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Mathematik: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
Freigegeben von matroid am Di. 16. Juni 2015 09:00:04
Verfasst von Slash -   1235 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet

Ein mathematischer Sachverhalt lässt sich am besten mittels einer Visualisierung verstehen. Wir wollen die Teilbarkeit der natürlichen Zahlen an einem einfachen Modell veranschaulichen und es so im wahrsten Sinne des Wortes "begreifbar" machen. Dieses Modell basiert auf derart einfachen Regeln, dass sogar Kinder es bei der Beschäftigung mit gleichgroßen Bauklötzen oder Legosteinen spielerisch-intuitiv konstruieren können und wahrscheinlich auch schon oft getan haben. Natürlich ohne dabei zu ahnen, welches Wunderwerk an Komplexität sie da erschaffen würden, ließe man sie ewig weiterspielen.



Das Modell

In unserem Modell wird jede Zahl als ein Quadrat dargestellt. Diese Quadrate können dann so auf einem quadratischen Raster angeordnet werden, dass sie entweder lückenlos neben- oder übereinander liegen oder einen Abstand von einem oder mehreren Quadraten haben.

Die natürlichen Zahlen werden, beginnend mit der 1, von links unten nach rechts oben treppenartig angeordnet. Jede Zahl dieser Treppe wird dann nach rechts in ihrer Zeile immer im Abstand ihrer Größe wiederholt angeordnet. Die unterste Zeile (Grundreihe) besteht aus lauter 1er Steinen, welche lückenlos nebeneinander liegen. Darüber liegen die 2er Steine, die alle einen Abstand von 2 haben, darüber die 3er Steine im Abstand von 3, usw. In dem folgenden Bild ist das gut zu erkennen. Das Raster setzt sich natürlich nach oben und rechts unendlich weit fort.



Konstruktionsbedingt sind jetzt alle echten Teiler einer natürlichen Zahl in dessen Spalte angeordnet. Die echten Teiler einer natürlichen Zahl <math>n</math> sind genau die Zahlen, die <math>n</math> ohne Rest teilen. So finden wir in der Spalte unterhalb der 6 die Teiler 1, 2 und 3. In der 10er Spalte die Teiler 1, 2 und 5. Unterhalb der 11 findet sich allerdings kein weiterer "Teilerstein" außer der 1. Das liegt daran, dass es sich bei der 11 um eine Primzahl handelt, welche definitionsgemäß ohne Rest nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Wir haben somit ein visuelles Verfahren zur Ermittlung von Primzahlen gefunden. Ist in unserem Modell die Spalte zwischen der natürlichen Zahl <math>n</math> und der 1 frei von Teilersteinen, handelt es sich bei <math>n</math> um eine Primzahl. In dem folgenden Bild sind diese Fälle durch rosa Balken gekennzeichnet. Philosophisch gesprochen könnte man sagen, dass die Säulen der Primzahlen das Dach der natürlichen Zahlen stützen.



Primfaktorzerlegung

Die Primzahlen besitzen allerdings nicht nur im philosophischen Sinne eine "stützende" Funktion für die natürlichen Zahlen, sondern auch eine algebraische. Jede natürliche Zahl lässt sich nämlich als ein "eindeutiges" Produkt von Primzahlen schreiben. Dieses Produkt nennt man die Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl. Zum Beispiel ist 12 = 2·2·3, 2156 = 2·2·7·7·11 und 69161 = 23·31·97. Abgesehen von der Reihenfolge der Primfaktoren gibt es keine weitere Möglichkeit diese Zahlen als ein Produkt von Primzahlen darzustellen.

Eine geometrische Konstruktionsvorschrift

Unser Modell lässt sich auch nach einer einfachen geometrischen Vorschrift konstruieren indem man unendlich viele Geraden auf denen die natürlichen Zahlen liegen von der Grundreihe aus immer um eins versetzt anordnet. Die Steigungen <math>m</math> der Geraden bzw. deren Winkel zur Grundreihe werden dabei immer kleiner. Für den Abstand <math>a</math> der Zahlen auf der jeweiligen Geraden <math>n</math> gilt die Beziehung <math>a=\sqrt{n^2+1}</math> bzw. für die Steigung <math>m=\frac{1}{n}</math>.




Eine immer komplizierter werdende Ordnung

Obwohl die Anordnung der Teilersteine in jeder Zeile einer sehr einfachen Regel folgt, ist ihre daraus resultierende Anordnung in den Spalten für größere Zahlen nicht mehr vorhersagbar. Das folgende Bild unseres Modells über einen größeren Zahlenraum vermittelt schon einen recht guten Eindruck von diesem scheinbar chaotischen Verhalten der Teilersteine in den Spalten.



Chaotisch bedeutet in diesem Zusammenhang aber nicht "ohne jede Ordnung". Im Gegenteil - dem System liegt eine vollkommene Ordnung zu Grunde. Dieses Ordnungssystem erlangt jedoch schnell eine so große Kompliziertheit, dass bald keine Vorhersage über das Verhalten der Teilersteine mehr möglich ist. Erst eine numerische oder optische Überprüfung bringt Klarheit darüber aus welchen Teilern eine bestimmte Zahl zusammengesetzt ist.

Aus einer sehr einfachen Konstruktionsvorschrift erwächst hier ein hoch komplexes, unvorhersagbares System. Könnte man das System der Teilersteine durchschauen und in eine einfache Formel packen, quasi den Code ihrer Verteilung knacken, ließen sich viele wichtige offenen Fragen über Primzahlen beantworten.


Sich wiederholende Strukturen

Wir wollen versuchen das Ordnungssystem der Teilersteine besser zu verstehen. Es fällt sofort auf, dass die unteren Zeilen des Modells eine sich wiederholende Struktur erkennen lassen. Die Strukturen der ersten und zweiten Zeile sind trivial. Diese wiederholen sich nach 1 bzw. 2 Schritten. Ein Schritt entspricht dabei einem 1er Stein. Die Struktur für die ersten drei Zeilen wiederholt sich nach genau 6 Schritten, was im nächsten Bild gut zu erkennen ist.



Nach dem Konstruktionsprinzip ist klar, dass sich auch für jede weitere Zeile nach endlich vielen Schritten eine Struktur wiederholen muss. Für die erste bis <math>n</math>-te Zeile tritt diese Wiederholung immer genau ab der Spalte auf in der sich alle Teilersteine von 1 bis <math>n</math> befinden. Abgesehen davon, dass in diesen speziellen Spalten alle Teilersteine von 1 bis <math>n</math> aufeinander getürmt sind, tritt hier noch eine weitere Besonderheit auf. Bis zu diesen Spalten besitzt nämlich jede Zeile von 1 bis <math>n</math> die gleiche Summe ihrer Teilersteine. In unserem obigen Beispiel ist das 1+1+1+1+1+1 = 2+2+2 = 3+3 = 6.

Die Zahlenfolge dieser speziellen Spalten beginnt mit 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 12252240, 232792560, 232792560, 232792560,... Man findet sie auch in der "Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen", kurz OEIS, unter A003418.

Die Zahlen dieser Folge wachsen sehr schnell an. Für die ersten 500 Zeilen wiederholt sich die Struktur erst nach
732396223189528465938638745190422988297613382512892590463491900345963074208037133943277598198913 269852683126066484088757133140133136233370943124406636598033520614155609553983162538922207389455 85450197206138869521568000 Schritten. Das ist eine Zahl mit 218 Ziffern.

Zum Glück muss man diese Schritte nicht alle zählen. Diese Zahlen lassen sich berechnen. Um die Schritte für die sich wiederholende Struktur bis zur <math>n</math>-ten Zeile zu berechnen muss nur das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, aller natürlichen Zahlen von 1 bis <math>n</math> gebildet werden. Man multipliziert dafür alle Primfaktoren mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz die in irgendeiner der Zahlen von 1 bis <math>n</math> vorkommen. Dies erklärt auch, warum sich manche Zahlen der Folge wiederholen, andere hingegen nicht.

Dazu das Beispiel für <math>n</math> = 10. Es ist dann kgV(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) = 2520. Denn 2=21, 3=31, 4=22, 5=51, 6=21·31, 7=71, 8=23, 9=32, 10=21·51. Die Primzahlen in der Menge von 1 bis 10 sind 2, 3, 5 und 7. Die Primfaktoren mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz sind daher 23, 32, 51, 71 und ihr Produkt 8·9·5·7 = 2520. Eigentlich ganz einfach. Das kgV ist übrigens das Pendant zum ggT, dem größten gemeinsamen Teiler.


Primzahlzwillinge

Besitzen zwei Primzahlen den Abstand zwei, wie zum Beispiel 29 und 31, handelt es sich um sogenannte Primzahlzwillinge.

Dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist schon seit Euklid bekannt und auch leicht zu beweisen. Ob es aber auch unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist nach wie vor ungeklärt bzw. konnte noch nicht bewiesen werden. Unser visuelles Teilbarkeitsmodell kann allerdings nicht als "optischer Beweis" für die Unendlichkeit der Primzahlen dienen. Das heißt, es wird anschaulich nicht klar, warum es trotz immer mehr Teilersteinen doch unendlich viele Spalten geben soll, die frei von eben diesen sind.

Für die Primzahlzwillinge wollen wir in diesem Zusammenhang folgende Überlegung treffen. Da wir wissen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, unser Modell also immer wieder steinfreie Spalten aufweisen muss, warum sollte dies dann nicht auch für benachbarte Spalten von ungeraden Zahlen gelten. Bei den anderen bekannten Siebmethoden oder Formeln für Primzahlen drängt sich einem diese Frage nicht so ohne Weiteres auf. Dass dies für einen sehr, sehr großen, aber dennoch endlichen Zahlenraum wirklich der Fall ist, beweist das Auffinden von Primzahlzwillingen mit mehr als 200000 Ziffern.

Wie viele andere Rätsel und Vermutungen über Primzahlen wird auch die Frage nach der Unendlichkeit der Primzahlzwillinge wohl noch lange Zeit ungeklärt bleiben. Doch es sind ja gerade diese offenen Fragen, welche die Mathematik so spannend machen. Es gibt also auch für zukünftige Generationen noch viel zu entdecken.


Anmerkungen

Dieser Artikel ist (vielleicht) der Anfang einer kleinen Serie von bewusst einfach und kurz gehalten Artikeln zu interessanten mathematischen Themen die schon seit Jahren auf meinem Rechner schlummern.

Die Dinge, die man bisher über Primzahlen herausgefunden hat oder aber noch vermutet, sind schier unzählig. Allein im Internet gibt es eine Unmenge an Literatur, Artikel und Videos zum Thema. Deshalb möchte ich an dieser Stelle nur drei Links für ein Video, ein Buch und eine Website geben. Doku zur Riemannschen Vermutung, Die Welt der Primzahlen, Die Primzahlseite von Arndt Brünner.

Streicht man alle doppelten Zahlen der Folge A003418, erhält man die Folge A051451. Im September 2013 habe ich eine Vermutung zur Verteilung von Primzahlzwillingen und die besondere Beziehung je zweier Primzahlzwillinge zu den Zahlen der Folge A051451 aufgestellt. Die Vermutung: Für jedes n > 2 der Folge A051451 existiert ein Primzahlzwilling [p, p+2] mit p < a(n), so dass auch [a(n)+p, a(n)+p+2] ein Primzahlzwilling ist.

Die Grafiken stammen alle von mir. Die Quelle der übrigen Links sind Wikipedia und OEIS. Der letzte Satz in diesem Artikel gehört dem Mathematiker Don Zagier, der einmal folgendes über die Primzahlen gesagt hat.

"Beim Anblick dieser Zahlen hat man das Gefühl, vor einem der unergründlichen Geheimnisse der Schöpfung zu stehen."



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" Mathematik: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet" | 6 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von Martin_Infinite am Di. 16. Juni 2015 10:30:08


Das Modell ist ganz nett. Ich würde eine Anordnung von Zahlen allerdings nicht als "geometrisch" bezeichnen, sondern eher als "kombinatorisch", zumal nicht wirklich die Geometrie des Bildes ausgenutzt worden ist (und vermutlich auch nicht sinnvoll ausgenutzt werden kann).

Aus dem Modell kann man übrigens relativ leicht die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl ablesen - vielleicht könnte man das im Artikel noch erklären und ergänzen.

Der Abschnitt "Ein dynamisches System" ist meiner Meinung nach fehlerhaft. Erstens, das ist kein dynamisches System (im üblichen Sinne). Zweitens, es gibt schon längst Formeln für die n-te Primzahl, bloß es ist fraglich, ob man damit Primzahlen effizient ausrechnen kann oder offene Probleme von Primzahlen lösen kann. Der Satz "Eine solche Formel wäre mit Abstand die größte und wichtigste Entdeckung in der Mathematik." ist falsch.

Die im Artikel angegebene Heuristik ("warum sollte dies dann nicht auch für benachbarte Spalten von ungeraden Zahlen gelten.") für die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge ist nicht überzeugend. Es gibt (überabzählbar) viele unendliche Mengen von natürlichen Zahlen, die nur endlich oft als Paare auftreten. Und dass man viele Primzahlzwillinge in einem Bereich von natürlichen Zahlen findet, hat nichts mit ihrer (Un)endlichkeit zu tun.

Was das "Auffinden von Gesetzmäßigkeiten" angeht: Die Zahlen 12, 121, 1211, 12111, 121111, 1211111 sind allesamt zusammengesetzt (d.h. nicht prim). Geht das immer so weiter? Für eine ganze Weile schon. Aber die 138-stellige Zahl in dieser Folge, also
121111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111,

ist prim.

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Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von shadowking am Do. 18. Juni 2015 09:07:24


Was den Punkt "dynamisches System" angeht, muß ich Martin zustimmen. Denn in welchem Verständnis von "Dynamik" wäre das Muster, das entsteht, "dynamisch"? Dynamik bedeutet, egal ob diskret oder kontinuierlich, irgendeine Zeitabhängigkeit, während das Zahlenmuster statisch ist und höchstens optisch den komplizierten Attraktoren in chaotisch werdenden dynamischen Systemen ähnelt*. Inhaltlich liegt m.M.n. jeder Zusammenhang fern.

*: Genaugenommen ähnelt es auch nur deren Projektion ins Zweidimensionale, denn aufgrund des Satzes von Poincaré-Bendixson kann ein autonomes dynamisches System aus nur zwei Größen gar nicht chaotisch werden. Dafür bräuchte es mindestens drei Größen oder eine explizite Zeitabhängigkeit der Zustandsgleichungen. Tieferer Grund dafür ist der Jordansche Kurvensatz.

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Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von Slash am Do. 18. Juni 2015 13:26:44


Ich war/bin mir selbst nicht sicher, ob der Begriff "dynamisches Systems" hier wirklich passt. Zu meiner Verteidigung muss ich aber sagen, dass ich den Artikel mit genau diesem Hinweis eingereicht habe. Wie wäre es, wenn ich statt dessen einfach von einem "unverhersagbaren System" sprechen würde?

Zu Martins anderen Punkten: Der Begriff "Geometrie" bezieht sich in erster Linie auf die Quadrate im Raster (also das Modell) und ist somit ok, denke ich.

Die Zielgruppe des Artikels sind Laien. (Obwohl dem einen oder anderen gestandenen Mathematiker diese Visualisierung auch ganz gut tut.) Diese Zielgruppe versteht unter einer Formel etwas, in das man einen Wert <math>n</math> einsetzt und nach schneller, endlicher Rechenzeit (ohne Kenntniss der vorausgehenden Primzahlen) einen anderen Wert, hier eben die <math>n</math>-te Primzahl, herausbekommt. Und eine solche Formel/Algorithmus wäre nunmal einer der heiligen Grale der Mathematik, da sämtliche Primzahl-Probleme mit einem Schlag gelöst und bewiesen werden könnten, da man den Code ihrer Verteilung geknackt hätte. Die von dir angesprochenen bekannten Formeln sind für die Praxis allesamt nutzlos, da sie eben keine konkrete Ausage über die Verteilung der Primzahlen liefern. Das verlinkte Buch von Ribenboim enthält übrigens ein eigenes Kapitel darüber.

Der Satz "Da wir wissen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, unser Modell also immer wieder steinfreie Spalten aufweisen muss, warum sollte dies dann nicht auch für benachbarte Spalten von ungeraden Zahlen gelten" bezieht sich nur auf die Optik des Modells und stellt keine Heuristik für einen Beweis dar. Bei den bekannten Siebmethoden oder Formeln drängt sich (jedenfalls mir) diese Frage nicht so ohne Weiteres auf.

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Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von ZetaX am Do. 18. Juni 2015 20:14:54


"Geometrie" heißt nicht, dass man Bildchen malt (das tut man z.B. auch in der Graphentheorie oder in Analysis). Geometrie beschäftigt sich unter anderem mit Lagebeziehungen (schneiden sich drei Geraden in einem Punkt¿), Formen (ist das symmetrisch¿) und dergleichen. Die Rasterquadrate haben damit nichts zu tun, das ist wie Martin schon sagte Kombinatorik. Wenn dann könnte man sich auf die auftretenden Linien und sonstige Muster beziehen.

Die Behauptung, dass eine "Primzahlformel" (mir ist weiterhin nicht klar, was das sein soll; es ist sehr einfach, einen Primzahlsuchalgorithmus in einen Term umzuwandeln) alle Primzahlprobleme lösen würde ist schlicht Quatsch. Es gibt explizite Formeln für Fakultäten, Fibonaccizahlen und Partitionszahlen (und das waren jetzt nur einige wenige, sortiert nach Tiefgründigkeit der Formel), trotzdem gibt es dazu massig offene Probleme; einige denen in Primzahlen (Goldbach, Zwillinge) nicht unähnlich.

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Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von Slash am Fr. 19. Juni 2015 13:19:29


Ich werde ein paar Stellen im Artikel am Wochenende überarbeiten. Die harte Aussage mit der Primzahlformel werde ich auf jeden Fall korrigieren. Gerne nehme ich auch noch Verbesserungsvorschläge zu den Punkten "dynamisches System" und "Geometrie" entgegen - hier oder per PM.

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Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
von Slash am Di. 30. Juni 2015 04:21:16


Hier noch der Link zu einer interessanten Seite, die sich mit dem Muster befasst.

Divisor Drips and Square Root Waves

Eigentlich ist es mehr ein kleines Buch.

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