Mathematik: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
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Mathematik

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Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet



Das Modell

n sind genau die Zahlen, die n ohne Rest teilen. So finden wir in der Spalte unterhalb der 6 die Teiler 1, 2 und 3. In der 10er Spalte die Teiler 1, 2 und 5. Unterhalb der 11 findet sich allerdings kein weiterer "Teilerstein" außer der 1. Das liegt daran, dass es sich bei der 11 um eine Primzahl handelt, welche definitionsgemäß ohne Rest nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Wir haben somit ein visuelles Verfahren zur Ermittlung von Primzahlen gefunden. Ist in unserem Modell die Spalte zwischen der natürlichen Zahl n und der 1 frei von Teilersteinen, handelt es sich bei n um eine Primzahl. In dem folgenden Bild sind diese Fälle durch rosa Balken gekennzeichnet. Philosophisch gesprochen könnte man sagen, dass die Säulen der Primzahlen das Dach der natürlichen Zahlen stützen.

Primfaktorzerlegung

algebraische. Jede natürliche Zahl lässt sich nämlich als ein "eindeutiges" Produkt von Primzahlen schreiben. Dieses Produkt nennt man die Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl. Zum Beispiel ist 12 = 2·2·3, 2156 = 2·2·7·7·11 und 69161 = 23·31·97. Abgesehen von der Reihenfolge der Primfaktoren gibt es keine weitere Möglichkeit diese Zahlen als ein Produkt von Primzahlen darzustellen.

Eine geometrische Konstruktionsvorschrift

Steigungen m der Geraden bzw. deren Winkel zur Grundreihe werden dabei immer kleiner. Für den Abstand a der Zahlen auf der jeweiligen Geraden n gilt die Beziehung a=\sqrt{n^2+1} bzw. für die Steigung m=\frac{1}{n}.

Eine immer komplizierter werdende Ordnung

Sich wiederholende Strukturen

n-te Zeile tritt diese Wiederholung immer genau ab der Spalte auf in der sich alle Teilersteine von 1 bis n befinden. Abgesehen davon, dass in diesen speziellen Spalten alle Teilersteine von 1 bis n aufeinander getürmt sind, tritt hier noch eine weitere Besonderheit auf. Bis zu diesen Spalten besitzt nämlich jede Zeile von 1 bis n die gleiche Summe ihrer Teilersteine. In unserem obigen Beispiel ist das 1+1+1+1+1+1 = 2+2+2 = 3+3 = 6. Die Zahlenfolge dieser speziellen Spalten beginnt mit 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 12252240, 232792560, 232792560, 232792560,... Man findet sie auch in der "Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen", kurz OEIS, unter A003418. Die Zahlen dieser Folge wachsen sehr schnell an. Für die ersten 500 Zeilen wiederholt sich die Struktur erst nach 732396223189528465938638745190422988297613382512892590463491900345963074208037133943277598198913 269852683126066484088757133140133136233370943124406636598033520614155609553983162538922207389455 85450197206138869521568000 Schritten. Das ist eine Zahl mit 218 Ziffern. Zum Glück muss man diese Schritte nicht alle zählen. Diese Zahlen lassen sich berechnen. Um die Schritte für die sich wiederholende Struktur bis zur n-ten Zeile zu berechnen muss nur das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, aller natürlichen Zahlen von 1 bis n gebildet werden. Man multipliziert dafür alle Primfaktoren mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz die in irgendeiner der Zahlen von 1 bis n vorkommen. Dies erklärt auch, warum sich manche Zahlen der Folge wiederholen, andere hingegen nicht. Dazu das Beispiel für n = 10. Es ist dann kgV(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) = 2520. Denn 2=21, 3=31, 4=22, 5=51, 6=21·31, 7=71, 8=23, 9=32, 10=21·51. Die Primzahlen in der Menge von 1 bis 10 sind 2, 3, 5 und 7. Die Primfaktoren mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz sind daher 23, 32, 51, 71 und ihr Produkt 8·9·5·7 = 2520. Eigentlich ganz einfach. Das kgV ist übrigens das Pendant zum ggT, dem größten gemeinsamen Teiler.

Primzahlzwillinge

Primzahlzwillinge. Dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist schon seit Euklid bekannt und auch leicht zu beweisen. Ob es aber auch unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist nach wie vor ungeklärt bzw. konnte noch nicht bewiesen werden. Unser visuelles Teilbarkeitsmodell kann allerdings nicht als "optischer Beweis" für die Unendlichkeit der Primzahlen dienen. Das heißt, es wird anschaulich nicht klar, warum es trotz immer mehr Teilersteinen doch unendlich viele Spalten geben soll, die frei von eben diesen sind. Für die Primzahlzwillinge wollen wir in diesem Zusammenhang folgende Überlegung treffen. Da wir wissen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, unser Modell also immer wieder steinfreie Spalten aufweisen muss, warum sollte dies dann nicht auch für benachbarte Spalten von ungeraden Zahlen gelten. Bei den anderen bekannten Siebmethoden oder Formeln für Primzahlen drängt sich einem diese Frage nicht so ohne Weiteres auf. Dass dies für einen sehr, sehr großen, aber dennoch endlichen Zahlenraum wirklich der Fall ist, beweist das Auffinden von Primzahlzwillingen mit mehr als 200000 Ziffern. Wie viele andere Rätsel und Vermutungen über Primzahlen wird auch die Frage nach der Unendlichkeit der Primzahlzwillinge wohl noch lange Zeit ungeklärt bleiben. Doch es sind ja gerade diese offenen Fragen, welche die Mathematik so spannend machen. Es gibt also auch für zukünftige Generationen noch viel zu entdecken.

Anmerkungen

Doku zur Riemannschen Vermutung, Die Welt der Primzahlen, Die Primzahlseite von Arndt Brünner. Streicht man alle doppelten Zahlen der Folge A003418, erhält man die Folge A051451. Im September 2013 habe ich eine Vermutung zur Verteilung von Primzahlzwillingen und die besondere Beziehung je zweier Primzahlzwillinge zu den Zahlen der Folge A051451 aufgestellt. Die Vermutung: Für jedes n > 2 der Folge A051451 existiert ein Primzahlzwilling [p, p+2] mit p < a(n), so dass auch [a(n)+p, a(n)+p+2] ein Primzahlzwilling ist. Die Grafiken stammen alle von mir. Die Quelle der übrigen Links sind Wikipedia und OEIS. Der letzte Satz in diesem Artikel gehört dem Mathematiker Don Zagier, der einmal folgendes über die Primzahlen gesagt hat.

"Beim Anblick dieser Zahlen hat man das Gefühl, vor einem der unergründlichen Geheimnisse der Schöpfung zu stehen."


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"Mathematik: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet" | 6 Comments
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Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von: Martin_Infinite am: Di. 16. Juni 2015 10:30:08
\(\begingroup\)Das Modell ist ganz nett. Ich würde eine Anordnung von Zahlen allerdings nicht als "geometrisch" bezeichnen, sondern eher als "kombinatorisch", zumal nicht wirklich die Geometrie des Bildes ausgenutzt worden ist (und vermutlich auch nicht sinnvoll ausgenutzt werden kann). Aus dem Modell kann man übrigens relativ leicht die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl ablesen - vielleicht könnte man das im Artikel noch erklären und ergänzen. Der Abschnitt "Ein dynamisches System" ist meiner Meinung nach fehlerhaft. Erstens, das ist kein dynamisches System (im üblichen Sinne). Zweitens, es gibt schon längst Formeln für die n-te Primzahl, bloß es ist fraglich, ob man damit Primzahlen effizient ausrechnen kann oder offene Probleme von Primzahlen lösen kann. Der Satz "Eine solche Formel wäre mit Abstand die größte und wichtigste Entdeckung in der Mathematik." ist falsch. Die im Artikel angegebene Heuristik ("warum sollte dies dann nicht auch für benachbarte Spalten von ungeraden Zahlen gelten.") für die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge ist nicht überzeugend. Es gibt (überabzählbar) viele unendliche Mengen von natürlichen Zahlen, die nur endlich oft als Paare auftreten. Und dass man viele Primzahlzwillinge in einem Bereich von natürlichen Zahlen findet, hat nichts mit ihrer (Un)endlichkeit zu tun. Was das "Auffinden von Gesetzmäßigkeiten" angeht: Die Zahlen 12, 121, 1211, 12111, 121111, 1211111 sind allesamt zusammengesetzt (d.h. nicht prim). Geht das immer so weiter? Für eine ganze Weile schon. Aber die 138-stellige Zahl in dieser Folge, also 121111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111, ist prim.\(\endgroup\)
 

Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von: shadowking am: Do. 18. Juni 2015 09:07:24
\(\begingroup\)Was den Punkt "dynamisches System" angeht, muß ich Martin zustimmen. Denn in welchem Verständnis von "Dynamik" wäre das Muster, das entsteht, "dynamisch"? Dynamik bedeutet, egal ob diskret oder kontinuierlich, irgendeine Zeitabhängigkeit, während das Zahlenmuster statisch ist und höchstens optisch den komplizierten Attraktoren in chaotisch werdenden dynamischen Systemen ähnelt*. Inhaltlich liegt m.M.n. jeder Zusammenhang fern. *: Genaugenommen ähnelt es auch nur deren Projektion ins Zweidimensionale, denn aufgrund des Satzes von Poincaré-Bendixson kann ein autonomes dynamisches System aus nur zwei Größen gar nicht chaotisch werden. Dafür bräuchte es mindestens drei Größen oder eine explizite Zeitabhängigkeit der Zustandsgleichungen. Tieferer Grund dafür ist der Jordansche Kurvensatz.\(\endgroup\)
 

Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von: Slash am: Do. 18. Juni 2015 13:26:44
\(\begingroup\)Ich war/bin mir selbst nicht sicher, ob der Begriff "dynamisches Systems" hier wirklich passt. Zu meiner Verteidigung muss ich aber sagen, dass ich den Artikel mit genau diesem Hinweis eingereicht habe. Wie wäre es, wenn ich statt dessen einfach von einem "unverhersagbaren System" sprechen würde? Zu Martins anderen Punkten: Der Begriff "Geometrie" bezieht sich in erster Linie auf die Quadrate im Raster (also das Modell) und ist somit ok, denke ich. Die Zielgruppe des Artikels sind Laien. (Obwohl dem einen oder anderen gestandenen Mathematiker diese Visualisierung auch ganz gut tut.) Diese Zielgruppe versteht unter einer Formel etwas, in das man einen Wert $n$ einsetzt und nach schneller, endlicher Rechenzeit (ohne Kenntniss der vorausgehenden Primzahlen) einen anderen Wert, hier eben die $n$-te Primzahl, herausbekommt. Und eine solche Formel/Algorithmus wäre nunmal einer der heiligen Grale der Mathematik, da sämtliche Primzahl-Probleme mit einem Schlag gelöst und bewiesen werden könnten, da man den Code ihrer Verteilung geknackt hätte. Die von dir angesprochenen bekannten Formeln sind für die Praxis allesamt nutzlos, da sie eben keine konkrete Ausage über die Verteilung der Primzahlen liefern. Das verlinkte Buch von Ribenboim enthält übrigens ein eigenes Kapitel darüber. Der Satz "Da wir wissen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, unser Modell also immer wieder steinfreie Spalten aufweisen muss, warum sollte dies dann nicht auch für benachbarte Spalten von ungeraden Zahlen gelten" bezieht sich nur auf die Optik des Modells und stellt keine Heuristik für einen Beweis dar. Bei den bekannten Siebmethoden oder Formeln drängt sich (jedenfalls mir) diese Frage nicht so ohne Weiteres auf.\(\endgroup\)
 

Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von: ZetaX am: Do. 18. Juni 2015 20:14:54
\(\begingroup\)"Geometrie" heißt nicht, dass man Bildchen malt (das tut man z.B. auch in der Graphentheorie oder in Analysis). Geometrie beschäftigt sich unter anderem mit Lagebeziehungen (schneiden sich drei Geraden in einem Punkt¿), Formen (ist das symmetrisch¿) und dergleichen. Die Rasterquadrate haben damit nichts zu tun, das ist wie Martin schon sagte Kombinatorik. Wenn dann könnte man sich auf die auftretenden Linien und sonstige Muster beziehen. Die Behauptung, dass eine "Primzahlformel" (mir ist weiterhin nicht klar, was das sein soll; es ist sehr einfach, einen Primzahlsuchalgorithmus in einen Term umzuwandeln) alle Primzahlprobleme lösen würde ist schlicht Quatsch. Es gibt explizite Formeln für Fakultäten, Fibonaccizahlen und Partitionszahlen (und das waren jetzt nur einige wenige, sortiert nach Tiefgründigkeit der Formel), trotzdem gibt es dazu massig offene Probleme; einige denen in Primzahlen (Goldbach, Zwillinge) nicht unähnlich.\(\endgroup\)
 

Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von: Slash am: Fr. 19. Juni 2015 13:19:29
\(\begingroup\)Ich werde ein paar Stellen im Artikel am Wochenende überarbeiten. Die harte Aussage mit der Primzahlformel werde ich auf jeden Fall korrigieren. Gerne nehme ich auch noch Verbesserungsvorschläge zu den Punkten "dynamisches System" und "Geometrie" entgegen - hier oder per PM.\(\endgroup\)
 

Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von: Slash am: Di. 30. Juni 2015 04:21:16
\(\begingroup\)Hier noch der Link zu einer interessanten Seite, die sich mit dem Muster befasst. Divisor Drips and Square Root Waves Eigentlich ist es mehr ein kleines Buch.\(\endgroup\)
 

 
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