Mathematik: Schere - Stein - Papier und mehr
Released by matroid on So. 16. Februar 2014 10:34:31 [Statistics]
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Spiele+Rätsel

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Schere - Stein - Papier

Ein Versuch zu einer Erweiterung eines alten Spiels


Ich habe mir mal ein paar Gedanken zu diesem kleinen Spiel gemacht, das eigentlich weniger als Spiel, denn als Losverfahren verwendet wird und fast jedem von Euch bekannt sein dürfte.
Wir werden es hier kurz analysieren und zu erweitern versuchen.




Einführung


Ich stelle hier nochmals das Grundprinzip vor:
Es werden für drei Gegenstände, eine Schere, einen Stein und ein Blatt Papier (ab jetzt "Elemente" genannt) aufgrund ihrer Materialeigenschaften folgende Beziehungen deklariert:
Die Schere zerschneidet das Papier.
Das Papier wickelt den Stein ein.
Der Stein macht die Schere stumpf.
Es sind hiermit drei Größer-Relationen definiert, nach denen dann der Sieger ermittelt wird, wenn die verdeckt und zufällig ausgewählten "Wetten" aufgedeckt werden. Das letztere soll uns jedoch hier nicht weiter interessieren.

Bemerkenswert dagegen ist, daß diese Relation im Kreis läuft, sich in den Schwanz beißt.
Aus den drei Beziehungen
  • Schere > Papier
  • Papier > Stein
  • Stein > Schere
wird somit ein kleines Windrad:






Die Erweiterung der Elemente

Ich habe dem Spiel 3 = {Sc, St, P} nun die drei weiteren Elemente Feuer, Wasser und Tontopf hinzugefügt und entsprechend auch neue Relationen definiert. Die Suche danach war gar nicht so einfach, da sie im Sinne des Spieles zueinander "passen" und sich mit ihnen untereinander und auch mit den bereits vorhandenen Elementen ähnlich plausible Beziehungen formulieren lassen sollten.
Wichtig dabei ist, daß ich die aus dem dreielementigen Spiel bereits gewohnten Beziehungen und deren anschauliche Begründungen so belassen habe, wie man sie kennt.
Einzige Veränderung:
Aus der Schere habe ich ein Messer gemacht, was die Möglichkeit eröffnete, alle Elemente eindeutig durch ihren Anfangsbuchstaben zu benennen.
Die Menge der Elemente lautet also jetzt:
Messer, Stein, Papier, Feuer, Wasser und Tontopf
Oder, wie wir jetzt abkürzen wollen:
Spiel6 = {M, S, P, F, W, T}

Die Erweiterung der Relationen

Die neue Liste der Relationen und ihrer Begründungen sieht jetzt folgendermaßen aus:
  • Messer schneidet Papier
  • Messer ritzt Tontopf
  • Messer tut dem Wasser nichts

  • Stein schleift Messer
  • Stein zerschlägt Tontopf
  • Stein tut dem Feuer nichts

  • Papier wickelt Stein ein
  • Papier saugt Wasser auf
  • Papier tut dem Tontopf nichts

  • Feuer verbrennt Papier
  • Feuer schmiedet Messer
  • Feuer tut dem Stein nichts

  • Im Wasser versinkt der Stein
  • Wasser löscht Feuer
  • Wasser tut dem Messer nichts

  • Der Tontopf erstickt das Feuer
  • Der Tontopf hält das Wasser
  • Der Tontopf tut dem Papier nichts

         Ich habe die alten Relationen hier blau markiert. Die neuen Definitionen klingen teilweise vielleicht etwas an den Haaren herbeigezogen, aber man kann sich daran gewöhnen. Mir sind keine besseren eingefallen.
Neu bei der Sache ist, daß jedes Element jetzt nicht nur ein, sondern zwei Elemente besiegen kann und entsprechend auch zweien unterlegen ist.
Vielleicht noch interessanter ist, daß es jetzt für jedes Element außer sich selbst noch ein weiteres Patt-Element gibt, dem es gleichwertig ist.
Diese Relationen lassen sich jetzt auf mehrere Arten veranschaulichen. Die naheliegenste Form wäre wahrscheinlich eine Beziehungstabelle:


 MSPFWT
Messer=<><=>
Stein>=<=<>
Papier<>=<>=
Feuer>=>=<<
Wasser=><>=<
Tontopf<<=>>=


Die neuen Windräder

Jetzt ist es natürlich soweit, daß man sich fragt, ob man auch mit diesen 6 Elementen wieder ein Windrad basteln kann.

Kann man tatsächlich!

6-Elemente-Kreis_a


Da aber jetzt von jedem Element zwei Relationen abgehen, sind sie durch einen einzigen solchen Zirkel nicht mehr vollständig zu beschreiben.

Also muß noch ein zweiter her:


6-Elemente-Kreis_b


Und schließlich bietet sich noch eine dritte Möglichkeit an. Da beide Kreise geschlossen sind, kann man sie auch, wenn man sie beim selben Element aufschneidet, aneinanderhängen und in einem Weg durchlaufen. Man erhält dann einen Zwölferring, in dem jedes Element zweimal vorkommt, jeweils mit einem anderen Folgeelement.

Der sieht dann so aus:


12-Elemente-Kreis


Wobei hier die linke Hälfte des Zwölferringes den ersten, die rechte Hälfte den zweiten Sechserring durchläuft.



Weitere Betrachtungen

Konnte man beim ersten Spiel3 = {Sc, St, P} noch schließen:
Seien a,b,c ∈ Spiel3 und a > b > c , dann gilt a < c, so lassen sich jetzt für
a,b,c ∈ Spiel6 und a > b > c keine Schlüsse mehr auf das Verhältnis von a und c machen.

Nun könnte man sich natürlich auch vorstellen, das Ganze nochmals zu erweitern. Das wäre sicher nicht einfach, denn es gingen einem sehr schnell die Objekte aus, die man dann miteinander nach so einem System einigermaßen plausibel verknüpfen könnte. Theoretisch ist es aber möglich, auch größere Spiele z.B. an Hand solch einer Beziehungstabelle zu definieren.

Wir haben diese Gedanken bei einem Losspiel unter Kindern begonnen und dieses erweitert. Es sieht so aus, als ob dabei eine weitere Spielerei herausgekommen wäre, diesmal für erwachsene Mathematiker.
Aber die sollen ja auch oft wie Kinder sein…

Trotzdem könnte ich mir zumindest eine praktische Anwendung dafür vorstellen:
In der Natur gibt es viele Abhängigkeitssysteme, die sich "in den Schwanz beißen". Insbesondere Nahrungsketten oder Symbiosen, wenn z.B. ein scheinbar "stärkeres" Wesen wie ein Raubtier sich zwar von schwächeren wie Pflanzenfressern ernährt, aber zuletzt doch wieder noch schwächeren wie aasfressenden Insekten als Nahrung dient. Solche Systeme haben wie meine oben beschriebene Erweiterung ebenso Verzweigungen und gegenseitig neutrale Elemente, sind aber um einiges komplizierter. Vielleicht könnte trotzdem ein ähnliches Modell bei deren Beschreibung helfen.
Oder besser gesagt: Mich würde es fast wundern, wenn nicht schon vor mir jemand daraufgekommen wäre…

In diesem Sinne verstehe ich meinen Artikel auch als Denkanstoß und Anregung, an der Idee vielleicht noch ein bißchen weiter zu knobeln.

Viel Spaß dabei wünscht Bernhard!


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"Mathematik: Schere - Stein - Papier und mehr" | 7 Comments
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Re: Schere - Stein - Papier und mehr
von: Otis am: So. 16. Februar 2014 17:45:05
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Das erinnert mich an: de.bigbangtheory.wikia.com/wiki/Stein,_Papier,_Schere,_Echse,_Spock :D\(\endgroup\)
 

Re: Schere - Stein - Papier und mehr
von: schnelle_frage am: So. 16. Februar 2014 19:09:59
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Ich verstehe die Idee mit den Windrädern nicht.

Wenn man Stein - Papier - Schere konsequent weiterentwickelt, dann müsste es doch eigentlich das Ziel sein, einen vollständigen Graphen zu erzeugen (egal mit welcher Anzahl von Elementen).

Einfacher ist es doch dann, einen beliebigen vollständigen, eulerschen Graphen - z.B. den K5 - zu nehmen und dann die Knoten einfach mit mehr oder weniger hanebüchenen Alltagsgegenständen zu benennen.

Richtungspfeile einzeichnen nicht vergessen.

Zum K5 sag ich übrigens nur - Schere, Stein, Papier, Spock, Echse.  😁\(\endgroup\)
 

Re: Schere - Stein - Papier und mehr
von: davidhigh am: So. 16. Februar 2014 21:25:31
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Hey,

zum Thema ergänzend gibts auch das da hier: hier.
Darin ist auch ein 25-Zeichen Spiel beschrieben. Ob das dann wirklich mehr Spass macht ist aber fraglich. ;-)

Viele Grüße,
David

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Re: Schere - Stein - Papier und mehr
von: Bernhard am: Mo. 17. Februar 2014 00:34:10
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Hallo David!

Die Seite ist interessant. Und insbesondere die sechseckigen Relationsringe (ich hatte sie Windräder genannt), die nach dem 25er-Kreis angegeben sind. Von solche schönen symetrischen Bildern habe ich nämlich auch geträumt. Aber merkwürdigerweise läßt sich das anscheinend mit meinen Beziehungsdefinitionen nicht so arrangieren, daß die Patt-Elemente sich jeweils gegenüberstehen und die zweiten Relationspfeile ein Hexagramm ergeben.

Deshalb hatte ich dann zwei Windräder gebastelt.

Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Schere - Stein - Papier und mehr
von: Gerhardus am: Do. 20. Februar 2014 14:17:50
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Hallo Bernhard,
dein Thema rechne ich weniger zur Spieltheorie als zur Graphentheorie. Die Spieltheorie sucht nach optimalen Strategien und zeigt, dass im Spiel Schere, Stein, Papier ein Gleichgewicht nur erreicht wird, wenn jede Option zufällig mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 gewählt wird. Andernfalls findet der Gegner eine bessere Strategie.

In der Graphentheorie bedeutet die Intransivität a < b, b < c und c < a, dass je drei Ecken a, b und c im einem gerichteten Graphen (Digraphen) einen Rundweg bilden. Das geht nur mit 3 Ecken. Im Vierecks-Turniergraph (Graph mit gerichteten Wegen für alle Eckenpaare) geht es nicht, man kann nicht einmal in höchstens zwei Schritten von jeder Ecke zu jeder anderen gelangen. In der Graphentheorie musst du allerdings überlegen was du mit "=" meinst.

Gruß,
Gerhard    \(\endgroup\)
 

Re: Schere - Stein - Papier und mehr
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 23. April 2014 11:32:31
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Hier müsste man unbedingt die drei intransitiven drei Würfel erwähnen, die faszinieren.\(\endgroup\)
 

Re: Schere - Stein - Papier und mehr
von: Diophant am: Fr. 02. August 2019 11:03:16
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