Mathematik: Kettenbrüche - Kapitel 2
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Mathematik

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2. Unendliche Kettenbrüche Jetzt betrachten wir eine unendliche Folge von ganzen Zahlen x_0 , x_1 , x_2 ,... mit x_i>0 für i>0. Wir wollen dem Ausdruck [x_0 ,x_1 ,...,x_n ,...] einen Sinn verleihen. Erinnerung 2.0 Sei x_0\el\ \IZ, x_1,...,x_n\el\ \IN, wobei \IN:=menge(1,2,3,....). Dann definieren wir [x_0, x_1, ..., x_n] induktiv wie folgt: 1) [x_0]:=x_0 2) [x_0, x_1, ..., x_k]=x_0+1/array([x_1\, ...\, x_k]) für 1<=k<=n Definition 2.1 Seien x_0\el\ \IZ und x_1 ,x_2 ,...\el\ \IN. Wir definieren: [x_0,...,x_n ,...]:=lim(n->\inf,[x_0), x_1,...,x_n ]. Satz 2.2 Seien x_0\el\ \IZ und x_1 ,x_2 ,...\el\ \IN. Der Limes lim(n->\inf,[x_0) ;x_1 ,...,x_n ] existiert und ist eine irrationale Zahl. Der Beweis dieser Aussage benötigt einige Vorbereitungen. Als erstes wollen wir die sogenannten Konvergenten eines Kettenbruchs einführen: Die Konvergenten der Kettenbruchentwicklung 2.3 Wenn wir einen Kettenbruch an der Stelle x_n abbrechen, so heisst die so dargestellte Zahl n-te Konvergente des Kettenbruchs. Diese ist eine rationale Zahl die wir als Bruch p_n/q_n darstellen können, wobei p_n und q_n sich rekursiv wie folgt bestimmen lassen: p_-1 :=1; p_0 :=x_0; p_n :=x_n * p_(n-1) +p_(n-2) q_-1 :=0; q_0 :=1 ; q_n :=x_n * q_(n-1) + q_(n-2). Es ist einfach zu sehen, dass für alle n>=0 gilt: p_n\el\ \IZ und q_n\el\ \IN. Damit können wir den Limes nun auch in der folgenden Form schreiben: lim(n->\inf,[x_0) ;x_1 ,...,x_n]=lim(n->\inf,p_n/q_n). Lemma 2.4 Für die Konvergenten einer Kettenbruchentwicklung gilt: q_0<=q_1 und q_(k-1)Lemma 2.5 p_n/q_n - p_(n-1)/q_(n-1)=(-1)^(n+1) /(q_n q_(n-1)) und p_n/q_n - p_(n-2)/q_(n-2) = (-1)^n x_n/(q_n q_(n-2)). Daraus bekommen wir, dass die Folge (p_n/q_n) für n ungerade monoton fällt und für n gerade monoton wächst. Da nach Konstruktion p_0/q_0 < p_1/q_1 folgt: p_0/q_0 < p_2/q_2 < p_4/q_4 <...Beweis von Satz 2.2 Zuerst zeigen wir, dass der Limes lim(n->\inf,p_n/q_n) existiert: In der Tat konvergiert diese Folge, denn nach Lemma 2.5 gilt, dass p_n/q_n - p_(n-1)/q_(n-1) = (-1)^(n+1)/(q_n q_(n+1)) und da ((q_n)) streng monoton wächst für n\el \IN geht diese Folge für n->\inf gegen 0. Nun zeigen wir, dass der Grenzwert eine irrationale Zahl ist: Nehmen wir an, ein unendlicher Kettenbruch stelle eine rationale Zahl dar. Dann können wir den Algorithmus aus Kapitel 1 auf diese Zahl anwenden und erhalten einen endlichen Kettenbruch. Die Kettenbruchentwicklung ist aber eindeutig, was zu einem Widerspruch führt. Damit stellt ein unendlicher Kettenbruch in der Tat eine irrationale Zahl dar. Q.E.D. Bemerkung 2.6 Aus p_0/q_0 < p_2/q_2 < p_4/q_4 <...Beispiel 2.7 Die ersten Dezimalstellen der irrationalen Zahl 2^(1/3) lauten: 1.25992105... Die Kettenbruchentwicklung von 2^(1/3) liefert [1,3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,1,4,...] Damit lauten die ersten paar Konvergenten: (p_0 )/(q_0 )=1, (p_1 )/(q_1 )=4/3, (p_2 )/(q_2 )=5/4, (p_3 )/(q_3 )=29/23 ... (p_9 )/(q_9 )=5429/4309, (p_10 )/(q_10 )=8507/6752, (p_11 )/(q_11 )=90325/71691,.. Wir erhalten also: k_0 = 1<2^(1/3) k_1 = 1.33...>2^(1/3) k_2 = 1.25<2^(1/3) ... k_4 = 1.25925...<2^(1/3) ... k_6 = 1.259911894...<2^(1/3) k_7 = 1.259927798...>2^(1/3) ... k_9 = 1.259921095...>2^(1/3) ... k_11 = 1.25992105...
Bemerkung 2.8 Aus Definition 2.1 folgt [x_0 ,x_1 ,...]=x_0 +1/([x_1 ,x_2 ,...]) Lemma 2.9 1. Seien x_0 ,x_1 ,..., x_n wie in Definition 2.1 und nehmen wir an n>=1. Dann gilt 0<1/([x_1 ,x_2 ,...])<1. 2. Es gilt floor(x)=x_0, wobei x=[x_0 ,x_1 ,...]. Beweis: 1. Der Beweis geht ganz analog wie in Kapitel 1 (Satz 1.2) 2. Auch diese Aussage lässt sich analog zu Satz 1.2 in Kapitel 1 beweisen. Nach dem ersten Teil von Lemma 2.9 hat man wiederum 0<1/([x_1 ,x_2 ,...])<1 und damit floor([x_0 ,x_1 ,...])=floor(x_0 +1/([x_1 ,x_2 ,...]))=x_0 Q.E.D. Der Kettenbruch einer irrationalen Zahl 2.10 Wie kann man einer irrationalen Zahl \xi einen Kettenbruch zuordnen? Man kann denselben Algorithmus wie für rationale Zahlen auf \xi anwenden. Da \xi nicht rational ist, bricht der Algorithmus nie ab und man erhält eine unendliche Kettenbruchentwicklung. Man kann ähnlich wie in Kapitel 1 zeigen, dass jede irrationale Zahl \xi eine eindeutige Kettenbruchdarstellung besitzt. Ein Beispiel eines unendlichen Kettenbruches ist die Kettenbruchentwicklung vom glodenen Schnitt, also von (1+sqrt(5))/2 : Beispiel 2.11 Für den goldenen Schnitt (1+sqrt(5))/2 erhalten wir nach Anwendung des Algorithmus: (1+sqrt(5))/2=1+1/(1+1/(1+1/(...)))=[1,1,1,...]. Da (1+sqrt(5)) keine rationale Zahl ist, kann der Kettenbruch nicht endlich sein. Wir haben es hier also mit einem unendlichen Kettenbruch zu tun. Brechen wir einen Kettenbruch einer irrationalen Zahl an einer beliebigen Stelle ab, so erhalten wir eine rationale Approximation. In Kapitel 3 wollen wir uns dann die Güte dieser Approximation ansehen.

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