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Boolesche Ringe sind solche, in denen jedes Element x idempotent ist, d.h. x^2=x erfüllt. Beispielsweise ist (\IF_2)^X für eine Menge X ein boolescher Ring, oder gleichwertig die Potenzmenge P(X) mit der symmetrischen Differenz als Addition und dem Durchschnitt als Multiplikation. Sind das alle unitalen booleschen Ringe? Diese Frage führt zum Darstellungssatz von Stone, einer Dualität zwischen unitalen booleschen Ringen und kompakten, total unzusammenhängenden Räumen.
Zunächst einige einfache Beobachtungen über boolesche Ringe A:
\squaredot Aus -x=(-x)^2=x^2=x folgt 2x=0, d.h. A ist eine array(\IF_2)\-Algebra.
\squaredot Mit x+y=(x+y)^2 folgt weiter xy=yx, d.h. A ist kommutativ.
\squaredot 0 ist das einzige nilpotente Element in A.
\squaredot Aus (x,y)=(x+y+xy) folgt induktiv, dass jedes endlich\-erzeugte
$Ideal von A ein Hauptideal ist.
\squaredot Mit x <= y <=> xy=x wird auf A eine Ordnung definiert.
\squaredot Für unitale A gilt a+b=(1-ab)(1-(1-a)(1-b)), d.h. die Addition
$kann auf die Multiplikation und die Komplementbildung x \mapsto 1-x
$zurückgeführt werden.
Wir beantworten nun mit Hilfe der genannten Ordnung die anfangs gestellte Frage, ob jeder unitale boolesche Ring zu einem P(X) isomorph ist. In P(X) ist die Ordnung einfach die Inklusion. Jede Teilmenge T von P(X) hat ein Supremum, nämlich union(T). Betrachtet man für eine unendliche Menge Y die Menge U=menge(E \subseteq Y : E endlich oder Y\\E endlich), so ist U nichtleer, durchschnitts\- sowie komplementstabil, also ein unitaler Unterring von P(Y). In diesem booleschen Ring hat nicht jede Teilmenge ein Supremum: Man wähle ein T \in P(Y) \\ U und suche einmal ein Supremum der {x} mit x \in T. Also kann U zu keinem P(X) isomorph sein.
\big\Endliche boolesche Ringe
Angenommen A ist ein endlicher boolescher Ring, etwa A = menge(a_1,...,a_n). Sei p(a_1,...,a_n) die Summe aller elementarsymmetrischen Funktionen darin, also sum(sum(a_j_1 ... a_j_m,1<=j_1<... \big\Unitale boolesche Ringe
Um nun beliebige unitale boolesche Ringe zu verstehen, betrachten wir deren Spektrum.
Zur Erinnerung: Für einen kommutativen unitalen Ring A ist das Spektrum Spec(A) ein topologischer Raum, dessen Punkte die Primideale von A sind und dessen abgeschlossene Mengen die V(E)={\frakp \in Spec(A) : E \subseteq \frakp} sind, wobei E \subseteq A. Die X_a = {\frakp \in Spec(A) : a \notin \frakp} bilden eine Basis der Topologie. Wenn eine Familie von Elementen von A das Ideal A erzeugt, reichen bereits endlich viele aus - das impliziert die Quasi\-Kompaktheit des Spektrums. Der Durchschnitt der Primideale von A ist die Menge der nilpotenten Elemente von A.
Nun sei A ein unitaler boolescher Ring und X sein Spektrum. Für jedes Primideal \frakp von A ist A\/\frakp ein boolescher Integritätsring und damit ~= \IF_2. Also ist \frakp maximal und für a \notin \frakp gilt 1-a \in \frakp, array(d.h. X_a = Spec(A) \\ X_(1-a)). Die X_a sind also abgeschlossen und offen, kurz: abgeschloffen. Ist nun T irgendeine abgeschloffene Teilmenge von X, so lässt sie sich als offene Menge zunächst als Vereinigung von gewissen X_a darstellen. Da T abgeschlossen und X kompakt ist, ist auch T kompakt, sodass bereits endlich viele X_a ausreichen. Aus der 4. Eigenschaft oben folgt dann aber, dass bereits ein X_a ausreicht. Die abgeschloffenen Teilmengen von X sind also genau die X_a. Weiter ist zu bemerken, dass X hausdorff ist: Für \frakp \neq \frakq in Spec(A), etwa a \in \frakp \\ \frakq, werden \frakp und \frakq nämlich von X_(1-a) und X_a getrennt.
Das zeigt, dass das Spektrum X von A ein kompakter total unzusammenhängender Raum ist, kurz kt. Ist umgekehrt X ein kt. Raum, so bilden die abgeschloffenen Teilmengen A(X) von X als Unterring von P(X) einen unitalen booleschen Ring.
Wir sehen jetzt, dass diese beiden Zusammenhänge gewissermaßen invers zueinander sind: Sei X ein kt. Raum. Betrachte die Abbildung X \to Spec(A(X)), x \mapsto {T \in A(X) : x \notin T}, die offenbar wohldefiniert ist. Die Injektivität folgt daraus, dass X bekanntlich Umgebungsbasen aus abgeschloffenen Mengen besitzt. Zur Surjektivität: Sei \frakp ein Primideal von A(X). Angenommen die abgeschloffenen Teilmengen, die zu \frakp gehören, überdecken das Einselement X. Wähle endlich viele aus. Aus S \cup T = S+T+ST folgt aber, array(dass \frakp unter) endlichen Vereinigungen abgeschlossen ist und somit das Einselement X enthält, Widerspruch. Also gibt es ein x \in X mit \frakp \subseteq {T \in A(X) : x \notin T}; Maximalität liefert sogar Gleichheit. Für T \in A(X) ist das Urbild von der offenen Basismenge X_T gerade T, also offen. Daher ist X \to Spec(A(X)) eine stetige Bijektion zwischen kompakten Räumen, also ein Homöomorphismus.
Jetzt sei A ein unitaler boolescher Ring und betrachte die Abbildung A \to A(Spec(A)), a \mapsto X_a. Surjektivität haben wir bereits beobachtet. Die Gleichung X_(ab)=X_a X_b folgt aus den Definitionen, und X_(a+b) = X_a + X_b aus A\/\frakp ~= \IF_2. Der Kern ist der Durchschnitt der Primideale von A, also 0. Also haben wir einen Isomorphismus vorliegen.
Die Zuordnungen {unitale boolesche Ringe} <-> {kt. Räume} sind funktoriell: Ist f : A \to B ein unitaler Ringhomomorphismus zwischen unitalen booleschen Ringen, so ist Spec(f) : Spec(B) \to Spec(A), \frakp \mapsto f^(-1)(\frakp) eine stetige Abbildung. Ist umgekehrt g : X \to Y eine stetige Abbildung zwischen kt. Räumen, so ist A(g) : A(Y) \to A(X), T \mapsto g^(-1)(T) offenbar ein unitaler
Ringhomomorphismus. Die Isomorphismen X \to Spec(A(X)) und A \to A(Spec(A)) sind offenbar natürlich.
Wir haben somit eine Dualität (Antiäquivalenz von Kategorien) bewiesen, die als Darstellungssatz von Stone bekannt ist.
\blue\unitale boolesche Ringe array(bigop(\textrightarrow,,,Spec);bigop(\textleftarrow,,A)) kompakte total unzusammenhängende Räume
Wir erhalten außerdem eine surjektive Abbildung von den Idealen von A auf die offenen Teilmengen von Spec(A), die durch I -> Spec(A) \\ V(I) gegeben ist. Diese ist sogar injektiv, denn aus V(I)=V(J) folgt Spec(A\/I) ~= Spec(A\/J) und damit A\/I ~= A\/J mit der natürlichen Abbildung a+I \mapsto a+J, sodass I=J. Ähnlich sieht man I \subseteq J <=> V(J) \subseteq V(I), d.h. die Monotonie der Bijektion. Die Dualität liefert also ebenfalls:
\blue $ $ Primideale <-> Punkte $ $ $ Ideale <-> offene Teilmengen
Traditionell sagt der Satz etwas über boolesche Algebren aus - diese
bilden aber eine Kategorie, die zur Kategorie der unitalen booleschen Ringe isomorph ist. Aufgrund des Satzes nennt man kompakte total
unzusammenhängende Räume auch Stone\-Räume oder boolesche Räume.
\big\Der allgemeine Fall
Was ist nun mit nicht\-unitalen booleschen Ringen, zum Beispiel \IF_2^(X)? Wenn A ein solcher Ring ist, können wir die Unitalisierung als array(\IF_2)\-Algebra angucken, also die direkte Summe A^\+=A \oplus \IF_2 mit der Multiplikation
(a,\lambda) (b,\mu) = (ab+\lambda b + \mu,\lambda \mu). Offenbar ist A^\+ ein unitaler boolescher Ring, der A als Ideal enthält. Die Homomorphismen von A in einen unitalen Ring B entsprechen bijektiv den unitalen Ringhomomorphismen von A^\+ nach B. Um die Ergebnisse aus dem unitalen Fall auf A zu übertragen, brauchen wir zunächst eine andere Beschreibung des Spektrums, die auch zu A passt.
Falls A wieder unital ist, kann man Spec(A) mit der Menge Hom_1(A,\IF_2) aller unitalen, d.h. nichttrivialen Ringhomomorphismen f : A \to \IF_2
identifizieren. Dabei wird X_a, wobei a \in A, auf die Menge aller f mit f(a)=1 geschickt. Damit sieht man, dass die Topologie des Spektrums auf Hom_1(A,\IF_2) zur Topologie der punktweisen Konvergenz wird. Falls nun A nicht notwendig unital ist, definieren wir daher das Spektrum von A als die Menge der nichttrivialen Ringhomomorphismen A \to \IF_2, also Spec(A)=Hom(A,\IF_2) \\ {0}, zusammen mit der Topologie der punktweisen Konvergenz. Dann ist Spec(A) zu Spec(A^\+) \\ {0} homöomorph \(dabei ist 0 von 0:A \to \IF_2 induziert, also die Projektion A^\+ \to \IF_2 \), folglich ein lokalkompakter total unzusammenhängender Raum, kurz lt. Ist umgekehrt X ein lt. Raum, so ist A(X), die Menge der kompakt\-offenen Teilmengen von X, ein boolescher Ring (der genau dann unital ist, wenn X kompakt ist). Wir benutzen im Folgenden die genannte Unitalisierung A^\+ sowie die kt. Einpunktkompaktifizierung X^\+, um nachzuweisen, dass die Zuordnungen invers sind:
Zunächst einmal ist ein T \subseteq X^\+ mit T \subseteq X genau dann kompakt\-offen, wenn T \subseteq X offen und X^\+ \\ T \subseteq X^\+, d.h. T \subseteq X kompakt ist. Und ein T mit \infty \in T ist genau dann kompakt\-offen, wenn X^\+ \\ T kompakt\-offen in X ist. Das zeigt A(X^\+)={T \subseteq X^\+ : T \in A(X) oder X^\+ \\ T \in A(X)}. Insbesondere erhalten wir einen Ringhomomorphismus A(X) \subseteq A(X^\+), der sich zu einem unitalen Ringhomomorphismus A(X)^\+ \to A(X^\+) fortsetzt. Explizit ist dieser durch (T,0) \mapsto T, (T,1) \mapsto T+X^\+=X^\+ \\ T gegeben und somit bijektiv. Damit ist A(X)^\+ ~= A(X^\+) gezeigt. Daraus folgt nun für gewisse b,c:
Spec(A(X)) ~= Spec(A(X)^\+) \\ {0} ~= Spec(A(X^\+)) \\ {b} ~= X^\+ \\ {c}
Verfolgt man die Isomorphismen zurück, so ergibt sich, dass b \in Spec(A(X^\+)) durch T \mapsto 0 für T \subseteq X und T \mapsto 1 für \infty \in T gegeben ist, und damit c=\infty. Es gilt X^\+ \\ {\infty} ~= X, sodass wir einen Homöomorphismus X \to Spec(A(X)) erhalten, der explizit durch x \mapsto (T \mapsto fdef(1,x \in T;0,x \notin T)) gegeben ist.
Für einen booleschen Ring A haben wir weiterhin, weil Spec(A^\+) die Einpunktkompaktifizierung von Spec(A^\+) \\ {0} ist:
array(A(Spec(A)) ~= A(Spec(A^\+)\\{0}) ~= {T \in A(Spec(A^\+)) : 0 \notin T}
array( ) ~= {a \in A^\+ : 0(a)=0} ~= A)
Der Isomorphismus ist explizit durch a \mapsto {T \in Spec(A) : T(a) =1} gegeben.
Bevor wir das ganze zu einer Dualität zusammenfassen können, müssen wir aber die Morphismen einschränken: Wenn f:A \to B ein Ringhomomorphismus zwischen booleschen Ringen ist, so nennen wir f eigentlich, wenn B das von f(A) erzeugte Ideal ist (was im unitalen Fall automatisch ist). Das stellt sicher, dass Spec(f) : Spec(B) \to Spec(A), h \mapsto h \circ f
wohldefiniert ist, aus h \neq 0 folgt dann nämlich h \circ f \neq 0. Ist weiter g : X \to Y eine stetige Abbildung zwischen lt. Räumen, so nennen wir g eigentlich, wenn Urbilder kompakter Mengen ebenfalls kompakt sind. Das stellt sicher, dass A(g) : A(Y) \to A(X), T \mapsto g^(-1)(T) wohldefiniert ist. Nun müssen wir noch nachweisen, dass Spec(f) eine eigentliche stetige Abbildung ist, und dass A(g) ein eigentlicher Homomorphismus ist \(beachte, dass wir dies für Isomorphismen bereits oben verwendet haben, wo es aber klar ist\).
Betrachte den unitalen Ringhomomorphismus f^\+ : A^\+ \to B^\+. Dieser induziert die stetige Abbildung Spec(f^\+) : Spec(B^\+) \to Spec(A^\+). Unter dem
Isomorphismus Spec(B^\+) ~= Spec(B)^\+ entspricht dies gerade der stetigen Abbildung Spec(B)^\+ \to Spec(A)^\+, die durch Fortsetzung von Spec(f^\+) via \infty \to \infty entsteht. Die Stetigkeit dieser Abbildung besagt genau die
Eigentlichheit von f. Um die Aussage für A(g) zu zeigen, wähle W \in A(X). Dann ist f(W) kompakt, liegt also in einer kompakt-offenen Teilmenge U von Y \(überdecke f(X) mit kompakt-offenen Umgebungen in Y und wähle endlich viele aus\). Es folgt W=f^(-1)(U) \cap W = A(f)(U) W. Das zeigt, dass A(X) das vom Bild von A(f) erzeugte Ideal ist.
Wir haben somit eine Dualität
define(mor,\small\mit eigentlichen Homomorphismen)
define(mor1,\small\mit eigentlichen Abbildungen)
array(\blue\ array(boolesche Ringe;\mor) array(bigop(\textrightarrow,,,Spec);bigop(\textleftarrow,,A)) array(lokalkompakte total unzusammenhängende Räume;\mor1)
\small\Dafür habe ich aber keine Referenz gefunden, vielleicht findet jemand eine.
Einige Folgerungen: Jeder boolesche Ring lässt sich als Ring der
kompakt\-offenen Teilmengen auf seinem Spektrum X darstellen, oder
äquivalent als C_0(X,\IF_2). Ein boolescher Ring ist genau dann unital, wenn sein Spektrum kompakt ist. Versehen wir eine Menge X mit der diskreten Topologie, so ist A(X)=E(X)={endliche Teilmengen von X}~= \IF_2^(X), sodass ein boolescher Ring genau dann zu einem E(X) isomorph ist, wenn sein Spektrum diskret ist. Insbesondere ist jeder endliche boolesche Ring unital und zu (\IF_2)^n für ein n isomorph, was wir bereits anfangs rein algebraisch gesehen hatten, und es gibt eine Dualität zwischen endlichen Mengen und endlichen boolschen Ringen.
Abschließende Bemerkungen
Die Klassifikation unitaler boolesche Ringe kann auf die Gelfand-Dualität zurückgeführt werden (Parfeny P. Saworotnow, Gelfand theorem implies Stone representation theorem of Boolean rings). Kurz gesagt betrachtet man dort (endliche) Summenzerlegungen der 1, macht die Menge aller formalen Linearkombinationen damit zu einer (Prä)C*-Algebra und wendet Gelfand auf die Vervollständigung an.
Aber auch mein Beweis erinnert ja stark an die Gelfand-Dualität, ganz besonders die Reduktion des allgemeinen Falls auf den unitalen, siehe hier. Die Stone-Dualität scheint fast dasselbe zu sein, nur mit dem Grundkörper F2 anstelle von C. In der Tat gibt es weitreichende garbentheoretische Verallgemeinerungen, die u.a. beide Dualitäten als Spezialfälle liefern (Johnstone, Stone Spaces, V). In dem Buch von Johnstone wird auch dargestellt, dass Stone als erster überhaupt abstrakte Algebra mit Hilfe von topologischen Mitteln erforscht hat (heutzutage selbstverständlich), und dessen Darstellungssatz Auswirkungen auf fast alle mathematischen Bereiche hatte. Das mag man bei dem einfachen Beweis kaum glauben, aber damals standen die hier verwendenten Grundlagen und Formulierungen teilweise noch gar nicht zur Verfügung und wurden erst durch den Darstellungssatz motiviert.
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