne Rest nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Wir haben somit ein visuelles Verfahren zur Ermittlung von Primzahlen gefunden. Ist in unserem Modell die Spalte zwischen der natürlichen Zahl $n$ und der 1 frei von Teilersteinen, handelt es sich bei $n$ um eine Primzahl. In dem folgenden Bild sind diese Fälle durch rosa Balken gekennzeichnet. Philosophisch gesprochen könnte man sagen, dass die Säulen der Primzahlen das Dach der natürlichen Zahlen stützen.

algebraische. Jede natürliche Zahl lässt sich nämlich als ein "eindeutiges" Produkt von Primzahlen schreiben. Dieses Produkt nennt man die Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl. Zum Beispiel ist 12 = 2·2·3, 2156 = 2·2·7·7·11 und 69161 = 23·31·97. Abgesehen von der Reihenfolge der Primfaktoren gibt es keine weitere Möglichkeit diese Zahlen als ein Produkt von Primzahlen darzustellen.

Steigungen $m$ der Geraden bzw. deren Winkel zur Grundreihe werden dabei immer kleiner. Für den Abstand $a$ der Zahlen auf der jeweiligen Geraden $n$ gilt die Beziehung $a=\backslash sqrt\{n^2+1\}$ bzw. für die Steigung $m=\backslash frac\{1\}\{n\}$.

n-te Zeile tritt diese Wiederholung immer genau ab der Spalte auf in der sich alle Teilersteine von 1 bis $n$ befinden. Abgesehen davon, dass in diesen speziellen Spalten alle Teilersteine von 1 bis $n$ aufeinander getürmt sind, tritt hier noch eine weitere Besonderheit auf. Bis zu diesen Spalten besitzt nämlich jede Zeile von 1 bis $n$ die gleiche Summe ihrer Teilersteine. In unserem obigen Beispiel ist das 1+1+1+1+1+1 = 2+2+2 = 3+3 = 6. Die Zahlenfolge dieser speziellen Spalten beginnt mit 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 12252240, 232792560, 232792560, 232792560,... Man findet sie auch in der "Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen", kurz OEIS, unter A003418. Die Zahlen dieser Folge wachsen sehr schnell an. Für die ersten 500 Zeilen wiederholt sich die Struktur erst nach 732396223189528465938638745190422988297613382512892590463491900345963074208037133943277598198913 269852683126066484088757133140133136233370943124406636598033520614155609553983162538922207389455 85450197206138869521568000 Schritten. Das ist eine Zahl mit 218 Ziffern. Zum Glück muss man diese Schritte nicht alle zählen. Diese Zahlen lassen sich berechnen. Um die Schritte für die sich wiederholende Struktur bis zur $n$-ten Zeile zu berechnen muss nur das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, aller natürlichen Zahlen von 1 bis $n$ gebildet werden. Man multipliziert dafür alle Primfaktoren mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz die in irgendeiner der Zahlen von 1 bis $n$ vorkommen. Dies erklärt auch, warum sich manche Zahlen der Folge wiederholen, andere hingegen nicht. Dazu das Beispiel für $n$ = 10. Es ist dann kgV(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) = 2520. Denn 2=2¹, 3=3¹, 4=2², 5=5¹, 6=2¹·3¹, 7=7¹, 8=2³, 9=3², 10=2¹·5¹. Die Primzahlen in der Menge von 1 bis 10 sind 2, 3, 5 und 7. Die Primfaktoren mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz sind daher 2³, 3², 5¹, 7¹ und ihr Produkt 8·9·5·7 = 2520. Eigentlich ganz einfach. Das kgV ist übrigens das Pendant zum ggT, dem größten gemeinsamen Teiler.

Primzahlzwillinge. Dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist schon seit Euklid bekannt und auch leicht zu beweisen. Ob es aber auch unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist nach wie vor ungeklärt bzw. konnte noch nicht bewiesen werden. Unser visuelles Teilbarkeitsmodell kann allerdings nicht als "optischer Beweis" für die Unendlichkeit der Primzahlen dienen. Das heißt, es wird anschaulich nicht klar, warum es trotz immer mehr Teilersteinen doch unendlich viele Spalten geben soll, die frei von eben diesen sind. Für die Primzahlzwillinge wollen wir in diesem Zusammenhang folgende Überlegung treffen. Da wir wissen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, unser Modell also immer wieder steinfreie Spalten aufweisen muss, warum sollte dies dann nicht auch für benachbarte Spalten von ungeraden Zahlen gelten. Bei den anderen bekannten Siebmethoden oder Formeln für Primzahlen drängt sich einem diese Frage nicht so ohne Weiteres auf. Dass dies für einen sehr, sehr großen, aber dennoch endlichen Zahlenraum wirklich der Fall ist, beweist das Auffinden von Primzahlzwillingen mit mehr als 200000 Ziffern. Wie viele andere Rätsel und Vermutungen über Primzahlen wird auch die Frage nach der Unendlichkeit der Primzahlzwillinge wohl noch lange Zeit ungeklärt bleiben. Doch es sind ja gerade diese offenen Fragen, welche die Mathematik so spannend machen. Es gibt also auch für zukünftige Generationen noch viel zu entdecken.

Doku zur Riemannschen Vermutung, Die Welt der Primzahlen, Die Primzahlseite von Arndt Brünner. Streicht man alle doppelten Zahlen der Folge A003418, erhält man die Folge A051451. Im September 2013 habe ich eine Vermutung zur Verteilung von Primzahlzwillingen und die besondere Beziehung je zweier Primzahlzwillinge zu den Zahlen der Folge A051451 aufgestellt. Die Vermutung: Für jedes n > 2 der Folge A051451 existiert ein Primzahlzwilling [p, p+2] mit p < a(n), so dass auch [a(n)+p, a(n)+p+2] ein Primzahlzwilling ist. Die Grafiken stammen alle von mir. Die Quelle der übrigen Links sind Wikipedia und OEIS. Der letzte Satz in diesem Artikel gehört dem Mathematiker Don Zagier, der einmal folgendes über die Primzahlen gesagt hat.